教材處理與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

向峰

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教材是學(xué)校課堂教學(xué)的藍(lán)本，數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書是教師深刻理解教材、完全把握教材和恰當(dāng)處理教材的標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)引. 利用好教材和教師教學(xué)用書，才能實(shí)現(xiàn)符合課程設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)的課堂教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 熟悉教材;吃透教材;恰當(dāng)處理教材;科學(xué)開展教學(xué)活動(dòng)

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教A版）》數(shù)學(xué)教材的主編寄語：數(shù)學(xué)是重要而有用的，在生活、生產(chǎn)、科學(xué)和技術(shù)中，數(shù)學(xué)有著廣泛應(yīng)用. 我們知道，歷史上，物理學(xué)家、航海家基本上首先就是數(shù)學(xué)家.

中學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算、推理、分析問題、解決問題等各方面能力的作用非凡. 教材是我們開展教學(xué)活動(dòng)的藍(lán)本，是數(shù)學(xué)課程的核心教學(xué)材料. 明確課程設(shè)置要求，把握住教材全面、系統(tǒng)、準(zhǔn)確的特征，科學(xué)開展教學(xué)活動(dòng)，以教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以達(dá)到教材上本冊(cè)導(dǎo)引中對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的祝愿：祝愿學(xué)生們通過對(duì)本冊(cè)書的學(xué)習(xí)，不但學(xué)到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且在數(shù)學(xué)能力、用數(shù)學(xué)解決問題的能力等方面都有較大的提高，并培養(yǎng)更高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，形成對(duì)數(shù)學(xué)更加全面的認(rèn)識(shí).

在實(shí)際教學(xué)中，對(duì)教材“走一走，遛一遛”的現(xiàn)象廣泛存在，輕課本，重練題，甚至課本上的習(xí)題都是放棄不管的，直接是試卷和五花八門的練習(xí)冊(cè)，進(jìn)行“題海大戰(zhàn)”，以應(yīng)對(duì)考試. 這就是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂的現(xiàn)實(shí)，也是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀.

作為我們中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，如何實(shí)施課堂教學(xué)，怎樣上好每節(jié)課，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就顯得特別重要了.

要上好一節(jié)課，需要做好三個(gè)環(huán)節(jié)：備課準(zhǔn)備，備課，上課.

要上好一節(jié)課，就得備好一節(jié)課. 備課準(zhǔn)備是備課的必須前提，備課準(zhǔn)備包括熟悉教材、吃透教材、處理教材. 反復(fù)研讀教材可達(dá)到熟悉教材，通過熟悉教材、結(jié)合教師教學(xué)用書則可吃透教材;最后，結(jié)合教師教學(xué)用書、習(xí)題、班情、好課經(jīng)驗(yàn)來恰當(dāng)處理教材，就能備出來一節(jié)不錯(cuò)的課.

好課經(jīng)驗(yàn)?zāi)茏尳處熥约貉杆俪砷L(zhǎng)為一個(gè)合格的教師，甚至是優(yōu)秀的教師. 這就是說，傳幫帶很重要，謙虛好學(xué)很重要. 而教師教學(xué)用書對(duì)內(nèi)容的深度解析，不僅不會(huì)讓我們停留在模仿課和題課的層面上，還會(huì)讓我們成為一個(gè)視野開闊、有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高水平教師.

當(dāng)然，上課體現(xiàn)的是課堂教學(xué)水平. 只要主干不散，主題明確，層次清楚，語言精練，一節(jié)課就不會(huì)差太多.

而怎樣認(rèn)知教材，如何處理教材、深挖教材，直接決定了課堂教學(xué)的效果.

下面，筆者將結(jié)合《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教A版）》數(shù)學(xué)教材做一些說明.

以恰時(shí)恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)問題意識(shí)，孕育創(chuàng)新精神，培養(yǎng)發(fā)散思維

必修1第21頁例5：畫出函數(shù)y=x的圖像. 教材上，這里由絕對(duì)值的概念，化原函數(shù)為y=x，x≥0，-x，x<0后，結(jié)合初中學(xué)過的基本函數(shù)y=x和y=-x作出了函數(shù)y=x的圖像.

在這里，是覺得太基礎(chǔ)了而一覽了之？還是多花一點(diǎn)時(shí)間吃透教材？教師當(dāng)如何引導(dǎo)學(xué)生思考認(rèn)知？課堂效果會(huì)大為不同.

