基于主成分分析的薄壁結(jié)構(gòu)截面特征形變識別研究*

謝 瑤,張 磊,梁世雷,趙仲航

(河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,江蘇 常州 213022)

0 引 言

薄壁結(jié)構(gòu)以其較高的質(zhì)量-剛度比,廣泛應(yīng)用于工程機(jī)械的承重結(jié)構(gòu)[1-4]。高跨比較大的薄壁結(jié)構(gòu)在承受外力時(shí)容易產(chǎn)生截面變形,直接影響到工程設(shè)備的工作性能,傳統(tǒng)的Timoshenko梁等理論忽略了截面翹曲和畸變等高階形變[5-7],難以為薄壁結(jié)構(gòu)提供一組合理有效的截面變形模式,因此研究薄壁結(jié)構(gòu)的截面特征形變識別具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前,國內(nèi)外學(xué)者對于薄壁結(jié)構(gòu)截面變形模式的研究主要包括兩個(gè)方面:在傳統(tǒng)梁理論基礎(chǔ)上考慮特殊行為的變形模式來改善梁模型,和基于廣義梁理論通過特征值解耦微分方程來識別變形模式。YOON K等[8]為不同薄壁結(jié)構(gòu)建立了翹曲函數(shù),并在經(jīng)典變形基礎(chǔ)上添加代表翹曲行為的變形模式。CAPDEVIELLE S等[9]推導(dǎo)了任意形狀復(fù)合材料截面變形中扭轉(zhuǎn)翹曲的公式,考慮翹曲模式對于構(gòu)件整體行為的影響。王曉峰等[10，11]研究了橫向剪切變形以及橫向剪力所產(chǎn)生的翹曲對于薄壁梁振動特性的影響。段海軍[12]對薄壁曲梁動力學(xué)建模時(shí)考慮了彎扭耦合和扭轉(zhuǎn)翹曲的影響,建立了開口截面薄壁曲梁非線性自由振動的有限元模型。隨著廣義梁理論的快速發(fā)展,VIEIRA R F等[13]提出了一個(gè)解耦梁動力學(xué)方程的準(zhǔn)則,以導(dǎo)出一組表示高階形變的變形模式。PERES N等[14]將廣義梁理論擴(kuò)展到自然彎曲的薄壁梁領(lǐng)域,并導(dǎo)出圓軸彎曲構(gòu)件包括開放和閉合的截面變形模式。BEBIANO R等[15]通過擴(kuò)展廣義梁理論公式,分析了具有不同截面幾何形狀的薄壁構(gòu)件的屈曲行為。

以上研究表明,對于薄壁結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有研究方法幾乎能夠處理任意截面變形的力學(xué)行為,但建立的高階模型微分方程的求解計(jì)算較為復(fù)雜,在保證精度的同時(shí),一種避免無效的截面特征,僅保留能夠反映截面變形本質(zhì)特征的簡化方法對于薄壁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型計(jì)算更有效。

基于一組截面基本變形模式,本文建立薄壁結(jié)構(gòu)的一維高階模型,利用模式識別對一維高階模型的特征向量分解處理,構(gòu)建最終權(quán)重矩陣,將高階模型計(jì)算出的固有頻率和振型與ANSYS模型分析結(jié)果比較,以驗(yàn)證模型的可靠性。

1 模型的建立

1.1 位移場一維化

本文以一端固定的矩形薄壁梁為研究對象,結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 矩形薄壁梁結(jié)構(gòu)簡圖

圖1中,以截面中心為原點(diǎn),建立空間坐標(biāo)系(x,y,z),梁體長度為l,壁板厚度為t。

在薄壁梁截面中線上建立局部坐標(biāo)系,如圖2所示。

圖2 截面中線上的局部坐標(biāo)系

圖2中,沿截面中線建立的局部坐標(biāo)系由切向s、法向n和軸向z定義,梁體截面中面寬度和高度分別為b和h。

本節(jié)借鑒張磊[16]對于薄壁梁的分析方法,在截面上引入8個(gè)節(jié)點(diǎn)來捕捉截面變形,如圖3所示。

圖3中,4個(gè)角節(jié)點(diǎn)為一級節(jié)點(diǎn),4個(gè)邊線中點(diǎn)為二級節(jié)點(diǎn),分別施加軸向、切向、法向和扭轉(zhuǎn)單位位移,在一級節(jié)點(diǎn)上施加位移時(shí),其余一級節(jié)點(diǎn)位移為0,在二級節(jié)點(diǎn)上施加位移時(shí),其余所有節(jié)點(diǎn)位移均為0。本文采用線性函數(shù)插值軸向和切向位移,采用埃爾米特插值法向位移,并通過形函數(shù)定義基函數(shù),每個(gè)基函數(shù)都表示一種變形模式,由于模型考慮了4個(gè)自由度,共產(chǎn)生32種變形模式,其中1～8為平面外變形,9～32為平面內(nèi)變形。

