矩陣代數(shù)上保Jordan可逆性的線性映射

生玉秋，庫俊華

(瓊臺師范學院 數(shù)理系,?？?571127)

首先交代本文用到的符號.用C表示復數(shù)域，用C*來表示C中所有非零元構成的集合.Mn(C)和Tn(C)分別表示復數(shù)域上所有n階陣和n階上三角陣構成的矩陣代數(shù),GLn(C)表示由Mn(C)中所有可逆陣構成的集合.對方陣A來說trA表示A的跡,AT表示A的轉置矩陣.用I表示單位矩陣,用Eij表示(i,j)元為1,其余元都為零的矩陣,I和Eij的型可由上下文得出.

本文屬于保持問題.保持問題由來已久，矩陣代數(shù)的保持問題文獻很多,Peter Semrl和李志光分別在文獻[1]和[2]中詳細闡述了保持問題的常見類型及各種研究方法.隨著保持問題研究的逐漸深入，其研究內(nèi)容也從基礎域和保持性質(zhì)兩方面逐漸拓展(參見文獻[3-4]及其中的參考文獻).例如保持性質(zhì)方面從保持普通矩陣乘積的特殊性質(zhì)拓展到保持矩陣Jordan乘積的相關性質(zhì)(文獻[5-8]).Louisa Catalano和Hayden Julius在文獻[9]中刻畫了滿足如下條件的線性雙射f:Mn(C)→Mn(C)，若XY=K,則f(X)f(Y)=M,其中K，M是Mn(C)中兩個固定矩陣.Louisa Catalano等在文獻[8]中研究了滿足如下性質(zhì)的線性雙射φ:Mn(C)→Mn(C)，若X°Y=K,則φ(X)°φ(Y)=M,其中K，M是Mn(C)中兩個固定矩陣.在此條件下，取K=M=I,若Y是X的一個Jordan逆，則φ(Y)是φ(X)的一個Jordan逆.Marcus和Purves在文獻[10]中證明了Mn(C)上每一個保可逆的線性映射是一個內(nèi)自同構或內(nèi)反自同構.這個結果后來被推廣到了其他代數(shù)上(參見文獻[11-12]).本文研究矩陣代數(shù)的保Jordan可逆性的映射，即研究滿足如下性質(zhì)的線性映射φ:Λ→Λ，對每一個X∈Λ，存在矩陣Y∈Λ使得X°Y=I當且僅當存在矩陣Z∈Λ使得φ(X)°Z=I，其中Λ指M2(C)或T2(C).但若X°Y=I，并不要求有φ(X)°φ(Y)=I.高階Jordan可逆矩陣的形式比較復雜，因此本文在二階矩陣代數(shù)上考慮此類問題.

1 預備結果

引理1 1)設A為M2(C)中的一個非零陣，則A無Jordan逆的充要條件是秩A=1且trA≠0.

2)設A為T2(C)中的一個非零陣，則A在T2(C)中有Jordan逆的充要條件是A可逆.

證明1)顯然，所有可逆陣都是Jordan可逆的.

比較上式兩端的(2,2)元可得0=2,矛盾.因此,A無Jordan逆的充要條件是秩A=1且trA≠0.

引理2 設f是M2(C)的一個保Jordan可逆性的線性映射,a∈C*,P∈GL2(C).令：

φ(A)=aP-1f(A)P,?A∈M2(C)，

則φ也是M2(C)的一個保Jordan可逆性的線性變換.

2 主要結論

定理1 設f:M2(C)→M2(C)是一個保Jordan可逆性的線性映射,則存在a∈C*和P∈GL2(C)使得f(A)=aP-1AP或f(A)=aP-1ATP,?A∈M2(C).

證明定理的充分性顯然.下面證明定理的必要性.

由引理1知E11無Jordan逆,故f(E11)也無Jordan逆.若f(E11)為零矩陣，則由E11+E12無Jordan逆知f(E11+E12)=f(E11)+f(E12)=f(E12)也無Jordan逆，這與E12有Jordan逆矛盾，故f(E11)非零.再由引理1可知存在a∈C*和P∈GL2(C)使得f(E11)=aP-1E11P.由引理2,不失一般性，可記f(E11)=E11.

若f(E12)=cE12,f(E21)=d1E12,則f(E11+E12+E21)=aE11+(c+d1)E12，由引理1知f(E11+E12+E21)無Jordan逆，但E11+E12+E21可逆，從而有Jordan逆，矛盾.

類似地,f(E12)=dE21,f(E21)=c1E21亦可導出矛盾.于是以下可分兩種情況討論.

1)f(E12)=cE12,f(E21)=c1E21.

z1z4-z2z3=0,z1+z4≠0.

(1)

又由E12+E22,E21+E22都沒有Jordan逆可知

均無Jordan逆.于是再由引理1知f(E12+E22)和f(E21+E22)均為秩1陣，故

z1z4-(z2+1)z3=z1z4-(z3+z)z2=0.

再結合式(1)可得z2=z3=0,z1z4=0,即f(E22)=z1E11或f(E22)=z4E22,z1,z4∈C*.

若f(E22)=z1E11,則f(E11+E22)=(1+z1)E11.由引理1知f(E11+E22)無Jordan逆，但E11+E22可逆，有Jordan逆，矛盾.因此f(E22)=z4E22.

2)f(E12)=dE21,f(E21)=d1E12.

證明類似定理1的證明可知f(E11)和f(E22)均非零.

3 結語

高階的Jordan可逆矩陣的形式比較復雜多樣，這就導致高階矩陣代數(shù)上此類問題的解決難度大增.高階矩陣代數(shù)的保Jordan可逆性的線性映射的刻畫仍是有待解決的公開問題.