肘內式懸掛LMI優(yōu)化的多目標輸出反饋控制研究*

胡峰波,董 勝,袁朝輝*

(1.航空工業(yè)第一飛機設計研究院,陜西 西安 710089; 2.西北工業(yè)大學 自動化學院,陜西 西安 710129)

0 引 言

肘內式懸掛系統(tǒng)分為固定缸筒式、擺動式和肘內式[1]。肘內式油氣懸掛以高壓氣體作為彈性介質,液壓油流過可控節(jié)流孔產生阻尼作用,進而達到減緩車體振動,調節(jié)車體與輪軸連接剛度的目的。

懸掛設計一般需要滿足乘坐的舒適性,操縱的穩(wěn)定性[2]和執(zhí)行機構的非飽和性[3，4]。乘坐的舒適性主要體現(xiàn)在車輛車體垂直加速度上,加速度越小，人體感覺越好。操縱的穩(wěn)定性主要體現(xiàn)在輪胎與地面的接觸和連接剛度上。執(zhí)行機構的非飽和是指執(zhí)行機構的各項輸出滿足實際硬件約束。上述性能相互矛盾,實際上在這些性能要求中,只有車體垂直加速度需要優(yōu)化,其他指標只要不超過相應的范圍即可,所以問題可以歸結為約束系統(tǒng)的干擾抑制問題[5]。

本文提出一種肘內式油氣懸掛的結構形式,應用線性矩陣不等式原理對系統(tǒng)性能進行優(yōu)化,并進行優(yōu)化前后油氣懸掛性能的仿真對比。

1 肘內式懸掛結構分析與建模

1.1 懸掛結構

肘內式油氣懸掛由油氣彈簧和可控葉片式阻尼減震器組成,肘內式懸掛結構如圖1所示。

油氣彈簧部分包括高壓氣室、浮動活塞、主活塞以及活塞連桿。葉片式減震器包括旋轉葉片,固定隔板,均壓油道和伺服閥控結構。伺服閥控結構完成阻尼力的半主動控制作用。通過調節(jié)伺服閥的開口大小理論上完全可以改變懸掛的阻尼力進而起到減震作用。油氣彈簧的作動缸和平衡肘體做成一體,活塞連桿一端鉸接在懸掛上支臂上,另一端與主活塞用球鉸相連。可控阻尼減振器位于肘體內部上端,可控阻尼減振器盤式結構軸心與平衡肘同軸安裝。

圖1 肘內式懸掛結構

1.2 運動學分析

在對油氣懸掛導向桿系合理簡化的基礎上,筆者分析其結構參數(shù)與位移,作用力之間的關系。在依據(jù)該簡化結構建立肘內式懸掛模型之前,筆者做如下假設:

(1)懸掛內部部件間密封狀態(tài)良好;

(2)油液在懸掛內部各油缸內流動時,不考慮壓降和氣穴現(xiàn)象[6];

(3)只考慮單個輪子的運動情況,忽略各輪之間通過履帶的鉸鏈。

為了便于對懸掛機構進行運動學分析,將圖1簡化為懸掛結構平面連桿如圖2所示。

圖2 懸掛結構平面連桿OA0—懸架上支臂長度;OE0—作動缸力臂長度;AD—活塞桿長度;OC—平衡肘長度;δ—上支臂與水平線角度;γ—靜傾角;φ—作動缸作用半徑安裝角;α—懸架旋轉角度;s—空氣彈簧壓縮量

其中：O點為平衡肘軸心,其與車體固連;C點為車輪輪軸;A點為作動缸活塞連桿頂端位置,其相對于車體固定;B點為作動缸中心線與平衡肘延長線的交點;D點為作動缸活塞連桿球頭位置;OE表示作動缸力臂;O、A、C、D處均有一旋轉副,D點沿EB做往復運動。

懸掛結構參數(shù)如表1所示。

表1 懸掛結構參數(shù)

現(xiàn)將平衡肘OC繞O點逆時針旋轉α,見圖2。C點從C0點運動到C′,E點從E0點運動到E′,由于A(A0)點不動所以D點從D0點運動到D″。有:

(1)

D″(xD″,yD″)點坐標計算如下:

以A0(xA0,yA0)點為圓心,活塞桿長度AD為半徑的圓方程為:

(x-xA0)2+(y-yA0)2=AD2

(2)

過E′(xE′,yE′)點與OE′垂直的直線(即作動缸幾何中心線)方程為:

(3)

將式(3)代入到式(2)得:

(4)

解得:

(5)

其中:

(6)

同理，D′(xD′,yD′)點坐標計算如下:

(7)

其中:

(8)

最終有:

s2=(xD′-xD″)2+(yD′-yD″)2

(9)

1.3 油氣彈簧組成與動力學分析

相對于空氣忽略油氣彈簧油液的壓縮性,初始氣體壓強為P0,體積為V0。氣體受外力作用,向下的位移(壓縮量)為x,此時氣室壓力和容積的變化為ΔP、ΔV,由接近真實氣體的準靜態(tài)多變過程方程[7]如下:

(10)

