基于相干態(tài)指針實現(xiàn)光機械系統(tǒng)中的弱測量放大

李 剛

(延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000)

在1988年，弱測量理論由Aharonov等人提出[1]，通常被稱之為弱值放大機制(Weak value amplification regime，i.e.，WVA regime)。之后，弱測量的概念引起了一些爭議，但很快它的物理含義就被澄清了[2]。到現(xiàn)在為止，弱測量已成為最有前途的精密測量工具之一，它已應(yīng)用于各個研究領(lǐng)域，包括解決量子力學(xué)中的基礎(chǔ)問題[3，4]和解釋一些違反直覺的量子悖論[5]。在弱測量中，指針弱耦合到被測量的系統(tǒng)。與投影測量對比，如果指針的初始波函數(shù)的寬度很大，則在弱測量中指針的輸出信號(即指針觀測量的值)會遠遠超出系統(tǒng)觀察量的特征值的范圍。這個結(jié)論歸因于指針的量子態(tài)疊加(量子干涉效應(yīng))：當(dāng)被測量的系統(tǒng)發(fā)生接近正交的后選擇后，指針的兩個或多個稍微不同的平移高斯態(tài)的疊加[1，6]可以給出系統(tǒng)觀察量的值超出其特征值的范圍。最近發(fā)現(xiàn)，弱測量可以幫助測量較小的物理量[7]或?qū)^小的物理參數(shù)進行靈敏地估計[8，9]，然而傳統(tǒng)技術(shù)很難直接檢測到它們，大多數(shù)弱測量方案都可以通過經(jīng)典波動力學(xué)來解釋[8-10]。此外，更多有關(guān)弱測量領(lǐng)域的評論可以參考文獻[11，12]。

盡管弱測量有許多應(yīng)用，但其在光機械系統(tǒng)中的應(yīng)用很少被研究[13，14]。光學(xué)機械系統(tǒng)由一個光學(xué)腔和一個可移動鏡組成，腔中的光子會在反射鏡上產(chǎn)生輻射壓力，并使鏡子產(chǎn)生位移。在光機械弱耦合條件下，當(dāng)腔中只有一個光子時，很難檢測到鏡子的位移，那是因為由一個光子引起的鏡子位移遠小于鏡面波包的寬度。最近，標(biāo)準(zhǔn)弱測量方案[1]可以通過福克態(tài)視角來理解[6]?？紤]鏡子的初始態(tài)為基態(tài)，我們發(fā)現(xiàn)使用弱測量可以放大由一個光子引起的鏡子的位移[15]，這個結(jié)果是通過保留克爾相位獲得結(jié)果[16]。在有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)弱測量的大多數(shù)討論中，都將指針的初始化為基態(tài)，而弱測量的一個重要特征是，在被測量的系統(tǒng)上進行接近正交的后選擇后，幾個指針態(tài)的疊加可以產(chǎn)生放大效果[2]。這些指針態(tài)之間的相對相位起著關(guān)鍵作用，可以通過后選擇進行調(diào)整。正如人們所知，相干態(tài)被視為經(jīng)典態(tài)，自然地我們想要知道，當(dāng)指針最初被制備在相干態(tài)時，在弱測量中是否存在一些新量子特征。

本文考慮結(jié)合弱測量的光機械系統(tǒng)方案。當(dāng)鏡子處于相干態(tài)時，我們發(fā)現(xiàn)在正交選擇下能夠放大鏡子的位移，其最大放大值可以在時間附近發(fā)生，這對于品質(zhì)因子差的光機械腔非常重要，即光腔的衰減率非常大，因此該方案在當(dāng)前實驗條件下是可行的。這些結(jié)果是被兩個鏡子態(tài)之間的相對相位引起的，然而相對相位起源于量子力學(xué)的非對易性[17]。因此，它對于弱測量來說是一種新的有關(guān)放大的物理機制。

1 光機械系統(tǒng)的弱測量放大

H=ω0(aa+bb)+ωmcc-gaa(c+c)，

(1)

一個光子進入第一個分束器，然后進入光機械腔A和常規(guī)腔B。光子微弱地撞擊小鏡子。在第二個分束器之后，在暗口檢測到光子，即后選擇發(fā)生，否則，后選擇失敗。