筆者在教學(xué)實(shí)踐中，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出了直接對(duì)函數(shù)y=x采用描點(diǎn)法和化為y=x，x≥0，-x，x<0后利用基本函數(shù)的圖像以及對(duì)y=x的圖像進(jìn)行翻折均可得到函數(shù)y=x的圖像. 在這里引導(dǎo)學(xué)生明確地認(rèn)識(shí)到作函數(shù)圖像的方法，既有我們初中熟悉的描點(diǎn)法，還有今天學(xué)到的利用已學(xué)的基本函數(shù)的圖像得新函數(shù)圖像的方法. 在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生去處理必修1第23頁練習(xí)3：畫出函數(shù)y=x-2的圖像. 在此時(shí)候，通過探索，就有了如下認(rèn)知：

第一，函數(shù)y=x-2的圖像可以采用描點(diǎn)法畫出;第二，可以如前面的例5一樣，把函數(shù)y=x-2處理為y=x-2，x≥2，-x+2，x<2，再利用一次函數(shù)y=x-2和y=2-x作出函數(shù)y=x-2的圖像;第三，通過圖像對(duì)比得到啟發(fā)，函數(shù)y=x-2的圖像可由函數(shù)y=x的圖像向右平移2個(gè)單位而得到;第四，函數(shù)y=x-2的圖像也可由函數(shù)y=x-2的圖像進(jìn)行翻折而得到.

有了這樣的深刻認(rèn)知，培養(yǎng)提出問題的思維能力，實(shí)際上相當(dāng)于已經(jīng)做了許多題，并且理解得更為透徹，融會(huì)貫通，把握得更為牢固，基礎(chǔ)知識(shí)更為扎實(shí). 何況，有了這樣的循序漸進(jìn)，隨著以后的螺旋式上升，分析問題、解決問題的能力就會(huì)自然提升. 比如，打下基礎(chǔ)之后，后面章節(jié)中涉及作函數(shù)y=ax-2，y=a ，y=a （a>0且a≠1）的圖像和函數(shù)y=log （x-2），y=log x，y=log x-2（a>0且a≠1）的圖像時(shí)，自然就能夠用y=ax和y=logax（a>0且a≠1）的圖像變換而得到.

這里通過例5和練習(xí)3，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解分段函數(shù)，鞏固函數(shù)概念，明確分段函數(shù)的形式與實(shí)質(zhì). 另外，教師也當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)去絕對(duì)值的解法所涉及的分類討論予以重視，鞏固與提升、培養(yǎng)與強(qiáng)化分類討論數(shù)學(xué)思想和方法，為將來的學(xué)習(xí)埋下種子，靜待花開.

在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想和方法以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，靈活使用教材，引導(dǎo)學(xué)生成長(zhǎng)

必修1第23頁練習(xí)2：下圖中哪幾個(gè)圖像與下述三件事分別吻合得最好？請(qǐng)你為剩下的那個(gè)圖像寫出一件事.

（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué);

（2）我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間;

（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速.

本題考查的是識(shí)圖能力，從圖像上讀出信息，結(jié)合條件，得出判斷. 這里不僅是學(xué)生憑直觀感覺得出答案就可，還要引導(dǎo)學(xué)生怎么分析圖像，在圖像上看什么，信息關(guān)系怎么找. 這樣的教學(xué)過程下來，學(xué)生分析問題的意識(shí)、識(shí)圖的思維就得到了培養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也得了充分體現(xiàn).

必修1第20頁例4：表1是某校高一（1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分表. 請(qǐng)你對(duì)這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析.

教材上先由表1中的數(shù)據(jù)得出散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)圖中我們就可以直觀地看到，王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績(jī)優(yōu)秀;張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)不穩(wěn)定，總是在班級(jí)平均水平上下波動(dòng)，而且波動(dòng)幅度較大;趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)低于班級(jí)平均水平，但他的成績(jī)曲線呈上升趨勢(shì)，表明他的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜€(wěn)步提高.

本題地位非同一般，切不可走過路過就算了. 本例題考查了作圖、識(shí)圖、用圖三個(gè)方面的能力. 數(shù)據(jù)雜亂，信息不清晰，培養(yǎng)用圖的意識(shí)，化模糊為直觀，讓問題得以準(zhǔn)確快速地解決. 在這里下功夫培養(yǎng)用圖的意識(shí)，那么在必修1第二章學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)時(shí)就會(huì)對(duì)利用圖像的認(rèn)知更為容易一些. 同時(shí)，在必修1第三章學(xué)習(xí)函數(shù)與方程時(shí)，學(xué)生把方程根的問題和函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題的相互轉(zhuǎn)化就變得更加容易接受和把握.

