畫圖法在三年級數(shù)學問題解決教學中的探究與運用

顧媛婷

摘要：所謂畫圖法，就是教師通過讓學生獨立模仿畫圖，再組織學生以小組為單位互相欣賞各自的作品，具體說出 畫面的內容，試著從圖中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題中隱藏的數(shù)量關系。在教學過程中，應以學生為主體，發(fā)揮學生的主動探索精神， 留給學生充足的時間去思考、探索和畫圖。教師應引導學生有目的地畫出自己的理解，再從直觀形象的畫面中找到正確的數(shù)量關系。

關鍵詞：畫圖法;三年級數(shù)學;探究與運用

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡 稱《課標》）指出：要想使得學生面對實際問題，可以 主動嘗試從數(shù)學的角度應用數(shù)學知識與方法，尋求問題 解決的對策。數(shù)學問題解決的對策及方法有很多，在滬 教版三年級教材中涉及的方法主要有：分析法、綜合法、 畫圖法、列表法、割補法等。其中，畫圖法是最常用、 最直觀的一種輔助方法，是指在解決問題的過程中，將 問題中的已知信息與問題用圖畫結合文字標注的形式表 示出來，以此幫助學生全面思考、清晰地理解問題情境 中的信息和問題，從而獲取各信息間的數(shù)量關系并準確 列出對應的算式進行解答。因此，畫圖法在小學數(shù)學問 題解決中具有十分重要的作用，可以使學生在良好的環(huán) 境下逐步掌握發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問 題的能力，同時還可以很好地促進學生抽象思維能力的 發(fā)展。

一、運用畫圖法的意義

縱觀滬教版小學數(shù)學1-5年級10冊教材，可以發(fā)現(xiàn) 這是一個"讀圖”的世界，教材中的例題呈現(xiàn)形式多以 情境圖和實物圖為主，較少以純文字敘述的形式出現(xiàn)。 對于低學段學生而言，學會讀圖、分析圖是問題解決的 基礎;中高年段學生不僅要讀懂圖，更要會畫圖、畫好 圖。

（一）畫圖法架起形象思維通向抽象思維的橋梁

畫圖法有助于培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想，它把抽象 的文字語言變成直觀的圖形語言，將抽象的數(shù)量關系和 直觀的圖形圖像緊密結合。低年段小學生以形象思維為 主，逐步向抽象思維過渡，習慣通過視覺圖形進行數(shù)學 問題的思考。有些數(shù)學知識復雜抽象且難以理解，如果 能借助畫圖法來分析和解決數(shù)學問題，依托圖來觀察思 考，可以輔助小學生對數(shù)學知識的理解。這樣，畫圖法 就架起了形象思維通向抽象思維的橋梁。

（二） 畫圖法助力厘清題意、凸顯數(shù)量關系

借助畫圖法有助于學生理解復雜的問題情境，引導 學生從“情境"中走出來，將問題中有關聯(lián)的、有價值 的信息提取出來，并在圖中標識清楚，使得其直觀地反 映出數(shù)量關系，進而使其成為解決問題的有效方法。在 對問題開展具體分析時，需要注意將數(shù)與形有機結合起 來，將圖形問題轉化為數(shù)量關系問題，或者將數(shù)量關系 問題轉化為圖形問題，使得較為復雜的問題變得簡明、 形象，化難為簡。

（三） 畫圖法教學提升教師課堂主導作用與學生主 體地位

教師引導學生感悟為什么需要借助畫圖法進行問題 解決，根據(jù)教授的內容選擇具有代表性的各類畫圖方法 引導學生進行分析和歸納，在了解學生的理解情況和認 識水平的基礎上，指導學生適時地對畫圖法進行調整等， 激發(fā)學生有效交流并獲得最佳解決方案。學生借助畫圖 法理解題意并獨立思考，在此過程中，因每個學生的思 維各異、思考角度不同，匯報時表達的方式也存在差異， 課程上生成的解決問題方法各不相同。在交流中，學生 有討論、有質疑，對一題多解進行優(yōu)劣對比，學生的思 維能力獲得了深層次的拓展。

二、畫圖法在教學中的實踐運用

《課標》中指出：在各學段中，安排了四個部分的 課程內容：“數(shù)與代數(shù)"“圖形與幾何"“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”。滬教版小學數(shù)學教材中各年級問題解 決的教學與上述各部分知識合而為一、融為一體。以滬教 版三年級為例，數(shù)學教材中各部分涉及問題解決的例題 以及適合用畫圖法解決的數(shù)學問題數(shù)量如表1所示。

由表1可知，三年級上下兩冊例題共114個，其中， 問題解決例題共65個，占例題總數(shù)的57%;，可以運用 畫圖法進行教學的問題解決例題共52個，占問題解決例 題總數(shù)的80%。

由表2不難發(fā)現(xiàn)，示意圖在問題解決例題中的應用 最為普遍。示意圖與其他圖示比較更簡單明了、直觀形 象，易于小學生理解和運用，可用圓圈、三角形、方框 等簡單圖形組合表示，學生想到用什么圖形來表示數(shù)量 就用什么圖形，其表現(xiàn)的形式是豐富多樣的，可以直觀 地揭示事物發(fā)展過程以及數(shù)量關系。下面就示意圖為例 進行簡單闡述。

