有限長螺線管磁場均勻性分布的理論分析和可視化研究

周曉妍，劉世鯤，張樹甜，孫 敏，陸 健，黃德財

(南京理工大學(xué) 應(yīng)用物理系，江蘇 南京 210094)

電磁學(xué)是“大學(xué)物理”和“大學(xué)物理實驗”理工類本科生的重要教學(xué)內(nèi)容之一，長直螺線管的磁場分布是其中一個重要知識點，同時，螺線管是一個重要的電子器件和裝置，如繼電器、轉(zhuǎn)換器和回旋加速器等.在一些經(jīng)典的“大學(xué)物理”的教材中，如程守洙版，張三慧版，馬文蔚版，Jackson版和Halliday版[1-5]，教學(xué)安排通常是先對單個圓形載流線圈軸線上的磁場分布進行計算，然后再介紹長直密繞螺線管的磁場分布.常見介紹是忽略螺距的影響，直接給出螺線管外部磁場為零，內(nèi)部磁場均勻分布，均未作詳細推導(dǎo).在“大學(xué)物理實驗”的教學(xué)中[6]，常見的方法是測量一段有限長直載流密繞螺線管中心軸線處的磁場，對比螺線管中心和管口處的磁場大小，從而分析螺線管內(nèi)部磁場的均勻分布情況.

對于單個圓形電流來說，求解其在中心軸線上的磁場的推導(dǎo)較為簡單，但是磁場在全空間分布的解析表達的推導(dǎo)卻相對復(fù)雜，更多的討論和分析出現(xiàn)在教學(xué)研究的文獻中.常見的理論分析方法有兩種，一種是直接利用畢奧-薩伐爾定律，先計算單個圓形線圈上的電流元的磁場的空間分布，然后進行矢量疊加計算[7,8]；另一種是利用磁矢勢概念，先求矢勢，再利用矢勢與磁場的關(guān)系求解磁場[9,10].對于“大學(xué)物理”的教學(xué)來說，多是面對低年級的學(xué)生，前者僅涉及到矢量叉乘和分解，被眾多教學(xué)類的文獻廣泛采用；而后者需要利用矢勢的概念，超出了教學(xué)大綱的要求.正是基于此原因，眾多的文獻采用的是畢奧-薩伐爾定律，進而對螺線管的磁場的空間分布展開討論，其中，有限長直密繞螺線管受到了較多的關(guān)注，如圖1所示.在實際處理過程中，基本的處理方法是在單個環(huán)形電流的磁場的基礎(chǔ)上，進行簡單的矢量分解和積分，很少有考慮線圈在纏繞過程中，線圈的螺距即線圈的疏密程度，對螺線管內(nèi)外空間磁場的影響.

圖1 螺線管及單匝線圈產(chǎn)生磁場示意圖(灰色圓柱為密繞螺線管，位于z=0平面內(nèi)的黑色實線表示單匝線圈，圓心與坐標原點O重合，點P為磁場中的任意點)

本文采用畢奧-薩伐爾定律，利用矢量疊加原理，推導(dǎo)了單個圓形載流線圈和有限長密繞螺線管的磁場的空間分布的理論公式，利用Python軟件求解并繪制出了磁感應(yīng)線，并對結(jié)果進行詳細的討論.

1 單個圓形載流線圈磁場的空間分布

首先，我們分析了螺線管上單匝線圈周圍的磁場，如圖1所示.螺線管沿z軸放置，圓心與坐標原點O重合.圖1中黑色實線為特別表示位于z=0平面內(nèi)的單匝線圈，線圈半徑為a.本文采用的電流為I=5 A，方向由圖1中箭頭所指示.為方便計算，引入兩個坐標變換關(guān)系式.取平面Oxz內(nèi)任意一點P，其在Oxy平面上的投影點P′的坐標為(rsinθ，0)，θ∈(0，π).采用畢奧-薩伐爾定律，電流元Idl在點P產(chǎn)生的磁場為

(1)

圖1中，電流元Idl與x軸的夾角為φ，因而dl=-adφ(sinφi-cosφj)，Idl到點P的距離

R′=(rsinθ-acosφ)i-asinφj+rcosθk

(2)

矢量叉乘結(jié)果為

dl×R′=arcosθ(cosφi+sinφj)dφ+

a(a-rsinθsinφ)dφk

(3)

將式(3)代入式(1)進行積分可得點P處磁場B，其在直角坐標系中x、y、z方向上的分量分別是

(4)

應(yīng)用坐標變換關(guān)系式ρ=rsinθ，z=rcosθ，由式(4)可得點P處磁場B的分量表達式為

(5)

因此，圓形載流線圈在空間點P的磁場可由式(5)給出.函數(shù)奇偶性分析，關(guān)于sinφ項的積分為0，所以，載流圓線圈在空間的磁場只在Bρ和Bz上存在.應(yīng)用Python軟件中Matplotlib庫，我們可以給出在直角坐標系下截面y=0的磁感應(yīng)線分布，如圖2所示.首先，載流線圈的電流分布和空間磁場分布均具有軸對稱性.且線圈附近磁感應(yīng)線明顯比遠處的密集.其次，線圈附近的磁場是閉合的，軸線位置磁場自下而上呈直線狀，與教材中結(jié)果相同.