在數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，正確使用教材，回看前面，促使學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，穩(wěn)步提升

另外，必修1第44頁A組第7題：已知函數(shù)f（x）= ，求：（1）f（a）+1（a≠-1）;（2）f（a+1）（a≠-2）. 第8題：設(shè)f（x）= ，求證：（1）f（-x）=f（x）;（2）f = -f（x）（x≠0）.

這里給出的兩個(gè)題比較簡(jiǎn)單，教學(xué)不僅要落實(shí)基礎(chǔ)，即函數(shù)概念的把握，還要正確代入. 但這里更要明確等式的證明方法，因?yàn)轭}目要求的是等式證明. 因此，這里既要鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，更要利用題目培養(yǎng)學(xué)生探索、總結(jié)證明等式的思路與方法.

B組第5題：證明：（1）若f（x）=ax+b，則f = ;（2）若g（x）=x2+ax+b，則g ≤ .

除了上面兩個(gè)題的作用外，這里還要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明不等式的思路和方法. 在處理第5題時(shí)，一是回看A組第7題，組織學(xué)生回顧鞏固;二是理應(yīng)對(duì)第（2）小題進(jìn)行分析小結(jié)，關(guān)系式的變形，運(yùn)算能力的要求，都是應(yīng)當(dāng)挖掘一番的. 而不等式的證明思路和方法更是應(yīng)當(dāng)以此題為引子，培養(yǎng)思維，打?qū)嵒A(chǔ)，形成能力.

必修1第82頁給出了A組第7題：已知f（x）=3x，求證：（1）f（x）·f（y）=f（x+y）;（2）f（x）÷f（y）=f（x-y）. 第8題：已知f（x）=lg ，a，b∈（-1，1），求證：f（a）+f（b）=f . 面對(duì)第83頁B組第4題：設(shè)f（x）= ，g（x）= ，求證：（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1;（2）f（2x）=2f（x）g（x）;（3）g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2.以及必修4 第19頁例7：求證 = . 此時(shí)我們?cè)撛趺刺幚恚烤皖}說題？就題解題？其實(shí)，花點(diǎn)時(shí)間回看，聯(lián)系思考，知識(shí)會(huì)更為鞏固，方法會(huì)更為熟悉，通過做一道題會(huì)做一類題，通過研究一道題達(dá)到會(huì)做大量題的效果.

在數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系上，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間形成“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”，注意分析引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

必修4第83頁例2：長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸. 一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東25 km/h. （1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度;（2）求船實(shí)際航行的速度的大?。ūＡ魞蓚€(gè)有效數(shù)字）與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）.

第112頁例4：一條河的兩岸平行，河的寬度d=500 m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸. 已知船的速度v =10 km/h，水流速度v =2 km/h，問行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少（精確到0.1 min）？

這兩個(gè)題聯(lián)系一下，我們又會(huì)得到什么認(rèn)知？知識(shí)方面的問題解決后，學(xué)生至少應(yīng)該有一種生活上的認(rèn)知：第83頁例2體現(xiàn)了順?biāo)髦?、順其自然，也體現(xiàn)了大自然的力量，人類很多時(shí)候應(yīng)當(dāng)尊重大自然，歸根結(jié)底，人類也只是大自然的一部分. 第112頁例4體現(xiàn)的是人類的主觀能動(dòng)性，人類有能夠利用自然的智慧，有時(shí)還有科學(xué)改造自然的智慧，創(chuàng)造人類美好的生活. 如果學(xué)生沒認(rèn)識(shí)到，教師就組織引導(dǎo)一下，讓學(xué)生全面成長(zhǎng).

必修4第109頁例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？必修2第105頁例4：證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和.

兩個(gè)同樣的問題，各出現(xiàn)在必修2和必修4上，一個(gè)用向量法解決，一個(gè)用坐標(biāo)法解決. 在講解一個(gè)例題后，回顧一下前一個(gè)例題，讓學(xué)生體會(huì)到相同問題利用不同知識(shí)解決的快樂. 這樣，既讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系交匯，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本解題方法的“關(guān)鍵點(diǎn)”上，重視教材關(guān)鍵習(xí)題的落實(shí)與處理，扎實(shí)學(xué)生的“雙基”