（一）畫示意圖教學植樹問題

以三年級上冊“植樹問題”為例，借助畫示意圖進 行教學。植樹問題是一種典型的數(shù)學問題，是借助植樹 中的現(xiàn)象研究間隔數(shù)和間隔物體的個數(shù)之間的關系，并 以此解決現(xiàn)實生活中常見的實際問題，如爬樓梯、鋸木 頭、敲鐘、擺花盆、裝路燈等問題，這類共性問題都隱 藏著間隔數(shù)與間隔物體的個數(shù)之間的數(shù)量關系。

這種數(shù)量關系又分三種情況，即兩個端點都沒有間 隔物體時，間隔物體的個數(shù)=間隔數(shù)T;兩個端點都有 間隔物體時，間隔物體的個數(shù)=間隔數(shù)+1;只有一個端 點有物體時，間隔物體的個數(shù)=間隔數(shù)。在學習中，學 生會遇到兩個問題：一是間隔數(shù)與間隔物體的個數(shù)讀起 來比較拗口;二是這里的“1”總是困擾著學生們，到底 什么時候加上“1”，什么時候減去“1”，什么時候沒 有“1”呢？教參上明確指出上述結論只要求學生通過具 體的事例尋找規(guī)律，不要求學生死記硬背，只要學生遇 到類似問題，能借助畫圖等輔助手段來分析、得出相應 的結論即可。

在教學過程中，筆者畫出示意圖，用 牛 來表示樹， 用線來表示兩樹之間的間隔距離，這樣把植樹問題轉化 為一條線上的棵數(shù)與相鄰兩棵樹之間線段數(shù)的關系問題。 間隔物體的個數(shù)是“4”的棵數(shù)，間隔數(shù)就是相鄰兩 “4”之間的線段數(shù)。提問學生：

（1） 在示意圖中，你看到了幾個線段？幾棵樹？

（2） 像這樣種兩棵、種三棵，有幾個線段？你能找 到這里面隱藏的規(guī)律嗎？ ”

（3） 利用找到的規(guī)律試一試，推理想像一下剪88次， 會有幾段？ 101段，剪幾次？

我把上述“畫一找一推”這樣的好方法概括為“以 小見大”（依據(jù)種一棵樹、兩棵樹和三棵樹的圖來找到 棵數(shù)與段數(shù)的關系，從而利用上述關系式推理出剪88次 甚至更多次的段數(shù)），由此來展開課堂教學。出示例題： “在全長200米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，可以怎 樣栽？栽幾棵？ ”學生提出疑惑：每隔5米栽一棵，也就 是5米為一段，像這樣把200米全都畫出來，太麻煩了。 交流得出：我們應該先化繁為簡，先研究小數(shù)據(jù)“5米一 段，20米可以分成幾段（20 + 5=4段）"來尋找規(guī)律。

筆者引導學生自主畫圖將文字轉化成圖形，如圖1-圖3。

在此基礎上，筆者追問：“如果在小胖家的一個環(huán) 形花壇上放了8盆蘭花，把花壇分成了幾段？ ”學生自然 而然地提筆畫圖，找到圖中的數(shù)量關系：棵樹=段數(shù)。（如圖4）而且學生發(fā)現(xiàn)，環(huán)形花壇屬于只種一端，花盆 的個數(shù)和段數(shù)是一樣的，所以花盆把花壇分成了8段。

（二）畫示意圖解決除法應用問題

學生在遇到復雜抽象且都是純文字的數(shù)學知識時， 有可能會產生畏難情緒，但是他們對于圖形和圖像特別 敏感。針對小學生的這一特點，筆者在數(shù)學教學中運用 畫圖法策略，將復雜的數(shù)學題變成生動形象的圖表、圖 形，讓學生更快、更準確地理解題意，教會學生運用畫 圖法來解決問題。比如，在解決有余數(shù)的除法這類問題 時，需要學生解決三個問題：一是選擇乘法還是除法計 算;二是相除所得的商和余數(shù)對應的單位名稱;三是理 解問題中出現(xiàn)的“至少、最多”的意思，確定商是否需 要“去尾”或者“進一”。

如三年級上學期“除法應用"中的練一練第3題：“某 種集郵冊每頁可以放9張郵票，如果113張郵票能夠全部 放到這本集郵冊中，那么這本集郵冊至少有多少頁？ “

筆者引導學生通過畫一畫、圈一圈，通過圖形來還 原題目本意，并以此來解決上述三個問題。郵票可以用 圖形O、口、△等來表示，每頁用橫線、畫圈或者畫框 來表示（如圖5所示）。

在繪圖過程中，學生提出問題：113張郵票根本無法一 一畫出。此時，筆者建議學生用省略號來“以小見大”。 借助示意圖，學生不難發(fā)現(xiàn)這樣每9個一份，求有幾份， 要用除法113 + 9 = 12……5O

