基于UDKF的非共面陀螺在軌自主標(biāo)定方法

張曉文，李驥

1. 北京控制工程研究所，北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

陀螺是航天器重要的姿態(tài)測(cè)量敏感器，存在安裝誤差、常值漂移和刻度因子誤差等影響角速度測(cè)量精度的參數(shù)。這些陀螺參數(shù)雖然可以在地面精度標(biāo)定，但是在航天器入軌之后還會(huì)發(fā)生變化。因此對(duì)于定姿精度要求高的任務(wù)，或是需要陀螺獨(dú)立外推一段時(shí)間姿態(tài)的任務(wù)，有必要對(duì)陀螺參數(shù)進(jìn)行在軌標(biāo)定。常規(guī)航天器使用基于星敏和陀螺測(cè)量的6階濾波器同時(shí)估計(jì)本體姿態(tài)和陀螺常值漂移，忽略陀螺安裝誤差和刻度因子誤差。

在NASA的卡西尼探測(cè)器上，設(shè)計(jì)有15階卡爾曼濾波，對(duì)3部正交安裝陀螺的常值漂移、安裝誤差和刻度因子共12個(gè)參數(shù)進(jìn)行在軌標(biāo)定[1-3]。每次標(biāo)定分別繞本體系三軸旋轉(zhuǎn)±180°，共持續(xù)4-5小時(shí)。從2002年到2016年，每年至少進(jìn)行一次標(biāo)定，其結(jié)果顯示，安裝誤差和刻度因子在被標(biāo)定更新之后保持了良好的穩(wěn)定性。在2013年，嫦娥三號(hào)著陸器成功飛行應(yīng)用了一種以星敏測(cè)量的姿態(tài)四元數(shù)和陀螺測(cè)量的角度增量作為輸入，結(jié)合姿態(tài)機(jī)動(dòng)，利用UD分解卡爾曼濾波(UDKF)在軌標(biāo)定陀螺組件的常值漂移、安裝誤差和刻度因子誤差的方法[4]。以上兩例標(biāo)定方法的不足之處是要求陀螺組件標(biāo)稱為正交安裝，因此限制了其使用范圍。出于冗余備份考慮，很多陀螺組件采用3部正交安裝陀螺加1部?jī)A斜安裝陀螺的構(gòu)型。在2014年，月地高速再入返回器成功飛行應(yīng)用了一種基于最小二乘的可對(duì)非正交安裝陀螺參數(shù)在軌標(biāo)定的方法，通過一段時(shí)間的統(tǒng)計(jì)得到陀螺等效漂移的均值，實(shí)現(xiàn)計(jì)算的輕量化[5]。該方法的使用前提條件是星體角速度控制穩(wěn)定度較高，因此適于用動(dòng)量輪或控制力矩陀螺控制姿態(tài)的航天器，而不適于用噴氣控制姿態(tài)的航天器。2016-2017年，在NASA的GOES-16衛(wèi)星上測(cè)試驗(yàn)證了一種通過類似正弦抖動(dòng)激勵(lì)和傅里葉分析在軌標(biāo)定陀螺刻度因子的方法[6]。該方法優(yōu)點(diǎn)是不需要航天器做大角度機(jī)動(dòng)，因此標(biāo)定期間星上載荷可以正常工作，缺點(diǎn)是未標(biāo)定陀螺安裝。Zhang[7]研究了非正交安裝陀螺常值漂移和刻度因子的在軌標(biāo)定方法，但是未考慮陀螺安裝誤差。

有些航天器配置有由陀螺和加速度計(jì)組成的慣性測(cè)量單元。彭惠[8]、王易南[9]、Lu[10]等以星敏和衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)作為測(cè)量信息來源，將慣性測(cè)量單元中陀螺和加速度計(jì)的安裝誤差和刻度因子等參數(shù)共同作為狀態(tài)變量在一個(gè)濾波器中進(jìn)行估計(jì)。

現(xiàn)有研究表明，為了保證陀螺在軌標(biāo)定算法系統(tǒng)可觀，需要航天器進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)。給定姿態(tài)機(jī)動(dòng)序列或軌跡，利用奇異值分解[11]、李導(dǎo)數(shù)[12]或是分段線性定常系統(tǒng)可觀性理論[13][14]等方法可以分析系統(tǒng)可觀性，但是分析計(jì)算過程不夠簡(jiǎn)潔。

為解決非正交安裝陀螺組件在軌標(biāo)定問題，對(duì)現(xiàn)有的正交安裝陀螺組件在軌標(biāo)定方法[4]進(jìn)行改進(jìn)和完善，提出一種基于UDKF的非共面安裝陀螺組件在軌自主標(biāo)定方法。首先，建立非共面陀螺定姿誤差模型，并以此建立狀態(tài)方程；然后，通過正交變換建立測(cè)量噪聲解耦的測(cè)量方程；接著，給出從狀態(tài)變量求解安裝誤差和刻度因子誤差的精確公式；然后，通過公式推導(dǎo)證明原方法[4]是本方法在陀螺組件為正交安裝條件下的特例；之后，基于可觀性分析給出簡(jiǎn)潔的系統(tǒng)可觀的角速度組合條件；最后通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證本方法的有效性。

