高階橢圓型算子組廣義低階譜的估計式

黃振明

(蘇州市職業(yè)大學 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一種類型，簡稱橢圓型方程.這類方程主要用來描述物理平衡穩(wěn)定狀態(tài)，如定常狀態(tài)的電磁場、引力場、反應擴散現(xiàn)象等，其離散譜在實踐中有著廣泛應用.國內(nèi)外學者的主要研究成果之一，就是得到了有關(guān)譜估計的幾何或解析不等式[1-6].最近，筆者在文獻[7]中探討了如式(1)的四階橢圓型算子組的譜問題，并得到了其主次譜估計不等式.

其中 Ω?Rm(m≥ 2)是1個邊界逐片光滑的有界區(qū)域.

受此啟發(fā)，筆者自然聯(lián)想到，對于問題(1)的一般情形，即如式(2)的高階橢圓型算子組的廣義譜問題，是否還具有類似的譜估計不等式呢？

其中，整數(shù)l,t,h滿足l≥2，t＞h≥1，i= 1,2,… ,l；ν是Ω邊界?Ω的單位外法向量；Δ=?·?為 Rm上的拉普拉斯算子；aij=aji是常數(shù)(i,j=1,2,… ,l)；A=（aij）l×l是正定矩陣，且對任意l維列向量ξ= (ξ1,ξ2,… ,ξl)T，滿足

在式(3)中，v1,v2均為正實數(shù)；bij=bji是Ω→R上的非負函數(shù)(i,j= 1,2,… ,l)，且B=（bij）l×l是半正定矩陣.筆者依據(jù)微分算子譜的定性理論[8]，層層推導后發(fā)現(xiàn)，所提問題(2)的答案是肯定的，即其確實具有類似文獻[7]中的譜估計不等式.

1 預備知識

為推導方便，記l維函數(shù)列向量u= (y1,y2,… ,yl)T，l階算子矩陣Rp(f) =fpEl×l.其中，El×l為l階單位矩陣；p為自然數(shù)；f為任一算子.那么，問題(1)可寫成矩陣形式

由于低階譜在實際問題中表示了物體的主要特性，因此，本文僅討論問題(4)的前2個譜，即主譜1λ和次譜2λ間的關(guān)系，記主特征向量為u，且滿足規(guī)范化條件

利用問題(4)、式(5)、分部積分、式(3)和矩陣B的半正定性，有

即

另一方面，利用分部積分和kφ的定義，有

根據(jù)式(8)和式(9)，可得

再結(jié)合式(7)，可得

2 引理

引理1 設u是問題(4)中對應主譜1λ的主特征向量函數(shù)，則

證明：首先，用數(shù)學歸納法證明不等式

當i=h+1時，利用分部積分、Schwarz不等式和式(5)，有

此時，式(12)成立.

化簡得

即i=k+1時，式(12)也成立.

最后，反復運用不等式(12)和式(6)，可得

引理1得證.

引理2 問題(4)的主譜1λ與其對應的特征向量u滿足下列估計式：

證明：(a) 利用式(5)、分部積分、Schwarz不等式和引理1，有

化簡即得引理2(a).

(b) 類似地，利用分部積分、Δ的定義和引理1，有

引理2(b)得證.

引理3 對于L和M，分別有如下的上界估計：

證明：(a) 利用kφ的定義和分部積分，有

移項求和，得

再由L的定義和引理2(a)，可得

(b) 類似地，有

移項并利用分部積分，有

再利用式(3)、引理1和引理2(b)，有

由式(13)～式(14)可知，引理3成立.

引理4 本文設定的測試函數(shù)組φk滿足估計式

證明：利用函數(shù)組kφ的定義和分部積分，有移項可得

對公式(15)求和，并利用式(5)、Δ的定義和分部積分，有

對公式(16)運用Schwarz不等式，有

根據(jù)引理2(b)，式(17)左端第2項可表示為

將式(18)代入式(17)，整理，引理4得證.

3 主要結(jié)果

定理 問題(4)的主次譜(1λ和 2λ)間隙滿足估計式

證明：由式(11)得

將引理3～引理4的估計結(jié)論代入式(20)，化簡整理即得定理中的式(19).

推論 問題(4)的主次譜之比存在估計下界

4 結(jié)語

在低階橢圓型算子組的譜問題研究基礎上，推廣討論了高階橢圓型算子組的譜問題，根據(jù)算子譜理論，結(jié)合測試函數(shù)法，獲得了前2個譜間的定量關(guān)系，所得結(jié)果拓展了參考文獻[7]中的結(jié)論.