一類分?jǐn)?shù)階偏微分方程的柯西問題*

李思彤

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西 桂林 541006）

本文討論一類分?jǐn)?shù)階偏微分方程的柯西問題

其中n≥2且為整數(shù)，φ,ψ為速降函數(shù)。

在文獻[3]的基礎(chǔ)上，2018年A.Torchinsky[4]利用貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)驗證(2)的結(jié)論。比較文獻[3-4]中的方法，文獻[4]中推導(dǎo)過程十分簡練。結(jié)合文獻[3-4]的方法，本文將研究一類分?jǐn)?shù)階偏微分方程的柯西問題(1)。

為了研究這類分?jǐn)?shù)階偏微分方程解的形態(tài)，引用下列引理。

引理1[3]設(shè)n≥3，如果函數(shù)f只依賴x n，那么

其中R＞0，ωn-1是在R n-1中單位球的表面積，σ(x)為?B(0,R)上的表面積微元。

1 一類齊次分?jǐn)?shù)階偏微分方程的柯西問題

當(dāng)f(x)=0時，此時方程為

設(shè)方程的解為u(x,t)，對方程(3)關(guān)于x進行傅里葉變換[5]，由分?jǐn)?shù)階拉普拉斯的定義以及傅里葉變換的性質(zhì)，得

2 一類非齊次分?jǐn)?shù)階偏微分方程的柯西問題

3 結(jié)語

傅里葉變換將復(fù)雜的運算化為簡單運算來研究，因此傅里葉變換廣泛應(yīng)用在數(shù)論、密碼學(xué)、組合數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天線和信息處理等學(xué)科和科學(xué)領(lǐng)域。本文在了解關(guān)于利用傅里葉變換來解偏微分方程的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)利用傅里葉變換求解的相關(guān)研究非常廣泛。對于與本文有關(guān)的還有一些地方值得研究，例如利用緩增廣義函數(shù)的定義簡化方程解、n為偶數(shù)時方程解的情形等問題，但由于能力有限，所做的工作只探討這類分?jǐn)?shù)階偏微分方程n為奇數(shù)的情形的解。