1 陀螺參數(shù)標(biāo)定算法

1.1 非共面陀螺定姿誤差模型

圖1 陀螺安裝誤差示意Fig.1 Gyro misalignment diagram

(1)

(2)

(3)

記3個(gè)陀螺的刻度因子誤差為ΔKGi，常值漂移為bG，測(cè)量噪聲為nG，則陀螺組件測(cè)量的本體角速度的誤差為：

(4)

式中：ω為真實(shí)的本體角速度矢量。

定義如下輔助變量：

(5)

則式(4)變?yōu)椋?/p>

(6)

由式(5)得：

可知，輔助變量ΔG中各元素是陀螺刻度因子誤差和安裝誤差的非線性組合。

在小角度假設(shè)下，陀螺定姿誤差θ的傳播方程為[15]：

(8)

(9)

1.2 濾波器設(shè)計(jì)

為了提高標(biāo)定算法的精度，濾波器實(shí)際估計(jì)的是陀螺常值漂移經(jīng)過常規(guī)方法估計(jì)后的殘差。這里為了簡(jiǎn)化表達(dá)仍然采用bG來表示。陀螺常值漂移不穩(wěn)定性建模為：

(10)

式中：ηG為隨機(jī)白噪聲。

(11)

將星敏測(cè)量的本體姿態(tài)與陀螺外推的姿態(tài)相比較，可得到陀螺定姿誤差的測(cè)量值，其與真值滿足如下關(guān)系：

(12)

(13)

為保證標(biāo)定算法的穩(wěn)定性，濾波器具體實(shí)現(xiàn)采用UDKF[16]。UDKF為了序貫處理測(cè)量更新，要求測(cè)量噪聲方差陣為對(duì)角陣。為此，將式(13)兩邊左乘正交陣Csb，得到測(cè)量噪聲方差陣為對(duì)角陣的新的測(cè)量方程：

(14)

由狀態(tài)變量定義知，濾波器是直接估計(jì)陀螺常值漂移，間接估計(jì)陀螺刻度因子誤差和安裝誤差。這里采用間接估計(jì)的好處是狀態(tài)方程為線性。

1.3 UDKF算法

式中:

j=n,n-1,…,2

i=1,2,…,j-1

初始化:

α1=r+v1f1

對(duì)于j=2,3,…,n,

αj=αj-1+vjfj

最后濾波增益為:

得到濾波增益K后，采用與常規(guī)卡爾曼濾波相同公式求取狀態(tài)變量估計(jì)。

1.4 安裝誤差和刻度因子誤差求解

由于濾波器給出的是陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的間接估計(jì)，即輔助變量ΔG的估計(jì)，因此還需要進(jìn)一步求解。式(5)包含9個(gè)方程，而待求解的陀螺參數(shù)共有12個(gè)，因此不能得出唯一解。如果要得出唯一解，需要增加約束條件。由式(5)得

(15)

ΔKGi=‖ei‖-1

(16)

(17)

則陀螺安裝誤差矢量為：

(18)

1.5 正交安裝特例

在工程應(yīng)用中，地面精確標(biāo)定后的陀螺安裝誤差角一般不會(huì)超過0.1°。以陀螺1為例，當(dāng)其安裝誤差角β1取0.1°時(shí)，安裝誤差分量ΔG11約等于1.523×10-6。可見，ΔG11的數(shù)值非常小，因此可以忽略。同理ΔG22和ΔG33也可以忽略。此外，再忽略ΔKG1ΔG12等二階小量，則由式(7)可得陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的近似計(jì)算公式：

(19)

(20)

至此，濾波器的狀態(tài)變量、狀態(tài)方程和測(cè)量方程與原標(biāo)定方法[4]相同，因此證明原標(biāo)定方法是本方法在陀螺組件為正交安裝條件下的特例，因此完全可由本方法代替。

2 系統(tǒng)可觀性分析

當(dāng)星體角速度ω為常值時(shí)，陀螺測(cè)量角速度誤差中與安裝誤差和刻度因子誤差相關(guān)的項(xiàng)也為常值。它們可以認(rèn)為是等效的常值漂移，并且可由常規(guī)星敏定姿算法估計(jì)。以陀螺i為例，若令：

(21)

Axi=bi

(22)

式中：

式(22)有唯一解的條件是：

(23)

顯然式(23)的成立要求n>3。當(dāng)n=4時(shí)，推導(dǎo)可知式(22)有唯一解的角速度組合條件是：

(24)

滿足該條件意味著系統(tǒng)輸出能夠完全反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)，因此式(24)是系統(tǒng)可觀的角速度組合條件。不難驗(yàn)證當(dāng)ω1、ω2和ω3非共面，且ω4為零或-ωi(i=1,2,3)時(shí)，式(24)成立。由此可見，航天器繞三個(gè)慣量主軸旋轉(zhuǎn)，再加上一個(gè)靜止?fàn)顟B(tài)或是繞一個(gè)慣量主軸反向旋轉(zhuǎn)，就可以保證全部狀態(tài)可觀。對(duì)于噴氣控制的航天器，繞慣量主軸旋轉(zhuǎn)可以提高姿態(tài)機(jī)動(dòng)的穩(wěn)定性。