假設(shè)一個光子輸入到干涉儀中，則第一個分束器之后的光子狀態(tài)變?yōu)?/p>

(2)

而鏡子初態(tài)被制備在相干態(tài)|α〉[20]，α=|α|eiθ，其中|α|和θ都是實數(shù)，分別稱之為相干態(tài)的振幅和相位。與處于相干態(tài)的鏡子微弱相互作用之后，整個系統(tǒng)的狀態(tài)變?yōu)?/p>

|Ψom(t)〉=(|1〉A(chǔ)|0〉B|Ψ(ξ,φ,t)〉m+

(3)

以及

|Ψ(ξ,φ,t)〉=eiφ(t)D(ξ(t))|φ(t)〉m，

(4)

其中φ(t)=k2(ωmt-sinωmt)，

D(ξ(t))=exp[ξ(t)c-ξ*(t)c]是一個平移算符，ξ(t)=k(1-e-iωmt)，k=g/ωm和φ(t)=αe-iωmt。

當(dāng)在暗口檢測到光子時，表明后選擇發(fā)生，即對單光子系統(tǒng)進行投影測量[15]，則單光子的后選擇狀態(tài)為

(5)

其正交于|Ψi〉。然后，鏡子的最終狀態(tài)變?yōu)?/p>

|Ψos(t)〉=(|Ψ(ξ,φ,t)〉m-|φ(t)〉m)/2。

(6)

為了簡化分析，可以平移等式(6)的態(tài)到相空間原點，定義|χos(t)〉=D(φ(t))|Ψos(t)〉，于是可以獲得

|χos(t)〉=(exp[iφ(t)+iφ(α,t)]|ξ(t)〉m-

|0〉m)/2，

(7)

其中這個相eiφ(t)+iφ(α,t)是相干態(tài)|ξ(t)〉m和基態(tài)|0〉m之間的相對相位，其中

φ(α,t)=-i[(ξ(t)φ*(t)-ξ*(t)φ(t))]，

它是通過平移算子的性質(zhì)

D(α)D(β)=exp[αβ*-α*β]D(β)D(α)

(8)

獲得的，即量子力學(xué)的非對易性。在文獻[15]中，正交選擇發(fā)生后兩個鏡子態(tài)之間的相對相位是由克爾相位引起的，并可以導(dǎo)致弱測量放大效應(yīng)。

下面將給出如何通過該相對相位來產(chǎn)生鏡子微弱位移的放大。

2 通過相干態(tài)指針放大鏡子位置變量q

在弱測量中，鏡子的指針變量q的平均位移為

(9)

通過等式(6)，并且代它進入等式(9)，可以獲得

〈q(t)〉=σ[ξ(t)+ξ*(t)-e-|ξ(t))|2/2(eiφ(t)+iφ(α,t)

ξ(t)+e-(iφ(t)+iφ(α,t))ξ*(t))]/

[2-e-|ξ(t))|2/2(eiφ(t)+iφ(α,t)+e-(iφ(t)+iφ(α,t)))]，

(10)

其中相位eiφ(α,t)是從量子力學(xué)非對易性中產(chǎn)生的相對相位。

對于不同的相干態(tài)|α=|α|eiθ〉，在圖2中鏡子的平均位移〈q(t)〉/σ顯示為時間ωmt的函數(shù)，其中k=0.005。從圖2清楚可見，在ωmt=0附近發(fā)生的放大可以達到單光子強耦合極限(零點漲落程度)〈q〉=σ或-σ[21]。這個結(jié)果對于品質(zhì)因子差的光機械腔非常重要，因為光腔的衰減率非常大，使光子可能在很短的時間內(nèi)從腔中泄漏出來。而且，對于某些相干態(tài)，在ωmt=0附近放大的時間間隔是較寬的，因此更易于實驗檢測，這與文獻[15]中的ωmt=0附近放大的時間間隔形成鮮明對比，而在文獻[15]中放大的時間間隔是非常狹窄的。注意，由一個光子在腔中引起的鏡子的最大位移(見圖2(a))為4kσ，而在弱測量下，此處獲得的鏡子的最大位移可以達到σ或-σ，因此放大因子可以為Q=±1/4k。例如，當(dāng)k=0.005時，Q=±50，即相當(dāng)50個光子撞擊在鏡子上引起鏡子位移。

