山東省青島第二中學(xué)分校 楊慶忠
在計算球面上兩點間的球面距離時,一般的方法是先求出以這兩點為端點的弦長,再求出該弦在大圓中所對圓心角的大小,從而求出這兩點間的球面距離。而當(dāng)球面上兩點的經(jīng)緯度各不相同時,用常規(guī)的方法求這兩點為端點的弦長是比較麻煩的,而用向量求解就顯得比較簡潔了。
例如:求球面上兩點A(經(jīng)度為β,緯度為α),B(經(jīng)度為β,緯度為α)的球面距離(經(jīng)度中:東經(jīng)記為“+”,西經(jīng)記為“-”;緯度中:北緯記為“+”,南緯記為“-”;球半徑記為R)。
所以球面上兩點A、B的球面距離為:R×∠AOB的弧度數(shù)。
這種方法避免了立體幾何方面的線面關(guān)系的判斷,簡單易用,在教學(xué)中收到了良好的效果。從結(jié)論來看,數(shù)學(xué)的“對稱美”“簡潔美”在結(jié)論中也有充分的體現(xiàn)。
當(dāng)然,對于簡單類型(如同緯度或同經(jīng)度的問題),還是直接求解更方便一些。
應(yīng)用實例:假如你要乘坐從廣州直飛洛杉磯的飛機,設(shè)想一下,它需要沿著怎樣的航線飛行呢?如果知道兩地的經(jīng)緯度,據(jù)此你能計算出航程嗎?
解析:經(jīng)查,廣州A的經(jīng)緯度為:東經(jīng)113°,北緯23°;洛杉磯B的經(jīng)緯度為:西經(jīng)118°,北緯34°。地球半徑R≈6370 km,球心記為O,如上圖,
α1=23°,α2=34°,β1=113°,β2=-118°,
∴cos∠AOB=sinα1sinα2+cosα1cosα2cos(β1-β2)
=sin 23°sin 34°+cos 23°cos 34°cos 231°
≈-0.26176115250823。
∴∠AOB≈1.835弧度,
∴A,B的球面距離≈1.835R≈1.835×6370=11689 km。
答:廣州白云機場到洛杉磯飛行距離約為11689 km。