商和余數(shù)的單位名稱是學生在本題的易錯點，由于 頁和張都是紙的量詞且學生思維能力薄弱，易把單位名 稱錯寫為12張……5張或是12張……5頁。筆者再次引導 學生修改示意圖，在圖中標出照片和郵冊頁的單位名 稱（如圖6所示）。

借助上圖可以看出，商和余數(shù)的單位名稱分別是 “頁”和“張”。由此圖我們還能觀察到，剩下的5張 也需要一頁紙，所以，他們至少需要13頁。得到的算式 是：113+9=12 （頁）……5 （張），12+1 = 13 （頁）o

解決這類問題，教師引導學生將題意與圖形結合， 讓學生感覺解決數(shù)學問題就像在上美術課畫畫一樣，從 而提升小學生學習的樂趣與解題的正確率，使學生能在 輕松愉悅的氛圍中學習到數(shù)學知識。

（三）畫示意圖解決倍數(shù)問題

三年級涉及的倍數(shù)問題按難易程度分為兩類，一類 是求幾倍數(shù)與1倍數(shù)，稍復雜的是求幾倍多幾或少幾。 解決此類問題，借助示意圖，能比較直觀地分析題目中 的數(shù)量關系。1倍數(shù)就是數(shù)量少的那1份數(shù)，要求1份數(shù) 是多少，可用除法計算，數(shù)量越除越少。幾倍數(shù)就是數(shù) 量多的幾份數(shù)，求幾份數(shù)是多少就是求幾個相同加數(shù)的 和，可用乘法計算，數(shù)量越乘越多。求幾倍多幾或幾倍 少幾，就要先求出幾倍，然后加幾或減幾。

以三年級上冊“燈飾”中的一題為例：“兔子燈有 25盞，蓮花燈是兔子燈的3倍，兔子燈和蓮花燈一共有 幾盞？ ”教參中要求學生能根據(jù)問題收集有用的信息， 將情節(jié)描述成簡圖（線段圖），并列出相應的算式。

在學習畫線段圖前，筆者先引導學生用示意圖描述 題目，把文字信息轉化為圖形的同時，加深對問題情境 的理解。先用一個圈表示25盞兔子燈，之后讓學生結合 題目的實際意思思考蓮花燈的盞數(shù)如何用圈來表示。在 學生回答用3個圈來表示之后，再讓學生明白：一共有幾 盞，畫一個大圈把兔子燈和蓮花燈包含進去就可以了（如 圖7所示）。

根據(jù)示意圖，學生得到兩種解答方式：25+25X3、25X （1+3） o在畫的過程中找到解題思路，真實感受到畫圖在 解決問題時候具有的應用價值，感悟畫圖是一個“去情境 化”的過程，抓住了題目的本質，凸顯了數(shù)量之間的關系， 這樣一來就可以達到輕松解決問題的目標。對于解答幾倍 多幾（少幾）或倍數(shù)求和（差）等問題，都可以釆用這樣 的示意圖。

對于三年級學生而言，畫示意圖比畫線段圖更直觀具 體，線段圖是示意圖的進一步抽象展現(xiàn)。但學習的過程是 螺旋式上升的，學生不能只停滯于相對直觀的示意圖。所 以，筆者將圖7中的一個圓圈“變身”為一條線段。隨即提 問：“那下面3個圓圈又該如何表示呢？"在學生回答用3 個線段來表示之后，再讓學生明白：一共有幾盞，畫一個 大括號并在其右邊打上問號就可以了。具體圖示如下：

學生有了畫示意圖的經(jīng)驗，再過渡到用畫線段圖來描 述問題情境，就駕輕就熟、迎刃而解了。所以，筆者特別 重視學生對畫示意圖的領悟，并通過不斷實踐練習，讓學 生的思維逐步由形象思維向抽象思維過渡。

三、實踐思考

筆者在三年級堅持運用畫圖法教學發(fā)現(xiàn)，在問題解決 教學中，滲透并注重畫示意圖的教學方法是有成效的。 學生通過借助畫圖法解決數(shù)學問題的實踐，在“畫數(shù)學" 中嘗到了樂趣，筆者也在“畫數(shù)學”教學中嘗到了甜頭。

在學習過程中，學生在難以理解、產生困惑時畫一 畫，在解決問題遇到困難時自主地想到畫一畫，就能真 正地感受到畫圖法帶來的方便。不需要教師多說，學生 也會自然地應用上述策略開展相關的學習活動?？傊?畫圖法在小學數(shù)學問題的解決中具有十分重要的作用， 可以使得學生潛移默化地提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分 析問題和解決問題的能力。同時，還可以很好地促進學 生抽象思維模式的發(fā)展。教師需要在實踐中不斷地摸索 和創(chuàng)新，思考和研究畫圖法在所教授內容中的有效應用， 并根據(jù)不同的知識點可釆用不同的畫圖法。此外，還需 要同步了解學生的理解和認知水平，適時地分析和歸納 調整畫圖法，同頻同振，讓學生以最簡單、最清晰的方 數(shù)學原理，進而培育學生的數(shù)普科核心素養(yǎng)。

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（責任編輯：奚春皓）