穿越沙漠的小游戲策略

張敏

（黃河交通學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，河南 焦作454002）

在只有一名玩家且僅知道當(dāng)天的天氣狀況，決定當(dāng)天的行動方案的情況下，探索玩家的最佳策略。玩家憑借一張地圖，利用初始資金購買一定數(shù)量的水和食物（包括食品和其他日常用品），從起點出發(fā)，在沙漠中行走。途中會遇到不同的天氣，也可在礦山、村莊補充資金或資源，在游戲設(shè)定的規(guī)則下，規(guī)定的時間內(nèi)到達(dá)終點，并保留盡可能多的資金。

1 問題分析

對于游戲一，由于玩家僅知道當(dāng)天的天氣狀況，所以需要分情況討論各種天氣下的方案。已知10 天內(nèi)不會出現(xiàn)沙暴天氣。從悲觀準(zhǔn)則和樂觀準(zhǔn)則[2]兩個角度分析，考慮10 天內(nèi)全是高溫天氣或者10 天內(nèi)全是晴朗天氣。在假設(shè)不同天氣的情況下，確定多種路徑，通過每種路線和天數(shù)計算出到終點后的剩余資金。比較每種方案在終點時剩余資金數(shù)量，選出剩余資金最大的方案。對于游戲二，游戲截止時間為第30 天，已知30 天內(nèi)較少出現(xiàn)沙暴天氣。玩家在僅知道當(dāng)天的天氣狀況下，假定“較少出現(xiàn)”為游戲時間段內(nèi)最多出現(xiàn)一天沙暴天氣。從悲觀角度分析，假設(shè)30 天內(nèi)有1 天沙暴天氣，29 天高溫天氣。從樂觀角度分析，假設(shè)30 天內(nèi)有1 天沙暴天氣，29 天晴朗天氣。計算兩種條件下玩家的到終點后的剩余資金。

2 游戲的求解

2.1 游戲一的求解

游戲一的天氣狀況未知，已知的情況是十天內(nèi)不會出現(xiàn)沙暴天氣，高溫天氣比晴朗天氣的基礎(chǔ)消耗量大。由悲觀準(zhǔn)則和樂觀準(zhǔn)則將天氣分為兩端情況，即十天內(nèi)全部高溫和十天內(nèi)全部晴朗?？紤]不同的天氣下是否挖礦。

綜合上述分析得到四種情況下的四個情況：第一種情況：玩家極度樂觀，認(rèn)為十天全部晴朗，決定去挖礦，路線是經(jīng)過礦山挖礦后回到終點。第二種情況：玩家樂觀，認(rèn)為十天全部晴朗，決定不去挖礦，路線是從起點到終點的最短路徑。第三種情況：玩家悲觀，認(rèn)為十天全部高溫，決定去挖礦，路線是經(jīng)過礦山挖礦后回到終點。第四種情況：玩家極度悲觀，認(rèn)為十天全部高溫，路線是從起點到終點的最短路徑。運用Matlab 軟件計算得到：第一種方案剩余資金9480 元，第二種方案剩余資金9670 元，第三種方案剩余資金7560 元，第四種方案剩余資金9190 元。對四種方案進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，在游戲一中無論是高溫天氣還是晴朗天氣，先去挖礦再去終點的策略都比直接去終點的剩余資金數(shù)小。因此，在本關(guān)游戲中想要在規(guī)定時間內(nèi)到達(dá)終點并獲得最大剩余資金數(shù)的策略是盡量減少行走時的資源消耗，即直接從起點到終點，中間不去挖礦。第二種方案和第四種方案的路徑均為：1→5→6→13（地圖區(qū)域塊）。使用Matlab 分別計算出第二種方案和第四種方案所需的物資消耗量。玩家在起點購買（購買物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和路程消耗量），如表1 所示：

表1 玩家在起點需要購買的物資量

由表1 知：第二種方案在起點需要購買食物24 箱，水18箱；第四種方案在起點需要購買食物54 箱，水54 箱。

2.2 游戲二的求解

2.2.1 悲觀情況下的玩家策略

2.2.1.1 在不考慮外來資金時，即礦山不挖礦。運用廣度優(yōu)先遍歷法，得出從起點到終點的最短路徑不唯一，然而最短線路都需要8 步。悲觀情況下有一天為沙暴天氣且沙暴天氣必須原地停留，因而從起點到終點的路徑需要9 天走完。無論沙暴天氣出現(xiàn)在行走中的哪一天，對玩家到達(dá)終點均沒有影響。此情況下使用枚舉法列出從起點到終點最短路徑的線路如下：