截面中線上點(diǎn)的位移通過軸向u(s,z)、切向v(s,z)和法向w(s,z)3個(gè)位移分量表示,并通過模態(tài)疊加法將截面變形模式的形函數(shù)線性疊加,建立截面的一維位移場如下:

圖3 8節(jié)點(diǎn)矩形薄壁梁的基本變形模式

(1)

式中:α—幅值函數(shù);φ(s)—平面外變形的基函數(shù);φ(s),ω(s)—平面內(nèi)變形的基函數(shù)。

幅值函數(shù)α表示如下:

α=[α1z)α2(z) …α32(z)]T

(2)

三維位移場B(u,v,w)可以表示為:

B=Lψα

(3)

式中:L—微分算子;ψ—位移轉(zhuǎn)換矩陣。

L,ψ分別表示如下:

(4)

(5)

1.2 動力學(xué)方程

在小位移條件下,依據(jù)Kirchhoff假設(shè),可得薄壁梁的應(yīng)變分量為:

ε=CB

(6)

式中:C—微分算子。

C的表達(dá)式如下:

(7)

根據(jù)線彈性本構(gòu)關(guān)系,薄壁梁的應(yīng)力分量為

σ=Ehε

(8)

式中:Eh—本構(gòu)矩陣。

Eh表示如下:

(9)

式中:E—彈性模量;v—泊松比;G—剪切模量。

依據(jù)Hamilton原理建立薄壁梁的動力學(xué)方程,有:

(10)

式中:T—臂架的動能;U—臂架勢能;W—外力勢能。

T,U,W可以分別表示為:

(11)

(12)

(13)

式中:ρ—薄壁梁材料密度;p—作用在臂架截面上的分布力列向量。

p可表示為:

(14)

將式(11～13)代入式(10),可得薄壁梁的動力學(xué)方程如下:

(15)

1.3 有限元格式

本文采用有限單元法求解一維高階模型,通過拉格朗日線性插值函數(shù)將薄壁梁離散為n個(gè)單元,即:

α=Ndi,i=1,2…n

(16)

式中:i—單元節(jié)點(diǎn)號;N—線性插值函數(shù);d—節(jié)點(diǎn)位移向量。

線性插值函數(shù)N表示如下:

(17)

(18)

式中:ξ1,ξ2—插值函數(shù);(i),(i+1)—單元兩端。

總體節(jié)點(diǎn)位移向量D可以表示為:

(19)

將式(16～18)代入式(10),可得:

(20)

式中:Λ—軸向積分區(qū)域;A—截面積分區(qū)域;p—作用在臂架截面上的分布力列向量。

動力學(xué)方程的形式可整理為:

(21)

式中:m—單元質(zhì)量矩陣;k—單元?jiǎng)偠染仃?f—單元載荷矩陣。

m,k可以分別表示為:

(22)

(23)

(24)

式中:l—單元長度。

本文研究的薄壁梁處于無阻尼下的自由振動狀態(tài),故載荷向量f作為0處理。

求解單元質(zhì)量矩陣m和剛度矩陣k。組裝集成薄壁梁的總體質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K可以表示為:

(25)

式中:Ti—節(jié)點(diǎn)位移向量di到總體節(jié)點(diǎn)位移向量D的轉(zhuǎn)換矩陣。

2 截面特征識別

本文以截面32種變形模式為基礎(chǔ)構(gòu)建矩形薄壁梁的動力學(xué)模型,理論上能夠完成模型的求解,但是由于考慮的變形模式過多,計(jì)算復(fù)雜,所以有必要從上述變形中識別出一組合理有效的變形模式來改善模型。

2.1 振型參數(shù)提取

高階模型的特征向量通常被作為識別變形模式的基礎(chǔ),求解薄壁梁高階模型的廣義特征值即可轉(zhuǎn)化得到系統(tǒng)的固有頻率,進(jìn)而求得薄壁梁高階模型的特征向量,并將特征向量集成在矩陣H中,表示如下:

(26)

式中:(k)—特征向量的階數(shù)。

將每一階特征向量改寫特征矩陣α(k),表示如下:

(27)

由于薄壁梁在軸線方向被離散為n個(gè)單元,則α(k)的列向量可以用幅值函數(shù)表示為:

(28)

