巧借定點(diǎn)求定值
——2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷第22題的探究

廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué)(528315) 林國(guó)紅

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考慮,是知識(shí)、能力和思想方法的載體,具有典型性、示范性和權(quán)威性.高考試題除了具有測(cè)試與選拔功能外,還具有良好的教學(xué)功能,要了解高考動(dòng)向、把握高考脈搏,高考試題的研究是重要的路徑.

下面筆者以2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷(山東卷)第22 題為例,進(jìn)行分析與解答,并拓展探究,追本溯源,供大家參考.

一、題目呈現(xiàn)與分析

題目已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

題目結(jié)構(gòu)清晰,知識(shí)方面主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì),圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題等;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運(yùn)算求解等方面的能力,試題的思維過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程體現(xiàn)了能力立意的思想,較好地體現(xiàn)了解析幾何中核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.本題作為全卷的壓軸題起到了把關(guān)作用,對(duì)于考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí),尋找合理的解題策略以及推理論證和運(yùn)算能力有較高的要求.

由于問(wèn)題(1)較為簡(jiǎn)單,本文不作討論,下面對(duì)問(wèn)題(2)進(jìn)行解答與探究.

二、解法探究

證法1設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+m,如圖1.代入橢圓方程消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2?6=0.從而有

因?yàn)锳M⊥AN,故=0,故(x1?2)(x2?2)+(y1?1)(y2?1)=0.根據(jù)y1=kx1+m,y2=kx2+m,代入整理可得

將①代入得到:

整理化簡(jiǎn)得(2k+3m+1)(2k+m ?1) = 0,因?yàn)锳(2,1) 不在直線MN上,故2k+m ?1?= 0.所以2k+3m+1 = 0,k ?= 1,即m=于是MN的方程為所以直線MN過(guò)定點(diǎn)

圖1

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),可得N(x1,?y1),如圖2.因?yàn)锳M⊥AN,故=0,故(x1?2)(x1?2)+(y1?1)(?y1?1) = 0.結(jié)合= 1,可得8x1+ 4 = 0,解得x1= 2(舍),x1=此時(shí)直線MN過(guò)點(diǎn)由于AE為定值,且?ADE為直角三角形,AE為斜邊,所以AE的中點(diǎn)Q滿足|QD|為定值,由于故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得所以存在點(diǎn)使得|DQ|為定值,定值為

圖2

評(píng)注(1) 本題的關(guān)鍵是證明出直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)再由AD⊥MN,可得點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上,定點(diǎn)Q為該圓的圓心,|DQ|為該圓的半徑,即|DQ|為定值.(2) 本證法的運(yùn)算量雖不小,但方法是解析幾何中的常用方法,這種通性通法在數(shù)學(xué)解題中有重要作用.所以在平時(shí)的教學(xué)中要注重一般性的解題規(guī)律和方法(即通性通法),要重視知識(shí)的生成過(guò)程,盡量創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

證法2設(shè)直線MN的方程為m(x ?2)+n(y ?1) =1,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).由= 1,變形得=1,即(x ?2)2+2(y ?1)2+4[(x ?2) + (y ?1)] = 0.于是聯(lián)立直線MN,齊次化得(x ?2)2+2(y ?1)2+4[(x ?2)+(y ?1)]×[m(x ?2)+n(y ?1)] = 0,化簡(jiǎn)得(2 + 4n)(y ?1)2+ 4(m+n)(x ?2)(y ?1)+(1+4m)(x ?2)2= 0,兩邊同時(shí)除以(x ?2)2,得

又因kAM · kAN=?1,所以=?1,故n=,代入直線MN的方程為m(x ?2)+n(y ?1)=1,得m(x ?y ?1)?= 0.所以直線MN過(guò)定點(diǎn)由于AE為定值,且?ADE為直角三角形,AE為斜邊,所以AE的中點(diǎn)Q滿足|QD|為定值,由于A(2,1),故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得所以存在點(diǎn)使得|DQ|為定值,定值為

評(píng)注與兩直線斜率相關(guān)的定點(diǎn)、定值問(wèn)題有較強(qiáng)的知識(shí)綜合性,需要學(xué)生具備較高的思維能力與運(yùn)算能力.齊次化法可以將此類問(wèn)題統(tǒng)一處理,而且代數(shù)變形較為簡(jiǎn)單,運(yùn)算量較少,解題過(guò)程更為簡(jiǎn)潔.

三、問(wèn)題的提出

解答完本題后,思考:

問(wèn)題1過(guò)橢圓C:= 1(a > b >0)上的定點(diǎn)A(x0,y0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),AD⊥MN,D為垂足.若k1k2=?1,是否存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值?

