到兩定點(diǎn)連線斜率之和（差、積、商）為定值的點(diǎn)的軌跡研究

徐輝

[摘? 要] 文章研究了在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)連線斜率之和（差、積、商）為定值的點(diǎn)的軌跡問題.

[關(guān)鍵詞] 斜率;定值;軌跡

在學(xué)習(xí)橢圓的時候，我們知道，橢圓與雙曲線上任意一點(diǎn)到其一條過原點(diǎn)的弦兩端點(diǎn)的連線斜率之積為定值，由此想到，在平面直角坐標(biāo)系中，到兩定點(diǎn)連線斜率之和（差、積、商）為定值的點(diǎn)的軌跡是什么呢？我們來研究一下.

命題1：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到兩定點(diǎn)連線斜率之和為定值的點(diǎn)的軌跡是除去一個點(diǎn)的一條直線（如圖1），或是除去兩個點(diǎn)的兩條直線（如圖2），或是除去兩個點(diǎn)的雙曲線（如圖3、圖4、圖5）.

證明：不失一般性，不妨設(shè)兩定點(diǎn)A（a，b）與B（-a，-b）（其中a，b不同時為0），動點(diǎn)P（x，y），且直線PA，PB的斜率均存在，分別記為k = ，k = （以下命題2-4同）.

若點(diǎn)P滿足k +k =m（定值），即 + =m.

可化為（y-b）（x+a）+（y+b）（x-a）=m（x-a）（x+a），

即2xy=mx2+a（2b-ma）（x≠±a）（*）.

（1）當(dāng)a（2b-ma）=0時，

①若a=0，則（*）即為2xy=mx2？圯y= x（x≠0）（x=0舍去，因x≠±a），點(diǎn)P的軌跡為除去原點(diǎn)的一條直線（如圖1）;

②若a≠0且m= 時，（*）可化為x=0或y= x（x≠±a），點(diǎn)P的軌跡為除去兩個點(diǎn)的兩條相交直線（如圖2）.

（2）當(dāng)a（2b-ma）≠0時，

（*）可化為y= mx+ ，由m（2ab-ma2）=-a2mm- 知：

①若m=0，此時2ab-ma2=2ab≠0，（*）為y= ，點(diǎn)P的軌跡為除去A，B兩個點(diǎn)的雙曲線（如圖3）;

②若mm- >0，此時m（2ab-ma2）<0，點(diǎn)P的軌跡為除去A，B兩個點(diǎn)的雙曲線（如圖4）;

③若mm- <0，此時m（2ab-ma2）>0，點(diǎn)P的軌跡為除去A，B兩個點(diǎn)的雙曲線（如圖5）.

綜合以上幾種情況可得：當(dāng)2ab-ma2≠0時，點(diǎn)P的軌跡為除去A，B兩個點(diǎn)的雙曲線.

命題2：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到兩定點(diǎn)連線斜率之差的絕對值為定值的點(diǎn)的軌跡是除去兩個點(diǎn)的一條直線（如圖6），或兩條直線（如圖7），或除去兩個點(diǎn)的兩條拋物線（如圖8），或不存在.

證明：若點(diǎn)P滿足k -k =m（定值m≥0），即 - =m， =m（x≠±a）.

（1）當(dāng)m=0時，上式可化為2ay-2bx=0？圯bx-ay=0，

①若a=0，則x=0，但x≠±a，故此時滿足題意的點(diǎn)不存在;

②若a≠0，則y= x（x≠±a），此時點(diǎn)P的軌跡為除去兩個點(diǎn)的一條直線（如圖6）.

（2）當(dāng)m≠0時，可化為： - =m（#）或 - =-m（##），

①若a=0，則b≠0，由（#）可得x= - ，由（##）可得x= ，故此時點(diǎn)P的軌跡是兩條直線（如圖7）.

②若a≠0，則由（#）可得2ay=mx2+2bx-ma2？圯y= x2+ x- （x≠±a）;由（##）可得y=- x2+ x+ （x≠±a）.

故點(diǎn)P的軌跡為除去兩個點(diǎn)的兩條拋物線（如圖8）.

命題3：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到兩定點(diǎn)連線斜率之積為定值的點(diǎn)的軌跡是除去兩個點(diǎn)或四個點(diǎn)的一條直線（如圖9、圖10），或除去四個點(diǎn)的兩條直線（如圖11），或除去兩個點(diǎn)或四個點(diǎn)的一個圓（如圖12、圖13），或除去兩個點(diǎn)或四個點(diǎn)的一個橢圓（如圖14、圖15），或除去兩點(diǎn)或四個點(diǎn)的雙曲線（如圖16、圖17）.

證明：若點(diǎn)P滿足k k =m（定值），即 · =m（x≠±a）.