特征矩陣的列向量反映了幅值函數(shù)的變化情況,通過對特征矩陣的分解處理以完成截面特征的識別。

對平面內(nèi)外變形模式的識別是分開進(jìn)行的,即對原有平面外變形模式識別出新平面外變形模式,對原有平面內(nèi)變形模式識別出新平面內(nèi)變形模式,即:

(29)

2.2 特征識別算法

主成分分析是通過線性變換將原有多個(gè)變量轉(zhuǎn)換為幾個(gè)線性無關(guān)變量的方法。本文利用在投影方向上的方差大小來判斷該方向的參與程度。

在特征識別前需要對樣本特征矩陣進(jìn)行去中心化,可得:

(30)

式中:m—特征矩陣中列向量元素個(gè)數(shù)。

對特征矩陣x(k)構(gòu)建協(xié)方差矩陣A,表示為:

A=x(k)(x(k))T

(31)

對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解,求解特征值及對應(yīng)的特征向量。將最大特征值對應(yīng)的特征稱為主要變形模式,其余特征值對應(yīng)的特征則為次要變形模式。

將特征值λ由大到小排序,即:

(32)

式中:r—協(xié)方差矩陣的秩。

每一階特征矩陣分解產(chǎn)生的有效變形模式數(shù)量取決于q,q為滿足下式的最小整數(shù),即:

(33)

式中:t—閾值,0

(34)

將所有權(quán)重系數(shù)集成到權(quán)重矩陣τ(k)中,即:

(35)

在特征識別過程中,某些變形模式可能在不同模態(tài)階數(shù)中重復(fù)出現(xiàn),為保證正交性,權(quán)重矩陣中的列向量需要滿足線性無關(guān)性,即:

rank(τ(k))=q

(36)

最終權(quán)重矩陣為截面32種變形模式的線性組合提供了權(quán)重集合,表示如下:

(37)

式中:ui(s)—軸向位移分量;vi(s)—切向位移分量;wi(s)—法向位移分量。

結(jié)合式(21～25),利用MATLAB編制有限元程序,求解薄壁梁的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣,求得模型的廣義特征值,分別對平面外和平面內(nèi)的特征向量分解處理,直至識別出的變形模式滿足計(jì)算精度的需求;對變形模式的形函數(shù)幅值進(jìn)行歸一化處理,以確保其最大位移為1;求解變形模式的形函數(shù),將其用于替換被集成在動力學(xué)方程中的基函數(shù),以簡化梁模型。

3 數(shù)值算例及模型驗(yàn)證

由于從高階模型的前4階特征向量中識別出的特征以經(jīng)典變形為主,本文以矩形薄壁梁第5階特征向量的平面外變形為例說明了識別過程,識別出具有代表性的翹曲變形,并對識別方法的可靠性和通用性進(jìn)行驗(yàn)證。

3.1 數(shù)值算例

矩形薄壁梁的結(jié)構(gòu)如圖1所示,其參數(shù)包括:長度l=1.00 m,寬度b=0.16 m,高度h=0.20 m,厚度t=0.01 m,密度ρ=7 800 kg/m3,彈性模量E=2×1011Pa,泊松比v=0.3。

將薄壁梁沿軸線方向離散為n=80個(gè)單元,對平面外變形模式的5階特征矩陣分解處理,協(xié)方差矩陣A的特征值為:

(38)

(39)

結(jié)合式(37),可獲得一種確定的平面外變形模式,對應(yīng)于翹曲變形,如圖4所示。

圖4 五階特征向量的平面外主變形模式

結(jié)合式(30～37),依據(jù)特征識別算法流程編制相應(yīng)的MATLAB計(jì)算程序,依次對矩形薄壁梁的前12階特征向量進(jìn)行分解處理,共可識別出11種最終截面變形模式,如圖5所示。

圖5 矩形薄壁梁前12階振型識別截面變形模式

其中,圖5(a～d)為平面外變形模式,圖5(e～k)為平面內(nèi)變形模式;變形模式圖5(a～c)和圖5(e～g)對應(yīng)于截面的剛性位移,剩余6種是基于翹曲和畸變的高階形變,表明識別出的變形模式具有實(shí)際的物理意義。

變形模式的排列順序反映了它們的層次性。其中,圖5(a～h)為主要變形模式,圖5(i～k)為次要變形模式。

矩形薄壁梁的截面變形模式并不僅僅局限于上述11種變形模式,當(dāng)需要進(jìn)一步提高模型的計(jì)算精度時(shí),可通過增大閾值t,引入一些參與度較低的變形模式來實(shí)現(xiàn)。