問(wèn)題2在問(wèn)題1 中,若k1k2=λ(λ為常數(shù)),是否存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值?

問(wèn)題3在問(wèn)題1 中,若k1+k2=μ(μ為常數(shù)),是否存在定點(diǎn)P,使得|DP|為定值?

四、借題探究 結(jié)論推廣

通過(guò)探究,可得如下結(jié)論:

結(jié)論1過(guò)橢圓C:= 1(a > b >0)上的定點(diǎn)A(x0,y0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),AD⊥MN,D為垂足.

(1)若k1k2=則存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

(2)若k1+k2=μ(μ?=0),則存在定點(diǎn)P,使得|DP|為定值.

證明設(shè)直線MN的方程為m(x ?x0) +n(y ?y0) = 1.由= 1,變 形得= 1,于是= 1,即a2(y ?y0)2+[2b2x0(x ?x0)+2a2y0(y ?y0)]+b2(x ?x0)2= 0.于是聯(lián)立直線MN,齊次化得a2(y ?y0)2+[2b2x0(x ?x0)+2a2y0(y?y0)]·[m(x?x0)+n(y?y0)]+b2(x ?x0)2=0,化簡(jiǎn)得(a2+2na2y0)(y ?y0)2+(2ma2y0+2nb2x0)(x?x0)(y ?y0)+(b2+2mb2x0)(x ?x0)2=0,兩邊同時(shí)除以(x ?x0)2,得b2+2mb2x0=0.于是

(1)當(dāng)λ ?=時(shí),由k1k2==λ,即2mb2x0= 2na2y0λ+a2λ ?b2,代入直線m(x ?x0) +n(y ?y0) = 1,整理得(2a2y0λx ?2a2x0y0λ+2b2x0y ?2b2x0y0)n+ (a2λ ?b2)x ?a2λx0?b2x0=0,由解得故直線MN過(guò)定點(diǎn)由于AD⊥MN,可得點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上,定點(diǎn)Q為該圓的圓心,|DQ|為該圓的半徑,即|DQ|為定值.

所 以,當(dāng)k1k2=λ(λ ?=) 時(shí),則 存 在 定 點(diǎn)使得|DQ|為定值,定值為

(2)當(dāng)μ?=0 時(shí),由k1+k2=即?2ma2y0= 2na2y0μ+a2μ+2nb2x0,代入直線m(x ?x0)+n(y?y0)=1,整理得(2a2y0μx?2a2x0y0μ+2b2x0x?2b22a2y0y+2a2y20)n+a2μx ?a2μx0+2a2y0=0,由解得故直線MN過(guò)定點(diǎn)E(x0?由于AD⊥MN,可得點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上,定點(diǎn)P為該圓的圓心,|DP|為該圓的半徑,即|DP|為定值.

因?yàn)锳(x0,y0),故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得且

所以,當(dāng)k1+k2=μ(μ ?= 0) 時(shí),則存在定點(diǎn)使得|DP|為定值,定 值 為

評(píng)注顯然,當(dāng)a2=6,b2=3,λ=?1,且橢圓上的定點(diǎn)為A(2,1)時(shí),由結(jié)論1 可知直線MN過(guò)定點(diǎn)故存在點(diǎn)使得|DQ|為定值,定值為這正是高考題的情形.

五、拓展探究 類比性質(zhì)

我們知道,拋物線,橢圓與雙曲線都是圓錐曲線,很多時(shí)候三者之間有可類比的性質(zhì),這體現(xiàn)了圓錐曲線性質(zhì)的內(nèi)在統(tǒng)一的和諧美.那么雙曲線與拋物線是不是也有類似于結(jié)論1 的性質(zhì)呢? 經(jīng)探究,得到如下結(jié)論:

結(jié)論2過(guò)雙曲線C:= 1(a >0,b >0)上的定點(diǎn)A(x0,y0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn),AD⊥MN,D為垂足.

(1)若k1k2=λ(λ ?=則存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

(2)若k1+k2=μ(μ?=0),則存在定點(diǎn)P,使得|DP|為定值.

只需把橢圓E:= 1(a > b >0)中的b2換成?b2,就可以類似地得到雙曲線的結(jié)論,限于篇幅,這里只給出結(jié)論,詳細(xì)的證明過(guò)程不再給出.

(1) 若k1k2=λ(λ ?=則存在定點(diǎn)使 得|DQ|為定值,定值為

(2) 若k1+k2=μ(μ ?= 0),則 存 在 定點(diǎn)使 得|DP|為 定 值,定 值 為

結(jié)論3過(guò)拋物線C:y2= 2px(p >0) 上的定點(diǎn)A(x0,y0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),AD⊥MN,D為垂足.

