球面距離的向量求解方法及應(yīng)用

山東省青島第二中學(xué)分校 楊慶忠

在計算球面上兩點間的球面距離時，一般的方法是先求出以這兩點為端點的弦長，再求出該弦在大圓中所對圓心角的大小，從而求出這兩點間的球面距離。而當(dāng)球面上兩點的經(jīng)緯度各不相同時，用常規(guī)的方法求這兩點為端點的弦長是比較麻煩的，而用向量求解就顯得比較簡潔了。

例如：求球面上兩點A(經(jīng)度為β，緯度為α)，B(經(jīng)度為β，緯度為α)的球面距離（經(jīng)度中：東經(jīng)記為“+”，西經(jīng)記為“-”；緯度中：北緯記為“+”，南緯記為“-”；球半徑記為R）。

所以球面上兩點A、B的球面距離為：R×∠AOB的弧度數(shù)。

這種方法避免了立體幾何方面的線面關(guān)系的判斷，簡單易用，在教學(xué)中收到了良好的效果。從結(jié)論來看，數(shù)學(xué)的“對稱美”“簡潔美”在結(jié)論中也有充分的體現(xiàn)。

當(dāng)然，對于簡單類型（如同緯度或同經(jīng)度的問題），還是直接求解更方便一些。

應(yīng)用實例：假如你要乘坐從廣州直飛洛杉磯的飛機，設(shè)想一下，它需要沿著怎樣的航線飛行呢？如果知道兩地的經(jīng)緯度，據(jù)此你能計算出航程嗎？

解析：經(jīng)查，廣州A的經(jīng)緯度為：東經(jīng)113°，北緯23°；洛杉磯B的經(jīng)緯度為：西經(jīng)118°，北緯34°。地球半徑R≈6370 km，球心記為O，如上圖，

α1=23°，α2=34°，β1=113°，β2=-118°，

∴cos∠AOB=sinα1sinα2+cosα1cosα2cos（β1-β2）

=sin 23°sin 34°+cos 23°cos 34°cos 231°

≈-0.26176115250823。

∴∠AOB≈1.835弧度，

∴A，B的球面距離≈1.835R≈1.835×6370=11689 km。

答：廣州白云機場到洛杉磯飛行距離約為11689 km。