分形納米毛細(xì)管中水的有效滲透率

王桂芹，周蔚怡，宜海友，崔亮靚，許 步，戴昌潤，洪鑫文，紀(jì)晶文

(1.延安大學(xué) 石油工程與環(huán)境工程學(xué)院；2.延長油田股份有限公司 注水項(xiàng)目區(qū)管理指揮部，陜西 延安 716000)

頁巖儲層通常包含非常窄的納米尺度孔隙通道[1]，水平井鉆井和多級滑溜水壓裂是目前開發(fā)頁巖油氣資源的關(guān)鍵技術(shù)[2]。返排壓裂液是水力壓裂過程的最后一步，一些研究人員指出，只有不到50%的注入壓裂液可以回收。裂縫網(wǎng)絡(luò)中滯留的水通過自吸作用進(jìn)入封閉的納米孔，是造成油氣采收率低的主要原因[1，3]。更好地理解納米尺度孔隙中的滑溜水流動行為對預(yù)測非常規(guī)油氣藏的采收率是至關(guān)重要的[4]。

Lucas和Washburn建立了毛細(xì)管驅(qū)動液體進(jìn)入均勻截面毛細(xì)管的經(jīng)典解析解[5]。有幾位研究者應(yīng)用了Lucas-Washburn方程(L-W方程)直接研究滲吸現(xiàn)象[6]。然而，上述研究基于無滑移邊界條件的基本假設(shè)，即近壁流體層速度為零。事實(shí)上，一些含氣/油的頁巖地層孔隙的半徑比含水的孔隙大10-100倍。很明顯，觀測到的結(jié)果與無滑移邊界條件下的預(yù)測結(jié)果有相當(dāng)大的出入[7]。一些研究者指出，頁巖和其他多孔介質(zhì)遵循分形尺度規(guī)律[8-10]，而分形理論因其能夠代表這些分形多孔介質(zhì)的自相似性孔隙結(jié)構(gòu)及其流動能力而受到關(guān)注[11-14]。納米孔中流體流動存在多重流動機(jī)理。親水性納米孔中，近壁面區(qū)域的承壓水有效粘度高于散裝水。然而，水分子可以有效地沿著疏水納米孔壁流動，無滑移邊界條件滑動假設(shè)不再成立[15]。此外，承壓水流動行為主要是由水/納米孔壁相互作用影響，水/壁相互作用發(fā)生在分子水平上。具有不同孔徑的多孔介質(zhì)可以看作是一束彎曲的、截面面積可變的毛細(xì)管，彎曲毛細(xì)管的長度服從分形定律[16，17]。本文充分考慮水在頁巖納米孔中流動時(shí)的不同流動機(jī)理，并結(jié)合頁巖納米孔的分形特性，研究水在納米毛細(xì)管中的流動特性。

1 水在納米毛細(xì)管中流動的分形模型

1.1 流量

Zeng等人充分考慮滑溜水壓裂液在頁巖納米管中流動的多種流動機(jī)理，建立了水在單根直納米毛細(xì)管中流動時(shí)的統(tǒng)一流量方程[4]：

(1)

式中：q為單根納米毛細(xì)管中液體流動時(shí)的體積流量，m3/s；λ為納米毛細(xì)管孔隙的直徑，m；ΔP是施加在納米毛細(xì)管兩端的壓降，Pa；L0為納米毛細(xì)管通道的直線長度，m；μb為水的體相粘度，Pa·s；ls為水在納米毛細(xì)管中流動時(shí)的真實(shí)滑移長度，m。

真實(shí)滑移表示流體分子有效地沿壁面滑動，在一定條件下，滑移長度可以通過任意給定液體的接觸角計(jì)算得到[15]：

ls=C/(cosθ+1)2，

(2)

C是一個(gè)常數(shù)，m；θ是接觸角。

由于近壁面受限水的粘度與體相水的粘度相差很大，導(dǎo)致水/水界面會出現(xiàn)明顯的滑移[18]。在實(shí)際應(yīng)用中，考慮真實(shí)、明顯滑移效應(yīng)的約束流體滑移長度應(yīng)替換為有效滑移長度Lse，其表達(dá)式為[15]：

(3)

式中：Lse是有效滑移長度，m；Lsa為表觀滑移長度，m；μb為水的體相粘度，Pa·s；μd為承壓流體的有效粘度，Pa·s。

承壓流體的有效粘度強(qiáng)烈地依賴于體相流體和界面層流體的粘度。承壓水的有效黏度可由塊狀區(qū)域的水黏度與納米孔界面水黏度的組合表示[19]：

(4)

式中：μd為承壓水的有效粘度，Pa·s；μi為界面區(qū)流體粘度Pa·s；Aid是界面層的面積，m2；Atd是納米孔隙的橫截面積，m2。

(5)

式中：λc為承壓流體臨界厚度，m。

界面區(qū)域的水粘度可表示為[15]：

μi=(-0.018θ+3.25)μb。

(6)

體積水粘度是溫度的函數(shù)[15]：

μb=

(7)

式中：T是水的溫度，K；該公式適用于溫度范圍為273.15 K～423.15 K。

在頁巖儲層納米毛細(xì)管中，真實(shí)納米毛細(xì)管長度與毛細(xì)管直徑滿足如下分形關(guān)系[16，17]：

(8)

