車輛跟馳模型的扭結(jié)-反扭結(jié)波解

吳春秀,陳明玉

(泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362000)

在實(shí)際交通中，初始均勻的交通流受到小擾動(dòng)后會(huì)演化形成擁堵交通.通常用宏觀、微觀和半離散模型研究交通擁堵問(wèn)題.宏觀交通流模型從連續(xù)介質(zhì)的視角，研究車輛的集體行為[1-2].微觀跟車模型從空間離散的視角，研究單個(gè)車輛的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[3-9].半離散模型可視為聯(lián)系宏觀模型和微觀模型的橋梁[10-11].宏觀模型的窄幅急簇和寬移動(dòng)堵塞解通常可描述交通的擁堵狀況.微觀車輛跟馳模型則用KdV孤立波解和mKdV扭結(jié)-反扭結(jié)波解描述擁堵交通.本文建立后視速度差車輛跟馳模型，對(duì)模型進(jìn)行非線性分析，推導(dǎo)出模型方程的扭結(jié)-反扭結(jié)波解,并分析這種解存在的必要條件，合理解釋模型方程是否存在扭結(jié)-反扭結(jié)波解,同時(shí)討論參數(shù)的選取對(duì)交通系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.

1 模型方程

在車輛跟馳模型中，前車的信息對(duì)車輛速度影響較大，因而一些優(yōu)化速度模型只考慮前車信息[3,7].由于后車的信息對(duì)車輛速度也有影響，我們提出如下后視速度差模型(簡(jiǎn)稱BLVD模型)：

(1)

其中:V(Δvn)為優(yōu)化速度，vn和xn分別表示t時(shí)刻第n輛車的速度和位置，Δxn=xn+1-xn和Δvn=vn+1-vn分別表示t時(shí)刻第n和n+1第輛車的車頭間距和相對(duì)速度，司機(jī)敏感度a>0、λ≥0.在車輛行駛過(guò)程中，第n輛車跟隨第n+1輛車，車輛之間的跟馳關(guān)系如圖1所示，其中箭頭方向表示車輛行駛的方向.

圖1 車輛跟馳關(guān)系Fig.1 The relationship of vehicles

選取優(yōu)化速度

用向前差分格式表示時(shí)間導(dǎo)數(shù)，方程(1)可寫成差分形式.運(yùn)用長(zhǎng)波展開法對(duì)模型方程[5-6]的差分形式進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析，可得模型方程的線性穩(wěn)定區(qū)域?yàn)棣印堞觕，其中臨界弛豫時(shí)間

(2)

弛豫時(shí)間τ=1/a，敏感率l=λ/a.

2 非線性分析

方程(1)用車頭間距形式表示如下

(3)

引入慢變量X和T[5]:

X=ε(n+bt),T=ε3t,0<ε?1.

(4)

其中：b為待定常數(shù).車頭間距

Δxn=h0+εR(X,T).

(5)

其中：h0表示初始均勻交通流的車頭間距，R(X,T)表示偏離幅度，0<ε?1.

其中：VB′=VB′(h0),VB′′′=VB′′′(h0),VF′=VF′(h0)且VF′′′=VF′′′(h0).選取b=b1VB′+b2VF′, 可得ε2系數(shù)為零.選取τ=(1+ε2)τc，結(jié)合方程(2), 上述方程可簡(jiǎn)化為

(6)

其中：

g1=-[7(b2VF′-b1VB′)/(b1VB′+b2VF′)+14l-9(1+4l+2l2)b2VF′-9(1+2l+2l2)b2VB′]/54,

g2=-(b1VB′′′+b2VF′′′)/6,

g3=A2/6,

g4=-23A4/648-l(4A/3-10A2/3-32A3/27)/24+A[(1+4A)b1VB′-(1-4A)b2VF′]/

[72(b1VB′+b2VF′)],

g5=-A[(1-2A)b2VF′′′-(1+2A)b1VB′′′]/[36(b1VB′+b2VF′)],

(7)

(8)

其中：b=b1VB′+b2VF′.

選取安全間距hc=h0=4.0，最大速度vmax=2.0，當(dāng)參數(shù)(l,b1,b2)取不同值時(shí)，可得車頭間距-敏感度圖，如圖2所示，其中實(shí)線表示方程(2)對(duì)應(yīng)的曲線(稱為中性穩(wěn)定曲線[5])，虛線表示方程(8)對(duì)應(yīng)的曲線(稱為共存曲線[5]).

圖2 車頭間距-敏感度圖Fig.2 Phase diagram in the headway-sensitivity space

圖2(a)、(c)-(d)顯示，對(duì)每一組(l,b1,b2)，交通狀態(tài)分為三個(gè)區(qū)域：位于共存曲線上方的穩(wěn)定區(qū)域；介于共存曲線和中性穩(wěn)定曲線之間的亞穩(wěn)定區(qū)域；位于中性穩(wěn)定曲線下方的不穩(wěn)定區(qū)域[5].由圖可知，適當(dāng)考慮前車的相對(duì)速度和后視效應(yīng)，可使中性穩(wěn)定曲線和共存曲線的位置下降，穩(wěn)定區(qū)域擴(kuò)大.