接下來，將給出如何通過該相對相位來產(chǎn)生鏡子微弱位移的放大。

(a)不同振幅|α|和不同相位θ的鏡子的平均位移〈q(t)〉/σ，其中k=0.005(|α|=1/2和θ=0(實線)，|α|=1和θ=π/3(點劃線)，|α|=2和θ=5π/12(虛線)，|α|=4和θ=π/2(點線))；(b)不同振幅|α|和不同相位θ的鏡子的平均位移〈q(t)〉/σ，其中k=0.005(|α|=1/2和θ=π(實線)，|α|=1和θ=4π/3(點劃線)，|α|=2和17π/12(虛線)，|α|=4和θ=3π/2(點線))。

3 對于放大效應(yīng)進行時間的泰勒展開

為了探討在ωm(t)=0附近發(fā)生的放大效應(yīng)，對于等式(7)，可以在時間0處進行泰勒展開直到第一階。假設(shè)ωmt?1和k?1，則

|χos(t)〉≈[ikωmt|1〉m+i2k|α|((ωmt)2sinθ/2+

ωmtcosθ)|0〉m]/2，

(11)

它是|0〉m和|1〉m的疊加態(tài)，而|0〉m的幅度是歸因于量子力學(xué)的非對易性引起的相對相位eiφ(α,t)。因此，|0〉m和|1〉m的疊加是獲得放大的關(guān)鍵。在等式(11)中，當(dāng)

kωmt=2k|α|((ωmt)2sinθ/2+ωmtcosθ)

(12)

時，鏡子的位移可以達到最大值σ，當(dāng)

kωm(t)=-2k|α|((ωmt)2sinθ/2+ωmtcosθ)

(13)

4 基于耗散的位置變量q的放大

考慮到耗散，機械系統(tǒng)的主方程為[19，22]

dρ(t)/dt=-i[H,ρ(t)]+γm[2cρ(t)c-ccρ(t)

-ρ(t)cc]/2，

(14)

其中γm=是阻尼常數(shù)。通過等式(14)，給出機械系統(tǒng)的耗散演化解析解或者數(shù)值解，再與無耗散的等式(6)進行對比，從而可以看出噪聲對弱測量放大的影響。

對于和θ=π/4，鏡子的平均位移〈q(t)〉/σ是時間ωmt的函數(shù)，其中k=0.005，γ=0(實線)和γ=0.005(虛線)。

鏡子的平均位移〈q(t)〉/σ在圖3中顯示為時間ωmt的函數(shù)，其中k=0.005，γ=0(實線)和γ=0.005(虛線)。從圖3可以看出，在存在阻尼的情況下，所有的放大值都減小了(虛線)，但是實際的γ可以很小(在文獻[16]中γ=5×10-7)。例如，對于γ=5×10-7，這個放大結(jié)果與γ=0的結(jié)果幾乎相同，因此耗散對鏡子的放大效應(yīng)幾乎無影響。

5 結(jié)論

總之，本文在光機械系統(tǒng)中用相干態(tài)指針研究了弱測量放大。之所以被認為是一種新的放大機制，那是因為后選擇后指針態(tài)之間的相對相位是由于量子力學(xué)的非對易性引起的，這與標(biāo)準(zhǔn)的弱測量(WVA regime)不同[1，6]，后者是通過對被測量系統(tǒng)的后選擇(對被測系統(tǒng)進行投影測量)獲得相對相位。當(dāng)鏡子處于相干態(tài)時，鏡子位置的位移的最大放大值可以在ωm(t)=0附近發(fā)生，然而如果鏡子處于基態(tài)時，則無法實現(xiàn)放大效應(yīng)[1，6，15]。該結(jié)果依賴于品質(zhì)因子差的光機械腔，因此本文的方案在當(dāng)前實驗條件下是可行的。這些結(jié)果擴展了弱測量在光學(xué)機械系統(tǒng)中的應(yīng)用，并且加深了我們對弱測量的理解。