學(xué)生解基本三角方程和三角不等式往往容易憑想當(dāng)然，得出錯(cuò)誤的結(jié)果. 其實(shí)，教材上除了基礎(chǔ)知識(shí)（三角函數(shù)的圖像和三角函數(shù)的性質(zhì)）之外，還有基本題型，就看我們?cè)趺刺幚?，如何設(shè)置教學(xué)中心. 如必修4第46頁第9題：根據(jù)正切函數(shù)的圖像，寫出使下列不等式成立的x的集合：（1）1+tanx≥0;（2）tanx- ≥0. 第47頁B組第1題：根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，寫出使下列不等式成立的x的取值集合：（1）sinx≥ （x∈R）;（2） +2cosx≥0（x∈R）. 第65頁A組第1題：根據(jù)下列條件，求△ABC的內(nèi)角A：（1）sinA= ;（2）cosA=- ;（3）tanA=1;（4）tanA=- . 第2題：根據(jù)下列條件，求（0，2π）內(nèi)的角x：（1）sinx=- ;（2）sinx=-1;（3）cosx=0;（4）tanx=1. 只要利用三角函數(shù)的圖像和三角函數(shù)的性質(zhì)，把教材上這幾個(gè)題落實(shí)好了，學(xué)生的基本功扎實(shí)了，遇到稍微復(fù)雜一點(diǎn)的三角方程和三角不等式，就能化難為簡(jiǎn)，迎刃而解.

三角恒等變換中，在熟悉公式的前提下，關(guān)鍵就在于變名或變角. 而其中涉及變角的題型學(xué)生難以把握，哪怕是大量練習(xí)，也不能很好地解決問題. 根本的原因在哪里？筆者認(rèn)為，這是我們沒有重視教材上例題、習(xí)題的夯基作用、啟發(fā)意義和思維培養(yǎng). 必修4教材第137頁第4題：已知α，β都是銳角，cosα= ，cos（α+β）=- ，求cosβ的值. 第5題：已知sin（30°+α）= ，60°<α<150°，求cosα的值. 只要在學(xué)習(xí)三角變換這部分內(nèi)容時(shí)，多留一些時(shí)間讓學(xué)生思考、讓學(xué)生探索研究，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，注意條件與問題之間的關(guān)聯(lián)，尋找角與角之間的聯(lián)系，落實(shí)解決這個(gè)問題，進(jìn)而形成解決這類問題的思想和方法，勝過額外去題海撲騰.

類似的問題在教材上很多，本文不再一一列舉;角度方向也不唯一，本文也不涉及. 高考題高于教材，但它來源于教材. 只有我們把教材這個(gè)藍(lán)本運(yùn)用得當(dāng)，我們才不會(huì)陷于試卷和各類練習(xí)冊(cè)的苦海中，我們也才不會(huì)陷于迷信所謂的名校名題之中. 要說題卷，只要我們把教材上的例題、習(xí)題深入挖掘了，就是一本又一本好題好卷;只要我們把教材深刻剖析，融會(huì)貫通，教材變薄，就會(huì)越學(xué)越輕松，能力也會(huì)越來越強(qiáng).

前面提到的教師教學(xué)用書對(duì)我們認(rèn)知教材、處理教材的作用，對(duì)我們組織教學(xué)也有深度的指導(dǎo). 教師教學(xué)用書上總結(jié)了教材特點(diǎn)，關(guān)鍵就在于，我們?cè)谶@個(gè)方面是否著眼著力，是否思考研究. 千萬不要只把教參當(dāng)成課時(shí)劃分和習(xí)題答案的參考書，那就真是買櫝還珠了.

新課程設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)下，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要拋棄舍本逐末、忽略教材、以練代學(xué)、以練代教. 其實(shí)，只要把書吃透了，在深刻理解、牢固掌握的基礎(chǔ)上，有了基本的分析問題的思維，形成了解決問題的基本能力，那么解決問題就容易得多了. 只需另外用適量的題卷去鞏固，去加深理解，進(jìn)一步把握. 而不是輕易處理教材，通過大量的題卷、練習(xí)冊(cè)去模仿解題方法，去死記解題方法. 這樣地熟悉基本題型，這樣地熟練基本方法，容易導(dǎo)致學(xué)生陷入多做題才懂書的怪圈. 這樣的學(xué)習(xí)完全是空中樓閣，完全是事倍功半.

教師教學(xué)用書中，針對(duì)“科學(xué)性”與“思想性”也談到了“通過不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想和方法的運(yùn)用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地思考問題的方式，提高數(shù)學(xué)思維能力，培育理性精神. ”“利用數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，使不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容相互溝通，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)水平. 特別地，在教科書中強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想和方法. ”

事實(shí)上，教學(xué)過程中，當(dāng)用聯(lián)系的觀點(diǎn)教學(xué)，可以采用直接聯(lián)系、間接聯(lián)系、交匯聯(lián)系. 世界是普遍聯(lián)系的，用哲學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)知數(shù)學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)的教與學(xué)就會(huì)顯得豐富而精彩.