線路一：1→2→3→4→5→10→15→20→25

線路二：1→2→3→4→9→14→19→24→25

線路三：1→2→3→8→13→18→23→24→25

線路四：1→2→7→12→17→22→23→24→25

線路五：1→6→11→16→21→22→23→24→25

玩家在起點購買（購買物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和路程消耗量），如表2 所示：

表2 玩家在起點需要購買的物資量

由表2 知：玩家在起點處所購買水154 箱，食物153 箱，到達(dá)終點時剩余資金為7690 元。

2.2.1.2 在考慮外來資金時，即礦山挖礦。在礦山挖礦的前提下，考慮是否經(jīng)過14 區(qū)域（村莊）。

（1）如果不經(jīng)過村莊，則需要在起點購買路程中需要的所有物資。使用廣度優(yōu)先遍歷法得，從起點到終點路過礦山時的線路有多條。使用枚舉法列出第一階段的線路為：

第一條：1→6→11→16→17→18(礦山）

第二條：1→2→7→12→17→18(礦山）

第三條：1→2→3→8→13→18(礦山）

使用枚舉法列出第二階段的線路為：

第一條：18(礦山）→19→20→25

第二條：18(礦山）→19→24→25

第三條：18(礦山）→23→20→25

（2）如果經(jīng)過村莊，使用廣度優(yōu)先遍歷法得此情況下的線路有多條。使用枚舉法列出第一階段的線路為：

第一條：1→2→3→4→9→14(村莊）→19→18（礦山）

第二條：1→2→3→4→9→14(村莊）→13→18（礦山）

第三條：1→2→3→8→9→14(村莊）→19→18（礦山）

第四條：1→2→3→8→9→14(村莊）→13→18（礦山）

第五條:1→2→7→12→13→14(村莊）→19→18（礦山）

第六條：1→6→7→8→9→14(村莊）→19→18（礦山）

第七條：1→6→7→8→9→14(村莊）→13→18（礦山）

使用枚舉法列出第二階段的線路為：

第一條：18(礦山）→19→20→25

第二條：18(礦山）→19→24→25

第三條：18(礦山）→23→20→25

玩家在起點購買（購買物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和路程消耗量）和在村莊購買（補充物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和路程消耗量），如表3 所示：

表3 玩家在起點（村莊）需要購買的物資量

由表3 知，玩家在起點時購買水83 箱，食物325 箱；在村莊需要補充水142 箱，食物0 箱（補充物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和第二階段的路程消耗量）；到達(dá)終點時剩余資金數(shù)為9415 元。

2.2.2 樂觀條件下玩家的最優(yōu)策略

樂觀情況為30 天內(nèi)有1 天沙暴天氣，29 天晴朗天氣。玩家在該條件下最優(yōu)策略的確定與悲觀條件相似，分兩個策略：

2.2.2.1 在不考慮外來資金時，即礦山不挖礦，玩家直接從起點到達(dá)終點。

2.2.2.2 在考慮外來資金時，即礦山挖礦。在礦山挖礦的前提下，考慮是否經(jīng)過14 區(qū)域（村莊）。

在不考慮外來資金，即礦山不挖礦時，玩家在起點購買（購買物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和路程消耗量），如表4 所示：

表4 玩家在起點需要購買的物資量

由表4 知，玩家需要在起點購買水48 箱，食物64 箱，到達(dá)終點時剩余資金9120 元。

在考慮外來資金，即礦山挖礦，并且經(jīng)過14 區(qū)域（村莊）時，玩家在起點購買（購買物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和路程消耗量）和在村莊購買（補充物資總量的依據(jù)是挖礦最大天數(shù)和路程消耗量），如表5 所示。

表5 玩家在起點（村莊）需要購買的物資量

需要在起點購買水194 箱，食物308 箱，在村莊補給水37箱，食物0 箱，到達(dá)終點時剩余資金24580 元。

3 結(jié)論

游戲一和游戲二均從悲觀準(zhǔn)則和樂觀準(zhǔn)則兩個角度出發(fā)，去考慮是否挖礦。游戲一得出無論樂觀還是悲觀，先去挖礦再去終點的策略都比直接去終點的剩余資金數(shù)小。因此，在本關(guān)游戲中想要在規(guī)定時間內(nèi)到達(dá)終點并獲得最大剩余資金數(shù)是直接從起點到終點，中間不去挖礦。游戲二得出無論是否挖礦，悲觀條件下都比樂觀條件下的剩余資金數(shù)小。因此，樂觀的人比較適合玩本關(guān)游戲。