(1)若k1k2=λ(λ ?=0),則存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

(2)若k1+k2=μ(μ?=0),則存在定點(diǎn)P,使得|DP|為定值.

證明設(shè)直線MN的方程為m(x?x0)+n(y ?y0)=1.由y2= 2px,變形得(y ?y0+y0)2= 2p(x ?x0+x0),于是(y ?y0)2+2y0(y ?y0)+y20= 2p(x ?x0)+2px0,即(y ?y0)2+2y0(y ?y0)?2p(x ?x0) = 0.于是聯(lián)立直線MN,齊次化得

化簡(jiǎn)得(1+2ny0)(y ?y0)2+(2my0?2pn)(x ?x0)(y ?y0)?2pm(x ?x0)2=0,兩邊同時(shí)除以(x ?x0)2,得

于是k1+k2=

(1) 當(dāng)k1k2==λ時(shí),顯然λ ?= 0.可得?2pm=λ+2nλy0,代入直線m(x ?x0)+n(y ?y0) = 1,整理得(2y0λx ?2x0y0λ ?2py+ 2py0)n+λx ?λx0+2p= 0,由解得所以直線MN過(guò)定點(diǎn)由于AD⊥MN,可得點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上,定點(diǎn)Q為該圓的圓心,|DQ|為該圓的半徑,即|DQ|為定值.

(2) 當(dāng)μ ?= 0 時(shí),由k1+k2=μ,即?2my0= 2ny0μ ?2pn+μ,代 入 直 線m(x ?x0) +n(y ?y0) = 1,整理得(2y0xμ ?2px ?2x0y0μ+2px0?2y0y+ 2y20)n+μx ?μx0+ 2y0= 0,由解得故直線MN過(guò)定點(diǎn)

由于AD⊥MN,可得點(diǎn)D在以AE為直徑的圓上,定點(diǎn)P為該圓的圓心,|DP|為該圓的半徑,即|DP|為定值.因?yàn)锳(x0,y0),E(x0?),故由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得且|DP|=|AP|=所以,當(dāng)k1+k2=μ(μ?=0)時(shí),則存在定點(diǎn)使得|DP|為定值,定值為

六、追本溯源

1.(2007年高考山東卷理科第21 題)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn),求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

2.(2013年四川省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽第15 題) 已知B(0,1),P,Q為橢圓+y2= 1 上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn),且BP⊥BQ.

(1)若點(diǎn)B在線段PQ上的射影為點(diǎn)M,求M的軌跡方程;

(2)求線段PQ的中垂線l在x軸上的截距的取值范圍.

3.(2017年福建省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽第12 題)已知橢圓C:= 1(a > b >0) 過(guò)點(diǎn)P(?2,1),且離心率為過(guò)點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A,B兩點(diǎn)(A,B與點(diǎn)P不重合).求證:直線AB過(guò)定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

可以看出2020年考題問(wèn)題(2)的“母題”來(lái)源于上述高考題或競(jìng)賽題,高考題或是將母題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?或是賦于更豐富的知識(shí)而已.這說(shuō)明命題專家很重視命題的傳承和相互借鑒.所以在高考的備考中,適當(dāng)加入高考真題的訓(xùn)練是必要的,特別是近幾年的高考真題,另外還可以適當(dāng)加入一些接近高考難度的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的訓(xùn)練.

七、反思提升

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題,是高考或競(jìng)賽的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,這類問(wèn)題在考查圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)和幾何性質(zhì)的同時(shí),又能很好地考查學(xué)生的運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力,以及分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的理解水平.在解題時(shí)要學(xué)會(huì)探索、歸納和總結(jié),把同類型的問(wèn)題歸于一類,以不變應(yīng)萬(wàn)變.

圓錐曲線具有很多統(tǒng)一或相似的性質(zhì),這些優(yōu)美的性質(zhì)深刻反映了數(shù)學(xué)獨(dú)特的無(wú)窮魅力,值得我們?nèi)ふ摇l(fā)現(xiàn)和欣賞.學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題,但不能僅僅局限于老師講題、學(xué)生做題,而是要借助題目,探索隱藏在題目背后的奧秘,將研究的問(wèn)題引向深入,挖掘題目的真正內(nèi)涵,能夠找到解決這個(gè)問(wèn)題與解決其它問(wèn)題在思維上的共性.這樣我們才能領(lǐng)會(huì)到試題命制的深刻背景,才能引領(lǐng)學(xué)生跳出題海,真正做到觸類旁通,舉一反三,從而達(dá)到做一題會(huì)一類,甚至?xí)黄哪康?最終讓學(xué)生在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展.