一類(lèi)微分方程最佳平方逼近解法的注記

岑達(dá)康，汪志波

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

定義1 對(duì)（fx）∈C［a，b］及C［a，b］中的一個(gè)子集φ=span｛φ0（x），φ1（x），…，φn（x）｝，ρ（x）為非負(fù)函數(shù)，若存在S*（x）∈φ，使

則稱(chēng)S*（x）是（fx）在子集φ?C［a，b］中的最佳平方逼近函數(shù)。

定理1［1］若S*（x）∈φ，其中φ0（x），φ1（x），…，φn（x）線性無(wú)關(guān)。記

可得S*（x）=［φ0φ1… φn］α=［φ0φ1… φn］A-1β，最佳平方逼近誤差為C-β'A-1β。不妨以勒讓德多項(xiàng)式［2］為基函數(shù)，給出一類(lèi)微分方程數(shù)值解法。

1 勒讓德多項(xiàng)式及性質(zhì)

正交性，表示為

2 勒讓德多項(xiàng)式逼近

3 微分方程數(shù)值求解

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

例求解如下微分方程的數(shù)值解

方程的精確解為u（x）=x2+1。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)采用Matlab2014a 進(jìn)行運(yùn)算。取權(quán)函數(shù)ρ（x）=1，基函數(shù)為｛φ0，φ1，φ2｝=｛1，x，3/2x2-1/2｝。解得數(shù)值解U（x）=x2+x/180 143 985 094 819 84+1。平方逼近誤差為（x/180 143 985 094 819 84）2dx=2.054 3e-33。