式中:P—氣體在平衡狀態(tài)下的壓強;V—氣體在平衡狀態(tài)下的體積;n—氣體物質的量;R—普適氣體常量;a,b—范德瓦爾茲常數(shù);κ—多變指數(shù)。

其中,取κ=1,可得:

(11)

又因為:

(12)

式中:Ae—有效面積。

將式(11)寫成ΔP關于x的函數(shù),并將ΔP在x=0處泰勒展開,忽略高階微分項,可求出:

(13)

氣體物質的量可以近似求得:

(14)

可以根據(jù)式(12～14)求出Δp為:

(15)

空氣彈簧中氣體壓力為:

(16)

代入Δp忽略二階小量,式(16)可以寫成:

Fs=P0·Ae+(k1+k2)x

(17)

Ae不隨壓縮量x變化而變化,從而有:

(18)

壓縮氣體選擇空氣,簡便起見,取等溫過程近似,所以在初始位置附近油氣彈簧的彈性系數(shù)為:

(19)

進而式(17)可改寫為:

Fs=P0·Ae+k1s

(20)

1.4 減震器部分組成與動力學分析

肘內葉片式阻尼減振器將平衡肘軸心關節(jié)處進行修改,將盤式減振器置于肘體內部,與平衡肘軸同軸布置,通過花鍵與肘體連接,其主要由阻尼調節(jié)裝置、固定節(jié)流孔、外壁、旋轉葉片、限壓閥、均壓油道、隔板等組成。葉片和隔板將整個工作空間分為A,B,C,D4個區(qū)域。平衡肘上下擺動帶動葉片在減振器腔體中順時針(逆時針)旋轉,使A、C(B、D)腔受壓成高壓腔,B、D(A、C)腔成低壓腔,油液從高壓腔經過固定節(jié)流孔和與之并聯(lián)的阻尼調節(jié)裝置流向低壓腔。阻尼調節(jié)裝置跨接在葉片減震器隔板兩側。

油氣彈簧特性模型如圖3所示。

圖3 油氣彈簧特性模型

筆者通過改變閥口開度,改變減振器節(jié)流通道,進而改變減振器的阻尼力大小,達到半主動式減震效果。這里改變的是可控阻尼力大小,而固定節(jié)流孔阻尼不變。減振器工作時,葉片轉動,均壓油道溝通的兩腔各處壓力相等,油溫和體積彈性模量為常數(shù)。認為盤內外泄漏均為層流流動。車輪軸心受到路面不平度影響產生擾動,進而會在車輛重心處產生擾動位移和擾動加速度,影響車輛行駛的平順性。

由流量連續(xù)性方程可知,葉片減振器的流量為:

(21)

式中:Qf—負載流量;Q1—葉片掃過體積流量;Vt—阻尼盤等效容積;Ey—油液等效容積彈性模量;Csl—阻尼盤總泄漏系數(shù);pf—高低壓腔壓力差。

葉片掃過體積流量可以表示為：

(22)

式中:D—葉片的外徑;d—葉片的內徑;V—車輪軸心旋轉線速度;OC—平衡肘等效半徑;h—阻尼盤厚度。

其中,阻尼盤等效截面積為:

(23)

所以式(21)可以寫成:

(24)

根據(jù)力矩平衡原理,平衡肘C點受到的阻尼力為:

(25)

2 懸掛數(shù)學模型

單輪懸架系統(tǒng)結構模型如圖4所示。

圖4 單輪懸架系統(tǒng)結構模型Fd—阻尼力;Fs—彈性力;xs—簧上質量位移;xu—非簧上質量位移;cs—固定節(jié)流孔對應產生的不變阻尼系數(shù);xg—路面擾動位移;mu—車輪重量;ms—簧上質量;kt—車輪等效彈性系數(shù);ks—油氣彈簧等效彈性系數(shù)

肘內式油氣懸掛動力學特性可用如下微分方程描述,即:

(26)

(27)

Fd(t)=Fmaxu

(28)

式中:Fmax—最大可調阻尼輸出力;u—控制輸入。

對式(26～28)進行拉普拉斯變換,并且經過整理,選取狀態(tài)變量為:

(29)

動力學方程可以改寫為:

(30)

對于懸掛而言,控制的主要問題側重于在一定的頻率范圍內降低車身垂直方向的加速度幅值水平,在這個過程中動靜載荷比要保證車輛的接地性,其約束可寫為:

kt(xu(t)-xg(t))≤(ms+mu)g

(31)

作動器行程要在設計范圍內,約束可寫為:

|(xs(t)-xu(t))|≤xmax

(32)

式中:xmax—最大懸掛動行程。

考慮到控制目標是減小加速度,因此控制輸出和約束輸出分別選擇為:

(33)

(34)

而測量輸出選擇為:

(35)

3 基于LMI方法的輸出反饋性能優(yōu)化

將肘內式懸掛近似看成線性時不變系統(tǒng),筆者依據(jù)上節(jié)建模分析,系統(tǒng)狀態(tài)空間方程歸一化寫成如下形式:

(36)