3 數(shù)學(xué)仿真結(jié)果

表1 仿真工況列表

工況1的仿真的結(jié)果見圖2～圖4。陀螺安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線見圖2，在前3個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段時(shí)標(biāo)定誤差較大，在進(jìn)入第4個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段時(shí)誤差迅速減小并收斂。陀螺常值漂移標(biāo)定結(jié)果曲線見圖3，在仿真前20 s標(biāo)定誤差變化幅度較大，然后迅速向零附近收斂。陀螺刻度因子標(biāo)定結(jié)果曲線見圖4，其變化特點(diǎn)類似安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線。陀螺安裝誤差和刻度因子的標(biāo)定誤差，在前3個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段，并不一定隨著姿態(tài)機(jī)動(dòng)段數(shù)的增加而減小，但是在進(jìn)入第4個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段后都會(huì)迅速向零收斂，這與可觀性分析結(jié)果一致。

圖2 工況1的陀螺安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.2 Calibration error curves of gyro misalignment in case 1

圖3 工況1的陀螺常值漂移標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.3 Calibration error curves of gyro constant bias in case 1

圖4 工況1的陀螺刻度因子誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.4 Calibration error curves of gyro scale factor in case 1

工況2的仿真結(jié)果見圖5～圖7。從圖5和圖7可知陀螺安裝誤差和刻度因子的標(biāo)定誤差，在進(jìn)入第4個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段后迅速向零收斂。從圖6可知陀螺常值漂移的標(biāo)定誤差，在進(jìn)入第2個(gè)姿態(tài)機(jī)動(dòng)段后迅速向零收斂，這比工況1要晚。工況2中所有標(biāo)定誤差都能收斂再次驗(yàn)證了可觀性分析結(jié)果。

圖5 工況2的陀螺安裝誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.5 Calibration error curves of gyro misalignment in case 2

圖6 工況2的陀螺常值漂移標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.6 Calibration error curves of gyro constant bias in case 2

圖7 工況2的陀螺刻度因子誤差標(biāo)定結(jié)果曲線Fig.7 Calibration error curves of gyro scale factor in case 2

工況3的陀螺參數(shù)最大標(biāo)定誤差見表2。陀螺安裝誤差最大標(biāo)定誤差為0.002 14°，是初始誤差的2.14%。陀螺常值漂移最大標(biāo)定誤差為0.00966°/h，是初始誤差的9.66%。陀螺刻度因子誤差最大標(biāo)定誤差為0.00462%，是初始誤差的4.62%。以上數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明本方法有效。

表2 工況3的陀螺參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

工況4的陀螺參數(shù)最大標(biāo)定誤差見表3。陀螺安裝誤差最大標(biāo)定誤差為0.001 64°，是初始誤差的1.64%。陀螺常值漂移最大標(biāo)定誤差為0.00736°/h，是初始誤差的7.36%。陀螺刻度因子誤差最大標(biāo)定誤差為0.00292%，是初始誤差的2.92%。表3結(jié)果優(yōu)于表2結(jié)果，說明姿態(tài)機(jī)動(dòng)方式2的標(biāo)定精度高于姿態(tài)機(jī)動(dòng)方式1。

表3 工況4的陀螺參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

工況5的陀螺參數(shù)最大標(biāo)定誤差見表4。

表4 工況5的陀螺參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的最大標(biāo)定誤差相對(duì)表2增大一個(gè)量級(jí)，但是與表2工況的初始誤差相比，減小了一個(gè)量級(jí)。陀螺常值漂移最大標(biāo)定誤差與表2相當(dāng)。該結(jié)果說明陀螺初始安裝誤差增大，則陀螺安裝誤差和刻度因子誤差的標(biāo)定誤差會(huì)增大，而陀螺常值漂移標(biāo)定誤差無顯著變化。此外，如果再進(jìn)行一輪迭代標(biāo)定，可將標(biāo)定精度提高到優(yōu)于表2結(jié)果的水平。

4 結(jié)束語

對(duì)現(xiàn)有的正交安裝陀螺組件在軌標(biāo)定方法進(jìn)行改進(jìn)，提出應(yīng)用范圍更為廣泛的非共面安裝陀螺組件的安裝誤差、常值漂移和刻度因子誤差在軌自主標(biāo)定方法。該方法不要求陀螺為正交安裝，不要求標(biāo)定姿態(tài)機(jī)動(dòng)高穩(wěn)定度。公式推導(dǎo)證明，原方法是本方法在陀螺組件為正交安裝條件下的特例，因此完全可由本方法代替。給出的系統(tǒng)可觀的角速度組合條件可指導(dǎo)姿態(tài)機(jī)動(dòng)序列的設(shè)計(jì)工作。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明本方法有效，陀螺安裝誤差、常值漂移和刻度因子誤差標(biāo)定精度分別優(yōu)于0.01°、0.01(°)/h和0.01%。本方法對(duì)于有慣性導(dǎo)航需求的航天器設(shè)計(jì)具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。