淺談閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其推廣

王良晨 童雷雷

(重慶郵電大學理學院 重慶 400065)

連續(xù)函數(shù)是數(shù)學分析的主要研究內(nèi)容，其相關(guān)性質(zhì)已經(jīng)相當完善，特別是連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的眾多性質(zhì)也已經(jīng)有了較好的研究成果，再由此推廣出的連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間和無窮區(qū)間上的性質(zhì)也被廣泛地應(yīng)用。但是連續(xù)函數(shù)涉及內(nèi)容多，定義形式和性質(zhì)多樣化，定理證明學生難以理解，對相關(guān)性質(zhì)難以全面掌握。由于證明部分構(gòu)造性強，對學生的考核目前基本上采用了期中+期末兩次考試，但是無論是《數(shù)學分析》還是《高等數(shù)學》，均存在知識點多、需要考核的內(nèi)容多等問題，且目前大多數(shù)考核局限于對知識點和計算能力的簡單考核，而忽視了對數(shù)學概念和數(shù)學推理能力的考核，考核過程中大多只重視計算能力、簡單的解題技巧。由于考試時間一般只有兩小時而考核內(nèi)容較多，主要目的考核學生對簡單基本知識點是否掌握，難以深層次考核學生。實際上，該課程要求學生在理解基本概念的基礎(chǔ)上，還要靈活地加以應(yīng)用，特別要求學生能夠利用定義去證明相關(guān)定理，要求學生具有較強的邏輯推理能力和分析能力，只有這樣，學生在今后考研和實際解決問題中，才能夠游刃有余，才能夠進一步將現(xiàn)有的結(jié)果進行推廣，才能進一步推動微積分的發(fā)展。因此，教師在教學過程中可以分章節(jié)進行考核，降低期末考試的分值，加強平時過程考核。教師在平時章節(jié)考核過程中必須將基本概念、基本理論和定理的證明思路作為重點考核對象。這樣可以做到教考的有機結(jié)合，相互促進?？己瞬粌H是為了檢驗學生的學習效果，也是引導(dǎo)教師進行教學改革和學生改進學習方法的指揮棒。因此，本文系統(tǒng)歸納常用連續(xù)函數(shù)結(jié)論，有利于學生全面掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，學生通過系統(tǒng)地積累相關(guān)結(jié)論，可以為今后實際解決問題做好鋪墊。

一、連續(xù)函數(shù)的概念

sinx在x0上連續(xù)。又由于x0的任意性，故sinx在(-∞,+∞)上連續(xù)。

這是對開區(qū)間連續(xù)的定義，那如何研究閉區(qū)間上的連續(xù)呢？為此，需要給出單側(cè)連續(xù)的概念：

定義1.4[1][2]：若函數(shù)f(x)在(a,b)連續(xù)，在左端點a右連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，則該函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

此外，還可以根據(jù)左右連續(xù)給出一點連續(xù)的充要條件：

定理1.2[1][2]：函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的充要條件是函數(shù)f(x)在點x0左右均連續(xù)。

除了連續(xù)，一致連續(xù)也是討論函數(shù)性質(zhì)的重要方法，反應(yīng)了區(qū)間上更強的連續(xù)性。

定義1.5[1][2]：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，對任意給定的ε>0，存在δ=δ(ε)>0，當x',x''∈I滿足｜x'-x''｜<δ，有｜f(x')-f(x'')｜<ε，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

從定義可以看出，函數(shù)在一點連續(xù)和一致連續(xù)這兩個概念有著重要區(qū)別，函數(shù)在一點連續(xù)反應(yīng)了函數(shù)的局部性質(zhì)，而一致連續(xù)反應(yīng)了函數(shù)整體性質(zhì)，是一個更強的概念。一般一致連續(xù)可以推出連續(xù)，反之不成立。但在閉區(qū)間上兩者卻是一致的，可以互相推出。

二、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)