式中:x—狀態(tài)變量;w—外部擾動輸入;u—控制輸入。

現(xiàn)在需要設計控制器,使其滿足:‖Twz1(s)‖∞≤γmin,‖z2(t)‖≤1,?t≥0,閉環(huán)系統(tǒng)極點落在目標LMI區(qū)域中。其中：Twz1(s)—w到z1的傳遞函數(shù)。

第二個約束可寫t為:

(37)

也就是要求從w到z2的廣義H2范數(shù)小于1。

輸出反饋控制器為:

(38)

接入系統(tǒng)后增廣系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:

(39)

其中:

Dlp,1=D11+D12DkD31

Dlp,2=D21+D22DkD31

H∞性能:存在對稱正定矩陣P1使其滿足下式[8]:

(40)

廣義H2性能:存在對稱正定矩陣P2使其滿足下式:

(41)

極點配置:閉環(huán)系統(tǒng)極點落在LMI區(qū)域[9]:

(42)

其中:

L=LT={λij}1≤i,j≤m∈Rm×m,H={μij}1≤i,j≤m∈Rm×m。

當且僅當存在對稱正定矩陣P3滿足

(43)

在LMI框架內,需要解決這個非凸優(yōu)化問題。因此,尋求一個李雅普諾夫矩陣P:=P1=P2=P3來同時滿足上述3條約束。

(44)

(45)

X和Y是對稱正定矩陣,對不等式(40)進行同余變換[11],則不等式(40)等價于:

(46)

(47)

(48)

4 數(shù)學仿真

對油氣懸掛系統(tǒng)模型使用上述優(yōu)化方法,筆者將測量輸出接入求得的輸出反饋控制器。控制輸出就能滿足設計性能指標并可求出可調阻尼力Fd(t)的大小,又因為式(25),At不變,進而可得到減震器高低壓腔壓力差,通過改變可調節(jié)流孔大小跟蹤壓差值。

懸掛系統(tǒng)參數(shù)取值如表2所示。

表2 懸掛系統(tǒng)參數(shù)取值

優(yōu)化問題可以歸結為:

(49)

根據(jù)相關汽車平順性脈沖輸出行駛驗證方法(GB4970.85),本文采用長坡型單凸塊確定性路面輸入:

(50)

式中:l—車輛水平位移;Am—凸塊高度;L—凸塊長度。

則相應的垂直速度可以表示為:

(51)

這里選擇25 km/h和40 km/h進行懸掛垂直加速度抑制性能分析,取Am=0.1 m,L=5 m,此時可以求出擾動頻率為0.28 Hz≤f≤3.33 Hz。通過仿真可以得到γmin=653.468 9。

Twz1(s)系統(tǒng)優(yōu)化前后波特圖對比如圖5所示。

圖5 系統(tǒng)優(yōu)化前后波特圖對比

車輛懸掛系統(tǒng)在一定范圍內擾動通道增益減小。

根據(jù)無窮范數(shù)定義結合波特圖求出同時在廣義H2約束下:

‖Twz1(s)‖∞=46.554 3≤γmin

(52)

圖6 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后垂直加速度對比

懸掛優(yōu)化前后車體垂直加速度有較大程度上的減小,簧上質量振動相對被動式系統(tǒng)衰減較大。

懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后簧上質量速度對比如圖7所示。

圖7 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后簧上質量速度對比

由圖7可知,簧上質量的速度明顯減小。

懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后非簧上質量速度對比如圖8所示。

圖8 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后非簧上質量速度對比

由圖8可知,非簧上質量的速度基本保持不變。

系統(tǒng)優(yōu)化前后懸掛動行程如圖9所示。

圖9 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后懸掛動行程

由圖9可以看出：半主動懸掛行程較被動式懸掛行程有所增加,這有助于降低振動,即使行程增加也仍然小于xmax=0.1 m。

懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后車輪壓縮行程如圖10所示。

圖10 懸掛系統(tǒng)優(yōu)化前后車輪壓縮行程

由圖10可以看出：半主動懸掛車輪壓縮行程較被動式懸掛車輪壓縮行程有所減小,這有助于保證車輛的接地性。

5 結束語

筆者通過對肘內式半主動懸掛系統(tǒng)結構進行分析,建立起了系統(tǒng)的動力學模型,在系統(tǒng)模型的基礎上應用LMI方法,設計出了綜合考慮多目標性能的輸出反饋控制器。

基于LMI方法設計的輸出反饋控制器,應用范數(shù)的物理意義,使系統(tǒng)在整個頻率范圍內擾動通道增益最大值不大于性能指標參數(shù)γ,并考慮到系統(tǒng)的硬約束條件,使系統(tǒng)外部輸入到約束輸出的廣義H2范數(shù)小與1,保證了控制的有效性。通過靈活地在LMI框架下配置系統(tǒng)的極點位置,使系統(tǒng)表現(xiàn)出理想的性能。

通過仿真看到：控制器在系統(tǒng)能力范圍內明顯的減小了垂直方向加速度,改善了乘坐舒適性;動行程和最大輸出阻尼力都小于硬件約束。