關(guān)注橢圓模型，探究定值結(jié)論

劉靜

[摘? 要] 橢圓中含有一些特殊的結(jié)論，合理使用可提高解題效率. 中點弦斜率定值結(jié)論和中心弦斜率定值結(jié)論是其中較為常用的兩大結(jié)論. 挖掘模型特征，探究驗證結(jié)論，強化應(yīng)用是教學(xué)的重點. 文章對兩大結(jié)論開展過程探究，結(jié)合考題進(jìn)行應(yīng)用拓展，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 橢圓;斜率;定值;結(jié)論;中心弦;中點弦

與直線斜率相關(guān)的圓錐曲線問題在高考中十分常見，問題類型也十分眾多，深入探索可以發(fā)現(xiàn)其中存在一些較為特殊的結(jié)論，如斜率之積為定值. 挖掘問題模型，總結(jié)模型特征，總結(jié)定值結(jié)論有助于簡化解題過程，提高解題效率. 下面具體探究橢圓中的兩個斜率之積為定值的結(jié)論.

中點弦斜率定值結(jié)論探究

中點弦斜率定值結(jié)論，顧名思義，與弦的中點密切相關(guān). 已知橢圓中一條不過原點，不與x軸垂直的弦，以及弦的中點，連接原點與中點，該直線的斜率與弦的斜率之積為定值.

1. 模型呈現(xiàn)

AB為橢圓 + =1（a>b>0）上不過原點O的弦，取AB的中點為點P，連接OP，設(shè)直線OP和AB的斜率均存在，且分別為k 和k . 在該模型中AB為橢圓的中點弦，這是模型的基本特征，而所涉兩條直線斜率均存在是后續(xù)探究的基礎(chǔ).

2. 結(jié)論探索

在該模型中主要探究斜率k 和k 之積是否為定值，可以采用設(shè)而不求、代點作差法來構(gòu)建兩直線的斜率之積，具體如下.

設(shè)點P（x ，y ），A（x ，y ），B（x ，y ），由于點A和B位于橢圓上，則滿足橢圓方程，代入可得 + =1①， + =1②，用①式減去②式，可得b2（x +x ）（x -x ）+a2（y +y ）（y -y ）=0，整理可得x +x =2x ，y -y =2y ，所以 · =- ，即k ·k =- .

形成結(jié)論：若AB是橢圓 + =1（a>b>0）上不過原點的弦，點P是AB的中點，AB和OP的斜率分別為k 和k ，則k ·k =- .

3. 應(yīng)用強化

例1：已知橢圓C的方程為 + =1，直線m與橢圓C的交點為A和B，已知AB的中點P坐標(biāo)為（1，1），則直線m的方程為________.

解析：已知橢圓中的弦AB中點為P（1，1），求直線m的方程關(guān)鍵是求其斜率. 連接OP，分析可知滿足中點弦斜率定值結(jié)論成立的條件，求出OP的斜率，直接套用結(jié)論推導(dǎo)直線m的斜率.

由點P坐標(biāo)易得直線OP的斜率為k =1，根據(jù)中點弦斜率定值結(jié)論可知k ·k =- =- ，可解得k =- ，結(jié)合點P坐標(biāo)可推知直線m的方程為x+2y-3=0.

中心弦斜率定值結(jié)論探究

橢圓中心弦斜率定值結(jié)論的顯著特征為“中心弦”，即橢圓中的弦經(jīng)過坐標(biāo)的原點，同時原點對弦長有均分作用. 取橢圓上任意一點與弦兩端點的連線構(gòu)建兩條直線，若兩直線的斜率均存在，則兩直線的斜率之積必為定值.

1. 模型呈現(xiàn)

如圖1所示，已知AB為橢圓 + =1（a>b>0）上過原點的弦，點P是橢圓上任意一點（異于點A和B），連接PA和PB，設(shè)直線PA和PB的斜率均存在. 在該模型中AB為經(jīng)過原點的弦，稱之為“中心弦”，而點P是橢圓上異于點A和B的點，探究過程要把握“中心弦”這一特征.

2. 結(jié)論探索

對于上述模型中的斜率定值證明，同樣可從設(shè)點入手，結(jié)合斜率定義來證明，具體如下.

設(shè)點P（x ，y ），A（x ，y ），分析可知點A和B關(guān)于原點對稱，則點B坐標(biāo)為（-x ，-y ），則直線PA的斜率可表示為k = ，直線PB的斜率可表示為k = ，所以k ·k = · = . 又知點P和A均在橢圓上，滿足橢圓方程，所以 + =1①; + =1②，兩式相減可得 =- ，所以k ·k =- .

拓展：對于該結(jié)論的證明還可以參照圓中“直徑對直角”的特性來構(gòu)建，將圓的結(jié)論類比到橢圓中，如圖2所示，過圓x2+y2=r2上異于端點的任意一點與一條直徑的兩個端點的連線，顯然有k ·k =-1.

通過坐標(biāo)伸縮將橢圓圓化，令 =x′， =y′，則 + =1？圯（x′）2+（y′）2=1，而點P（x ，y ）？圯P′ ， ，點A（x ，y ）？圯A′ ， ，點B（-x ，-y ）？圯B′- ，- ，其中點P，A，B位于橢圓上，點P′，A′，B′位于新圓上. 然后將圓中k ·k =-1類比轉(zhuǎn)化，可得k ·k = =-1？圯k ·k = = - .

形成結(jié)論：若AB是橢圓 + =1（a>b>0）上過原點的弦，點P是橢圓上任意一點，如果直線PA和PB的斜率均存在，則k ·k =- =e2-1.