圖2 單個圓形載流線圈在截面y=0的磁感應(yīng)線分布圖(黑粗實線為圓形載流線圈，黑細實線為磁感應(yīng)線，箭頭表示磁場方向)

為進一步討論圓形線圈的磁場在空間的分布情況，圖3給出了圓形載流線圈在ρ= 0處即中心軸上和z= 0平面上載流線圈徑向的Bρ、Bz分布.由圖3(a)可看出，對于ρ= 0的中心軸上的磁場分量Bz來說，磁場成單峰分布，磁場Bz大小等于總磁場B.類似地，圖3(b)表明z= 0平面上線圈徑向的磁場分量Bρ始終較小，磁場在ρ=±20 mm處存在奇點，越靠近載流線圈的導(dǎo)線，磁場越大；反之，磁場越小.

(a) ρ= 0即中心軸上Bρ和Bz分布

2 理想螺線管磁場的空間分布

在本文中，理想螺線管定義為線圈纏繞方向與水平方向夾角為0°且不考慮線圈導(dǎo)線的橫向尺寸.空間中某一點的磁場是多匝圓形載流線圈在該點的磁場的矢量疊加.應(yīng)用單個圓形載流線圈的表達式(5)，可得出z0處的單個圓形載流線圈在P(ρ，z)處激發(fā)的磁場表達式為

(6)

逐步增加圖1中的圓形載流線圈匝數(shù)，由圖4給出線圈匝數(shù)N分別為3、7、11和21情況下，磁場在ρ= 0即中心軸上和在z=0平面上載流線圈徑向的Bz分布.其中，螺線管長度為L=200 mm、半徑為a=20 mm，線圈等間距分布，B0為對應(yīng)不同匝數(shù)時在ρ= 0、z= 0處的Bz值.本文采用無量綱化的方法，以方便對比分析數(shù)據(jù).

由圖4(a)可看出，在ρ= 0的中心軸上的磁場Bz出現(xiàn)明顯“波浪式”起伏，在線圈所在位置的平面出現(xiàn)“波峰”(Bp)，在相鄰線圈中心位置平面內(nèi)出現(xiàn)“波谷”(Bt)，且“波峰”和“波谷”交處交替出現(xiàn).定義在z= 0處為Bp0，其他位置處的磁場關(guān)于z= 0對稱分布，“波峰”和“波谷”依次為Bp0，Bt-1，Bt1，Bp-1，Bp1，…….在匝數(shù)較少時，如3匝，分別出現(xiàn)3次“波峰”和2次“波谷”.隨著線圈匝數(shù)的增加，會出現(xiàn)N次“波峰”和N-1次“波谷”，其中，N為線圈匝數(shù).由圖4(a)可看出，隨著線圈匝數(shù)的增多，即線圈匝數(shù)密度增加，“波峰”和“波谷”之間的間距隨之減小，曲線趨于平緩，即磁場趨向于均勻.以Bp0為單位1，具體的“波峰”和“波谷”的幅值對比，如表1所示.明顯可見，對比線圈匝數(shù)為3和21的情況，21匝時的Bt1和Bp1幅值分別為0.9998和0.9995，中心軸線附近可近似看作是均勻磁場.

表1 螺線管峰值點磁場的幅值比較(z=0處的磁場Bp0=1單位磁場)

(a) ρ=0處的中心軸向上Bz分布

圖4(b)給出的是磁場在z=0平面上載流線圈徑向的Bz分布.可以看出，與圖3(b)類似，Bz在圓形導(dǎo)線處存在奇點.靠近導(dǎo)線處的磁場較大，遠離導(dǎo)線處的磁場較小.而且，對于螺線管內(nèi)部的磁場來說，隨著線圈匝數(shù)的增加，磁場逐漸趨向均勻分布.

(b) z= 0平面上載流線圈徑向上Bz分布圖4 螺線管磁場分布

利用Python中Matplotlib庫的畫圖功能，圖5給出的是匝數(shù)N為3、11的理想螺線管在截面y=0的磁感應(yīng)線分布圖.首先，與圖2類似，由于螺線管的圓形電流分布具有軸對稱性，磁感應(yīng)線在空間的分布也具有軸對稱性，且所有磁感應(yīng)線都通過圓形導(dǎo)線圈.其次，當螺線管線圈匝數(shù)為3時，線圈之間的磁感應(yīng)線存在明顯的周期性“波浪式”起伏，靠近線圈處的磁感應(yīng)線相對較密集，遠離線圈處的磁感應(yīng)線較稀疏.當線圈匝數(shù)增加為11時，磁感應(yīng)線的周期性“波浪式”起伏程度減小，螺線管內(nèi)磁感應(yīng)線趨向于直線分布，即趨向均勻性分布.