式中：Lt為頁巖儲層納米毛細(xì)管通道的實(shí)際長度，m，且Lt≥L0；DT為頁巖儲層納米毛細(xì)管的迂曲度分形維數(shù)，1

考慮到頁巖儲層納米孔隙的分形特征，采用納米毛細(xì)管的實(shí)際長度，以及水在納米毛細(xì)管中流動的流動機(jī)理，式(1)可改為：

(9)

由式(8)和式(9)可得：

(10)

式(10)即為水在單納米毛細(xì)管中流動時(shí)流量方程的分形表達(dá)式?？梢钥闯龇中瘟髁糠匠碳词撬诩{米孔隙毛細(xì)管中各種流動特征(速度滑移、邊界層)的函數(shù)，也是毛細(xì)管結(jié)構(gòu)特征(孔隙直徑、迂曲度分形維數(shù))的函數(shù)。式(10)中，忽略水在納米孔中流動的各種流動機(jī)理，即可得納米毛細(xì)管中不考慮水流動的各種流動機(jī)理的分形流量表達(dá)式：

(11)

式(11)中，當(dāng)DT=1時(shí)，分形流量方程簡化為哈根-泊謖葉方程：

(12)

1.2 有效滲透率

頁巖基質(zhì)納米管中流體流動時(shí)仍滿足廣義達(dá)西定律：

(13)

由式(10)和式(13)，可得分形納米毛細(xì)管中水的有效滲透率：

(14)

式(14)即為水在頁巖納米毛細(xì)管中流動的有效滲透率的分形模型。不考慮水在納米管中的速度滑移、邊界層流體粘度變化等流動機(jī)理，即可得納米毛細(xì)管中水的有效滲透率的分形模型：

(15)

式(15)中，當(dāng)DT=1時(shí)，分形有效滲透率方程簡化為Corey-Zemany方程：

(16)

2 結(jié)果與討論

不考慮水的粘度隨壓力和溫度變化，可以令有機(jī)孔接觸角θOM=60°，θIOM=150°，T=300 K，C=0.41×10-9m，λc=0.7×10-9m，L0=5×10-9m。

令納米毛細(xì)管直徑為100 nm，圖1給出了納米毛細(xì)管中水的流量(10)式隨納米毛細(xì)管兩端壓力梯度和毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢。由圖1可知，毛細(xì)管兩端壓力梯度越大，納米毛細(xì)管中水的流量越大；而頁巖儲層納米孔隙迂曲度分形維數(shù)越大，水的流量就越小。即納米孔隙彎曲程度越大，水在其中流動時(shí)受到的阻力就越大，從而會使得納米孔自吸能力變差，壓裂液返排率就會變高。同時(shí)，從圖1還可以看出在相同孔隙直徑和壓力梯度條件下，有機(jī)納米毛細(xì)管的自吸能力高于無機(jī)納米毛細(xì)管，這是由于孔隙不同潤濕性所致。疏水性有機(jī)納米毛細(xì)管中的滑移長度大于親水性無機(jī)納米毛細(xì)管；同時(shí)，疏水性邊界層水的粘度低于體相粘度，而親水性無機(jī)納米毛細(xì)管中邊界層的粘度高于體相流體粘度。

令納米毛細(xì)管兩端壓力梯度為2.07 Pa，圖2給出了頁巖納米毛細(xì)管中水的有效滲透率隨毛細(xì)管直徑和毛細(xì)管迂曲度分形維數(shù)的變化趨勢。由圖2可知，頁巖基質(zhì)納米孔隙直徑越大，水在其中流動時(shí)的有效滲透率就越大；而頁巖基質(zhì)納米孔隙分形維數(shù)越大，水在其中流動時(shí)的有效滲透率就越小。在孔隙直徑相同的條件下，水在疏水性有機(jī)納米毛細(xì)管中流動時(shí)的有效滲透率大于親水性無機(jī)納米毛細(xì)管中的有效滲透率。與流量特征一致，亦是由于納米孔隙不同潤濕性所致。

a.分形有機(jī)毛細(xì)管

3 結(jié)論

充分考慮水在頁巖納米毛細(xì)管中的各種流動機(jī)理以及頁巖基質(zhì)納米孔隙的分形特征，建立了水在納米毛細(xì)管孔隙中流動的流量和有效滲透率的分形模型。通過分析可知，毛細(xì)管兩端壓力梯度越大，納米毛細(xì)管中水的流量越大；而頁巖基質(zhì)納米孔隙迂曲度分形維數(shù)越大，水的流量就越小。水在疏水性有機(jī)納米毛細(xì)管中流動時(shí)的流量和有效滲透率均大于親水性無機(jī)納米毛細(xì)管。多級滑溜水壓裂是目前開發(fā)頁巖油氣資源的關(guān)鍵技術(shù)，裂縫網(wǎng)絡(luò)中滯留的水通過自吸作用進(jìn)入封閉的納米孔，充分考慮頁巖基質(zhì)的分形特征對于預(yù)測非常規(guī)油氣藏的采收率是至關(guān)重要的。