（1）當(dāng)m=0時，上式可化為y=±b（x≠±a）.

①若b=0，則上式可化為y=0（x≠ ±a），此時點(diǎn)P的軌跡是除去兩個點(diǎn)的一條直線（如圖9）;

②若b≠0，則上式為y=±b（x≠±a），此時點(diǎn)P的軌跡是除去四個點(diǎn)（a≠0）或兩個點(diǎn)（a=0）的兩條直線（如圖10）.

（2）當(dāng)m≠0時， · =m可化為mx2-y2=ma2-b2.

①若ma2-b2=0，此時a≠0，m= >0，

mx2-y2=ma2-b2即為mx2-y2=0？圯y2=mx2？圯y=± x，即y=± x（x≠±a），故當(dāng)m= >0時，點(diǎn)P的軌跡為除去四個點(diǎn)的兩條直線（如圖11）.

②若ma2-b2≠0，mx2-y2=ma2-b2即為 - =1（**）.

（Ⅰ）當(dāng) >0，ma2-b2<0， =-（ma2-b2），即m=-1時，（**）即為x2+y2=a2+b2（x≠±a），

故當(dāng)m=-1且a=0時，點(diǎn)P的軌跡為除去兩個點(diǎn)的一個圓（如圖12）;

當(dāng)m=-1且a≠0時，點(diǎn)P的軌跡為除去四個點(diǎn)的一個圓（如圖13）.

（Ⅱ）當(dāng) >0，ma2-b2<0， ≠-（ma2-b2），即m∈（-∞，-1）∪（-1，0）時，

（**）即為 + =1，

故當(dāng)m∈（-∞，-1）∪（-1，0）且a=0時，點(diǎn)P的軌跡為除去兩個點(diǎn)的一個橢圓（如圖14），當(dāng)m∈（-∞，-1）∪（-1，0）且a≠0時，點(diǎn)P的軌跡為除去四個點(diǎn)的一個橢圓（如圖15）. 繼續(xù)研究可知當(dāng)m∈（-∞，-1）時，圖14、15的橢圓焦點(diǎn)在y軸上，當(dāng)m∈（-1，0）時，圖14、15的橢圓焦點(diǎn)在x軸上.

（Ⅲ）當(dāng) （ma2-b2）>0時，故當(dāng)m>0且a=0時，（**）即為 - =1（x≠0），點(diǎn)P的軌跡是除去兩點(diǎn)的雙曲線（如圖16），且此雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上;當(dāng)m>0且m≠ （a≠0）時，點(diǎn)P的軌跡是除去四點(diǎn)的雙曲線（如圖17），且當(dāng)m> 時，此雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，當(dāng)m< 時，此雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上.

（Ⅳ）當(dāng) <0，ma2-b2>0時，（**）無意義，點(diǎn)P不存在.

命題4：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到兩定點(diǎn)連線斜率之比為定值的點(diǎn)的軌跡是除去一個點(diǎn)或兩個點(diǎn)的一條直線（如圖18、圖19、圖20、圖21、圖22），或除去兩個點(diǎn)的雙曲線（如圖23、圖24、圖25）.

證明：若點(diǎn)P滿足 =m（定值），即 =m（x≠±a，y≠-b）（***）.

（1）當(dāng)m=0時，（***）即y=b（x≠±a，y≠0）.

若b=0，則滿足題意的點(diǎn)P不存在;

若b≠0，則當(dāng)a=0，則點(diǎn)P的軌跡是除去一個點(diǎn)的一條直線（如圖18）;

當(dāng)a≠0，則點(diǎn)P的軌跡是除去兩個點(diǎn)的一條直線（如圖19）.

（2）當(dāng)m=1時，（***）即 =1（x≠±a，y≠-b）.

若a=0，則b≠0，此時滿足題意的點(diǎn)P不存在;

若b=0，則a≠0，此時滿足題意的點(diǎn)P也不存在;

若ab≠0，則（***）可化為y= x（x≠±a），點(diǎn)P的軌跡為除去兩個點(diǎn)的一條直線（如圖20）.

（3）當(dāng)m≠0且m≠1時，

若a=0，則（***）可化為：y= （x≠0），點(diǎn)P的軌跡為除去一個點(diǎn)的一條直線（如圖21）;

若b=0，則（***）可化為：x= （y≠0），點(diǎn)P的軌跡為除去一個點(diǎn)的一條直線（如圖22）;

若ab≠0，則（***）可化為：y= ，點(diǎn)P的軌跡為除去兩個點(diǎn)的雙曲線（如圖23、圖24、圖25），三個圖分別對應(yīng)m∈（-∞，0），m∈（0，1）及m∈（1，+∞）的情況.