圖5 理想螺線管在截面y=0的磁感應(yīng)線分布圖.(圖(a)、(b)中線圈匝數(shù)N分別為3和11.黑粗圈和黑細實線分別表示載流線圈和磁感應(yīng)線，箭頭為磁場方向)

3 密繞螺線管長度對磁場分布的影響

根據(jù)以上的理論推導(dǎo)和數(shù)值計算結(jié)果，可以看出，隨著線圈匝數(shù)密度的增加，螺線管內(nèi)部的磁場的分布趨向均勻.為進一步研究密繞螺線管長度對磁場空間分布的影響，也就是圖1中灰色圓柱即密繞螺線管產(chǎn)生的空間磁場.圖6所示為理想密繞螺線管在截面y=0示意圖.螺線管長度為L、半徑為a,坐標原點放置于螺線管中心，點P為空間任意一點.在螺線管上任取一段為dz′，對應(yīng)線圈匝數(shù)為ndz′，該段圓形載流線圈通過的電流為Indz′，圓形線圈電流元到點P的距離為z′-z.

圖6 理想密繞螺線管在截面y=0示意圖

基于式(1)可以得到載流線圈電流元在點P處產(chǎn)生的磁場分量分別為

(7)

利用Python對式(7)進行積分，采用Matplotlib庫的畫圖功能，圖7給出的是匝數(shù)密度為n=1000m-1時，密繞理想螺線管在截面y=0的磁感線分布圖.螺線管長度分別L=10(a)、80(b)、200(c)mm.首先，因為螺線管的電流分布具有軸對稱性，因而磁場在空間的分布同樣具有軸對稱性.當螺線管長度為L=10 mm時，即較短密繞螺線管的情形.此時，磁場的空間分布類似于圖2中的單個圓形載流線圈，如圖7(a)所示.當增加螺線管長度時，即螺線管長度與半徑的比值增大，未出現(xiàn)類似于圖5(a)中“波浪式”形狀的磁場分布，螺線管內(nèi)部磁場由曲線狀分布改變?yōu)橹本€狀分布，如圖7(b)和(c)所示.可以預(yù)見，螺線管無限長時，密繞螺線管內(nèi)部的磁感應(yīng)線為均勻直線，外部磁場區(qū)域為零，即螺線管中心軸向附近磁場可視為均勻性磁場，此時的螺線管可視為密繞螺線管.

圖7 螺線管在截面y=0的磁感應(yīng)線的分布圖(灰色圓柱為密繞載流螺線管，黑色實線為磁感應(yīng)線，箭頭為磁場方向)

圖8給出的是圖7的中心軸上的磁場Bz的定量分布圖.當螺線管長度較短時，L=10 mm，磁場成單峰狀分布，對應(yīng)為圖7(a).當螺線管長度增加時，如L=80和200 mm，單峰的波峰寬度隨螺線管長度的增加而逐漸展寬，對應(yīng)為圖7(b)和(c).當密繞螺線管長度為L=200 mm，在-74 mm≤z≤74 mm范圍內(nèi)，螺線管產(chǎn)生的磁場可視為均勻磁場.可以推測，當螺線管長度為無限長時，磁場主要集中分布在螺線管內(nèi)部，外部磁場趨向于零.

圖8 不同長度螺線管在ρ=0即中心軸線上磁場分布

4 結(jié)論

在本文中，我們基于畢奧-薩伐爾定律和矢量疊加原理，推導(dǎo)了單個圓形線圈和有限長密繞螺線管的磁場的空間分布的理論公式，然后，利用Python的函數(shù)積分功能，定量分析了單個線圈和螺線管磁場的空間分布特性.并且，應(yīng)用Matplotlib庫的畫圖功能，詳細的對以上理論結(jié)果進行了可視化的描述.結(jié)果表明，無論是低匝數(shù)密度的螺線管還是高匝數(shù)密度螺線管，某一點的磁場近似等于z分量上的磁場.根據(jù)本文的計算結(jié)果，匝數(shù)密度n≥1000 m-1的螺線管可視為密繞螺線管，其內(nèi)部分布的磁場變化范圍在1%左右；螺線管越長，匝數(shù)密度越大，對應(yīng)的磁場分布越均勻.當密繞螺線管長度為L=200 mm，在-74 mm≤z≤74 mm范圍內(nèi)的磁場可視為均勻磁場.因而，當密繞螺線管無限長時，產(chǎn)生的是均勻磁場，與教科書中結(jié)論一致.本文的結(jié)果，一方面有助于學(xué)生對教材中基礎(chǔ)知識的理解和驗證，另一方面，也可以用于在“大學(xué)物理”和“大學(xué)物理實驗”教學(xué)過程的內(nèi)容拓展，鍛煉學(xué)生應(yīng)用基本知識解決和分析問題能力，提高對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).