由上述非線性分析，可得扭結(jié)-反扭結(jié)波解存在的必要條件為

(9)

為了得到扭結(jié)-反扭結(jié)波解，由(9)式可推導(dǎo)出敏感率和弛豫時(shí)間隨著后視權(quán)重變化的取值范圍，如表1-2所示，其中后視權(quán)重b1∈[0,0.4]，安全間距hc=4.0，最大速度vmax=2.0，表1和表2中的初始間距分別為h0=4.0和h0=3.5.由表1可知，當(dāng)后視權(quán)重b1=0.2時(shí)，要使扭結(jié)-反扭結(jié)波解存在，則需敏感率l>0.79.因而在圖2(b)中不存在相應(yīng)的共存曲線，其中后視權(quán)重b1=0的情況與圖2(a)中對(duì)應(yīng)，這里的共存曲線省略.表1-2顯示：如果后車權(quán)重b1增大或者初始間距h0減小，敏感率l需要增大.否則，mKdV方程的扭結(jié)-反扭結(jié)波解不存在.

表1 第一種初始間距對(duì)應(yīng)的敏感率和弛豫時(shí)間的變化范圍Tab.1 The regions of sensitivity ratio and relaxation time corresponding to the first initial headway

表2 第二種初始間距對(duì)應(yīng)的敏感率和弛豫時(shí)間的變化范圍Tab.2 The regions of sensitivity ratio and relaxation time corresponding to the second initial headway

3 數(shù)值模擬

選取初始條件Δxj(0)=Δx0=3.5，j=1,2,…,N；Δxj(1)=3.0，j=N/2, Δxj(1)=4.0，j=N/2+1,且Δxj(1)=3.5，j≠N/2，N/2+1, 其中車輛總數(shù)N=100.選取安全間距hc=4.0，最大速度vmax=2.0，敏感度a=1.6，道路長(zhǎng)度L=NΔx0=350且弛豫時(shí)間τ=1/a=0.625，在周期邊界條件下對(duì)方程(3)進(jìn)行數(shù)值模擬，可得t=10 000后的車頭間距時(shí)空演化圖，如圖3所示.圖(a)-(f)分別對(duì)應(yīng)如下6種情況：(a)OV模型，其中l(wèi)=0,b1=0,b2=1.0且τc=0.424；(b)FVD模型，其中l(wèi)=0.1,b1=0,b2=1.0且τc=0.509；(c)FVD模型，其中l(wèi)=0.2,b1=0,b2=1.0且τc=0.594；(d)SBLOV模型，其中l(wèi)=0,b1=0.2,b2=0.8且τc=0.944；(e)BLVD模型，其中l(wèi)=0.13,b1=0.2,b2=0.8且τc=1.127；(f)BLVD模型，其中l(wèi)=0.13,b1=0.04,b2=0.96且τc=0.6.

圖3 車頭間距時(shí)空演化圖Fig.3 Space-time evolutions of the headway

圖3(a)-(b)中演化形成的波由窄幅集簇和寬幅集簇組成.當(dāng)敏感率l增大時(shí)，F(xiàn)VD模型的一個(gè)扭結(jié)-反扭結(jié)波解出現(xiàn)在圖3(c)中.圖3(a)-(c)表明增大敏感率能夠提高交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性.圖3(d)-(e)中不存在扭結(jié)-反扭結(jié)波的原因是：這兩組參數(shù)不滿足表2中扭結(jié)-反扭結(jié)波存在的必要條件.由圖3(d)可見，SBLOV模型演化形成振蕩擁擠交通.當(dāng)敏感率增大時(shí)，圖3(e)中出現(xiàn)自由流.當(dāng)后視權(quán)重b1減小時(shí)，BLVD模型的扭結(jié)-反扭結(jié)波解在圖3(f)中出現(xiàn)，表明交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低.圖3中的6種情況表明：適當(dāng)考慮敏感率l和后視權(quán)重b1能夠明顯提高交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

在BLVD模型中，重新選取兩組不同參數(shù)，車頭間距時(shí)空演化圖如圖4，其中圖4(a)-(b)中的參數(shù)分別對(duì)應(yīng)如下2種情況：(a)a=1.6,l=0.1,b1=0.04,b2=0.96;(b)a=1.08,l=0.355,b1=0.1,b2=0.9 .圖4(a)中出現(xiàn)與圖3(f)類似的扭結(jié)-反扭結(jié)波.當(dāng)后視權(quán)重b1增大時(shí)，要使扭結(jié)-反扭結(jié)波存在，敏感率l和弛豫時(shí)間τ都需要增大.因此當(dāng)選擇了較小的敏感度a時(shí)，忽略小振蕩，模型可演化形成一個(gè)扭結(jié)-反扭結(jié)波，如圖4(b).圖4中的兩種情況均滿足表2中扭結(jié)-反扭結(jié)波存在的必要條件.

圖4 BLVD模型車頭間距時(shí)空演化圖Fig.4 Space-time evolutions of the headway of BLVD modle