3.2 模型驗(yàn)證

本文分別以截面32種和11種變形模式構(gòu)造薄壁梁的高階模型1和2。高階模型均將薄壁梁沿軸線方向均離散為80個(gè)單元;ANSYS模型采用Shell 181單元,控制單元尺寸為10 mm,將模型離散為7 200個(gè)Shell 181單元,沿梁體軸向100個(gè)單元,截面離散為72個(gè)單元。

相對誤差是以ANSYS模型結(jié)果準(zhǔn)確的前提下得出的。ANSYS模型固有頻率用f表示,兩種高階模型則依次用f1和f2表示,對應(yīng)的誤差用δ1和δ2表示,k表示模態(tài)階數(shù)。

薄壁梁前10階固有頻率的比較如表1所示。

表1 前10階固有頻率的比較

由表1數(shù)據(jù)可得:對比高階模型1和2,隨著考慮變形模式數(shù)量的減少,相對誤差有所增加,高階模型1代表了該種模型的精度上限;對比高階模型2與ANSYS模型,高階模型2在減少截面變形模式個(gè)數(shù)后,與ANSYS模型的誤差在1.94%以內(nèi),模型精度仍能滿足計(jì)算需求,在保證計(jì)算精度的同時(shí)提高了計(jì)算效率,驗(yàn)證了本文識別方法的可靠性。

高階模型2的前8階特征向量的平面外變形模式幅值沿軸向變化如圖6所示。

圖6 平面外變形模式幅值沿梁體軸向變化

圖(6)中:主要變形模式(a～h)的幅值是次要變形模式(i～k)的數(shù)十倍,幅值大小體現(xiàn)了它們對于截面變形參與程度的不同。

當(dāng)模型的計(jì)算精度要求不高時(shí),可以選用較高優(yōu)先級的主要變形模式,以形成更為簡化的高階模型,能夠有效提高計(jì)算效率。

為了驗(yàn)證所識別出的變形模式的通用性,本文以11種變形模式為基礎(chǔ),對不同長細(xì)比e(僅改變薄壁梁長度)下的矩形薄壁梁進(jìn)行計(jì)算分析,如圖7所示。

圖7中,在長細(xì)比e為4、6和8下,高階模型的計(jì)算結(jié)果與ANSYS模型吻合良好,表明識別出的變形模式適用于不同長細(xì)比的矩形薄壁梁。

薄壁梁前8階振型比較如圖8所示。

圖7 不同長細(xì)比e下固有頻率對比

圖8 ANSYS模型與本文模型前8階振型的比較

圖8中,每一階振型中左側(cè)是在ANSYS shell 181單元下的結(jié)果,右側(cè)是基于11種變形模式的高階模型的振型,右側(cè)網(wǎng)格在橫截面上定義為80個(gè)點(diǎn),軸向定義為40個(gè)點(diǎn),采用80×40的矩形來描述薄壁結(jié)構(gòu)振型。

兩種振型非常接近,識別出的截面變形模式在振型中都有所體現(xiàn),這加強(qiáng)了變形模式和振型之間的聯(lián)系,表明識別出的變形模式和高階梁模型能夠準(zhǔn)確再現(xiàn)薄壁結(jié)構(gòu)的三維振型。

4 結(jié)束語

針對薄壁結(jié)構(gòu)一維高階模型求解復(fù)雜、效率低等問題,筆者以32種截面變形模式為基礎(chǔ)構(gòu)建了基函數(shù),結(jié)合哈密頓原理構(gòu)造了薄壁梁的一維高階模型,對薄壁梁的截面形變進(jìn)行了特征識別,并以識別產(chǎn)生的變形模式重構(gòu)了高階模型,分別通過MATLAB和ANSYS進(jìn)行了數(shù)值仿真分析。

研究結(jié)論如下:

(1)提出了一種薄壁結(jié)構(gòu)截面特征形變識別方法,基于主成分分析對薄壁梁高階模型的前12階特征向量分解處理,共識別出11種變形模式;識別出的變形模式具有實(shí)際的物理意義及層次性,高階模型導(dǎo)出的三維振型與ANSYS模型吻合良好,識別出的截面變形模式在振型中都有所體現(xiàn);

(2)以11種變形模式重構(gòu)了高階模型,將模型的前10階固有頻率與識別前模型及ANSYS模型結(jié)果進(jìn)行了比較,誤差在1.94%以內(nèi),在保證精度的同時(shí)提高了模型的計(jì)算效率;

(3)本文所識別出的變形模式具有通用性,適用于不同長細(xì)比下的矩形薄壁梁結(jié)構(gòu)。

該研究結(jié)果可為提高薄壁結(jié)構(gòu)一維高階模型的計(jì)算效率提供一定的理論依據(jù)。