定理2.1[1][2]：（有界性定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上有界。

定理2.2[1][2]：（最值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在該區(qū)間上有最大值和最小值。

定理2.3[1][2]：（根的存在定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

例2.1：證明方程x=cosx+2在[0,π]至少有一個正根。

證明：取f(x)=x-cosx-2，則f(0)=-1<0和f(π）=π-1>0，因此根據(jù)定理2.3可得，至少存在一點x0∈(0,π）使得f(x0)=0，因此上述結(jié)論成立。

例2.2：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且對任何x∈[a,b]都有f(x)≠0，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上定號。

證明：假設(shè)結(jié)論不成立，即存在x1,x2∈[a,b]使得f(x1)·f(x2)<0，根據(jù)定理2.3可得，至少存在一點x0介于x1和x2之間使得f(x0)=0，這與題設(shè)矛盾，故假設(shè)錯誤，即函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上定號。

定理2.4[1][2]：（介值定理）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且f(a)≠f(b)，若有(μ-f(a))(μ-f(b))<0，則至少存在一點x0，使得f(x0)=μ。

定理2.5[1][2]：（一致連續(xù)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣

下面給出幾個常用的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上性質(zhì)。根據(jù)函數(shù)的奇偶性和變量代換容易得到如下幾個推論：

根據(jù)介值定理2.4，容易推得如下結(jié)論：

推論3.4：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，設(shè)f(x)在[a,b]的最大值和最小值分別為M和m，則f([a,b])=[m,M]。

增加一定條件，該推論反過來容易得到如下結(jié)論：

定理3.1[3]：若f(x)在[a,b]上為單調(diào)函數(shù)，且值域為[f(a),f(b)]或者[f(b,f(a)]，則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，基本性質(zhì)已經(jīng)有了保證，但是對于開區(qū)間上述結(jié)論一般不成立，除非增加一定條件，下面幾個結(jié)論給出了推廣的形式。

定理3.2[3]：若f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且f(x)在點a的右極限和點b的左極限存在且有限，則f(x)在開區(qū)間(a,b)上有界。

雖然在閉區(qū)間上連續(xù)和一致連續(xù)具有等價關(guān)系，但在開區(qū)間上連續(xù)不能保證有界，而一致連續(xù)卻可以保證有界：

定理3.3：設(shè)f(x)在開區(qū)間(a,b)上一致連續(xù)，則f(x)就在(a,b)上有界。

對于一致連續(xù)，除了定義和一致連續(xù)定理以外，下述三個定理也是常用判斷一致連續(xù)的方法。

定理3.4[1]：設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，滿足Lipschitz條件，即是對任意x',x''∈I，存在常數(shù)L>0，使

｜f(x')-f(x'')｜≤L｜x'-x''｜

則稱f(x)是區(qū)間I上的一致連續(xù)函數(shù)。

結(jié)合定理3.4和拉格朗日中值定理容易得到如下推論：

推論3.6：若f(x)在區(qū)間I上連續(xù)可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間I上有界，則f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

注：定理3.5除了判斷函數(shù)是否一致連續(xù)以為，對于判斷函數(shù)非一致連續(xù)也是非常好的方法。比如證明例1.2中的非一致連續(xù)。

四、結(jié)束語

該論文主要針對閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)進行了總結(jié)，通過對多個版本的數(shù)學分析教材的相關(guān)章節(jié)進行學習并整理出了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上通過閱讀相關(guān)文獻對閉區(qū)間上的性質(zhì)進行了推廣，探討了連續(xù)函數(shù)在無窮區(qū)間或者一般開區(qū)間上的性質(zhì)，包括一致連續(xù)性在開區(qū)間上成立的條件等。目的是希望學生盡快掌握連續(xù)函數(shù)的概念、判斷方法、基本性質(zhì)以及常用推廣的性質(zhì)，這樣更有利于學生對該章節(jié)知識的掌握。