3. 應(yīng)用強化

例2：如圖3所示，已知PQ為橢圓不過中心原點的弦，點A 和A 為長軸的兩個端點，設(shè)A P和QA 的交點為M，PA 和A Q的交點為N，試分析MN與A A 的位置關(guān)系.

解析：已知點A 和A 為長軸的兩個端點，可視為是橢圓的中心弦，已知點P和Q分別位于橢圓上，則滿足中心弦斜率定值成立的條件.

設(shè)點M（x ，y ），N（x ，y ），由對應(yīng)結(jié)論可得k ·k =- ，即kMA1·kNA2=- ，結(jié)合斜率公式可得 · =- ①;k ·k =- ，即kMA2·kNA1=- ，結(jié)合斜率公式可得 · =- ②. 聯(lián)合①②式可得（x +a）（x -a）=（x +a）（x -a），所以a（x -x ）=a（x -x ），則x =x ，可證直線MN垂直于x軸，即MN⊥A A .

斜率定值結(jié)論的多解拓展

上述結(jié)合模型深入探索了橢圓中中點弦和中心弦的相關(guān)斜率最值結(jié)論. 把握模型特征，論證斜率存在性是結(jié)論使用的關(guān)鍵. 具體解題時可分如下三步進(jìn)行突破：第一步，結(jié)合題意理解圖像，關(guān)注圖像中的中點弦或中心弦;第二步，結(jié)合結(jié)論所涉直線，論證直線斜率是否存在;第三步，引用對應(yīng)斜率結(jié)論進(jìn)行條件推導(dǎo)，求解答案. 實際上，變換橢圓模型的解析視角，中心弦或中點弦的結(jié)論可互通互用，可實現(xiàn)問題的多解. 下面以一道經(jīng)典考題為例進(jìn)行解法探究.

例3：平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點M和N均為橢圓 + =1的兩個頂點，直線PA經(jīng)過坐標(biāo)原點，與橢圓相交于點P和A（點P位于第一象限），過點P作x軸的垂線，設(shè)垂足為點C，連接AC并延長，與橢圓的交點設(shè)為點B，設(shè)直線PA的斜率為k，對于任意的k>0，證明：PA⊥PB.

分析：求證PA⊥PB，可采用一般的點差法，也可直接引用橢圓斜率定值結(jié)論. 若將PA視為是橢圓的中心弦，則k ·k =- ;若取AB的中點N，可構(gòu)造中點弦AB，k ·k =- .

解：基于上述分析，可從中心弦和中點弦兩個幾何特征入手，故有如下兩種解法.

方法一：把握AP的中心弦特征

由題意可設(shè)點P（x ，y ），A（-x ，-y ），B（x ，y ），則C（x ，0），結(jié)合點坐標(biāo)可得k = ，k =k = = . 由中心弦斜率最值結(jié)論可得k ·k =- =- ，用 替換k ，則k ·k = ·k =- ，整理可得k ·k =-1，所以PA⊥PB，得證.

方法二：把握AB的中點弦特征

設(shè)A（x ，y ），B（x ，y ），取AB的中點為N（x ，y ），連接ON，可推得點P（-x ，-y ），點C（-x ，0），則k = ，k = . 由中點弦斜率最值結(jié)論可得k ·k =- = - ，故k · =- ，整理可得 =- . 又知A，C，B三點共線，則 = = =k ，所以k ·k = · =- ×2k =-1. 又知ON∥PB，所以PA⊥PB，得證.

評析：上述在求證直線垂直時充分挖掘了圖像的幾何特征，分別從橢圓的中心弦和中點弦兩個視角進(jìn)行解題突破，充分利用對應(yīng)特征的斜率最值結(jié)論進(jìn)行過程解析. 同一考題中橢圓的兩大斜率最值結(jié)論均得到了運用，問題的多解思路有著典例示范作用. 其中挖掘橢圓弦特征的方法技巧有一定的參考價值.

結(jié)論探索后的深度反思

1. 結(jié)論探究中把握模型特征

合理利用數(shù)學(xué)結(jié)論可有效提升解題效率，幾何結(jié)論探究的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生理解結(jié)論，把握模型特征. 上述探究了橢圓弦的兩個斜率最值結(jié)論，其中“中點弦”和“中心弦”的位置關(guān)系和幾何特征是探究的重點，也是結(jié)論構(gòu)建的基礎(chǔ). 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生挖掘結(jié)論的知識本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)結(jié)論的適用范圍、使用思路和拓展方向. 同時，注重開展結(jié)論辨析，結(jié)合考題來強化應(yīng)用，使學(xué)生掌握結(jié)論的使用方法.

2. 結(jié)論探究中發(fā)展學(xué)生思維

結(jié)論探究教學(xué)要注重過程引導(dǎo)，以發(fā)展學(xué)生的思維為教學(xué)重點，因此教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的思維活動，可采用活動設(shè)計的方式，按照“問題引入→探索發(fā)現(xiàn)→互動交流→提出猜想→驗證結(jié)論”的環(huán)節(jié)開展結(jié)論探索. 探究教學(xué)中要關(guān)注以下幾點：其一，以問題為引導(dǎo)，利用啟發(fā)性的思維引導(dǎo)學(xué)生思考;其二，關(guān)注學(xué)生思維，問題提出要符合學(xué)生的認(rèn)知;其三，留足思考空間，探究教學(xué)要兼顧獨立思考與合作討論. 結(jié)論教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程，體驗收獲知識的喜悅.