空時(shí)分?jǐn)?shù)階Phi-4方程的新精確解

黃 春

(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教師教育系，四川 遂寧 629000)

近年來，分?jǐn)?shù)階偏微分方程在量子力學(xué)、通信、控制理論、流體力學(xué)、等離子體物理等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，尋找分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解一直以來是數(shù)學(xué)工作者的重要研究課題.構(gòu)建分?jǐn)?shù)階偏微分方程精確解的方法主要包括：exp-函數(shù)法[1-3]、(G’/G)-展開法[4-6]、F-展開法[7-8]、首次積分法[9-12]等。

考慮如下空時(shí)分?jǐn)?shù)階Phi-4方程[13-16]：

(1)

(2)

它具有如下性質(zhì)：

(3)

(4)

(5)

(6)

空時(shí)分?jǐn)?shù)階Phi-4方程是一類重要的數(shù)學(xué)模型，在粒子物理和核物理中占有重要的地位.本文擬用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與首次積分法相結(jié)合，得到空時(shí)分?jǐn)?shù)階Phi-4方程的新精確解.

1 方法簡(jiǎn)述

定理1.1(除法定理)[19]假設(shè)P(w，z)，Q(w，z)是復(fù)數(shù)域C(w，z)上的多項(xiàng)式，并且P(w，z)在C(w，z)上是不可約的.如果Q(w，z)包含P(w，z)的全部零點(diǎn)，那么在復(fù)數(shù)域C(w，z)上存在一個(gè)多項(xiàng)式G(w，z)使得

Q(w，z)=P(w，z)G(w，z)

(7)

下面是首次積分法求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的主要步驟.考慮如下分?jǐn)?shù)階偏微分方程：

(8)

步驟1 作復(fù)變換

(9)

這里k，c為常數(shù).

將(9)式代入方程(8)中，方程(8)轉(zhuǎn)化為只含變量ξ的常微分方程：

(10)

步驟2引入兩個(gè)新的獨(dú)立變量X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)，則方程(10)等價(jià)于一階常微分方程組

(11)

步驟3設(shè)(11)式的首次積分形式為：

(12)

這里ai(X)(i=0，1，2，…，m)是實(shí)數(shù)域上的待定多項(xiàng)式.根據(jù)除法定理，存在實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式g(X)，h(X)，使得

(13)

由(13)式可以確定多項(xiàng)式g(X)，h(X)，進(jìn)而求出Q(X，Y)

步驟4將X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)代入(12)式，解之即得到方程(8)的精確解.

2 運(yùn)用與結(jié)果

對(duì)方程(1)作復(fù)變換，方程(1)轉(zhuǎn)化為整數(shù)階常微分方程：

(14)

令X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)則方程(14)等價(jià)于

(15)

由首次積分法，假定X(ξ)和Y(ξ)是方程(16)的非平凡解，則方程組(15)的首次積分形式為

(16)

其中ai(X)(i=0，1，2，…，m)關(guān)于X(ξ)的多項(xiàng)式且am(x)≠0.根據(jù)除法定理，存在復(fù)數(shù)域上的多項(xiàng)式g(x)+h(x)Y(ξ)，使得

(17)

僅考慮(17)式中的兩種情況，即假定m=1和m=2.

情形1 當(dāng)m=1時(shí)，則有

Q[X，Y]=a0(X)+a1(X)Y(ξ)

(18)

將(18)式代入(17)式后比較等式兩邊Yi(i=0，1)的系數(shù)可得

(19)

(20)

(21)

因ai(X)(i=0，1)是關(guān)于X(ξ)的多項(xiàng)式，由(21)式可知ai(X)必是一個(gè)常數(shù)且h(X)=0.為運(yùn)算簡(jiǎn)便，不妨取a1(X)=1.通過平衡(19)式中過g(X)和a0(X)的次數(shù)，可得deg[g(X)]=1，deg[a0(X)]=2.假設(shè)g(X)=A1X+B0，且A1≠0，則有

(22)

其中A0為積分常數(shù).

將a0(X)，a1(X)，g(X)代入(19)式并比較Xi(ξ)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)可以得到

(23)

從而(15)式有下面的首次積分：

(24)

將X(ξ)=u(ξ)，Y(ξ)=u′(ξ)代入(24)式有

(25)

方程(25)是著名的Riccati方程，即V′(ξ)=α0+α1V(ξ)+α2V2(ξ)，其中α0，α1，α2是常數(shù)，α2≠0，Riccati方程有以下解：

(26)

(27)

(28)

其中ξ0是任意常數(shù)，ε=±1.由(26)-(28)式可得：

大連港、天津港：目前美國(guó)航線規(guī)模較小，初步測(cè)算，吞吐量直接受沖擊的程度低于其他干線港。但由于近年來兩港美線發(fā)展緩慢的原因，除腹地經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和產(chǎn)品結(jié)構(gòu)影響外，更是受到釜山港美國(guó)航線的強(qiáng)力壓制。隨著美國(guó)航線運(yùn)量受沖擊，釜山港對(duì)環(huán)渤海等港口的競(jìng)爭(zhēng)壓力有可能進(jìn)一步加劇。

(ⅰ)當(dāng)k2-c2<0，n<0時(shí)，方程(1)有如下形式的精確解：

(29)

(30)

(31)

(ⅱ)當(dāng)k2-c2>0，n>0時(shí)，方程(1)有如下形式的精確解：

(32)

(33)

(34)

情形2 當(dāng)m=2時(shí)，即

(35)

將(35)式代入(18)式比較等式兩邊Yi(i=0，1，2)的系數(shù)可得

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

將上式積分一次可得

(41)

這里的d為積分常數(shù).

將a0(X)，a1(X)和g(X)及代入(39)式并比較Xi(ξ)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)得到

(42)

因此可得

(43)

(44)

將(43)和(44)式代入(35)式化簡(jiǎn)可得

(45)

聯(lián)立(25)和(45)式，運(yùn)算可知m=1與m=2的情況相同.為了更直觀的理解這些解，借助Maple軟件得到解的數(shù)值模擬圖像如圖1-4所示.

圖1 當(dāng)m=1，n=-2，k=1，c=2，ε=1，ξ0=1，時(shí)，u1(ξ)的三維圖 圖2 當(dāng)m=1，n=-2，k=1，c=2，ε=1，ξ0=-1，時(shí)，u3(ξ)的三維圖

圖3 當(dāng)m=1，n=2，k=2，c=1，ξ0=1，時(shí)，u7(ξ)的三維圖 圖4 當(dāng)m=1，n=2，k=2，c=1，ξ0=1，時(shí)，u9(ξ)的三維圖

3 結(jié)論

本文借助Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，基于首次積分法構(gòu)建空時(shí)分?jǐn)?shù)階Phi-4方程的新精確解，其中u1，2(ξ)為扭狀孤立波解，u3，4(ξ)為奇異孤立波解，u7，8(ξ)、u9，10(ξ)為周期波解，u5，6(ξ)、u11，12(ξ)為有理函數(shù)解，豐富了其精確解解系.這也說明首次積分法是求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的一種有效的工具且簡(jiǎn)單易行。