柴潔 過(guò)榴曉 陳晶 陳良康
(江南大學(xué)理學(xué)院,無(wú)錫 214122)
近年來(lái),隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展和在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用,多智能體系統(tǒng)研究吸引了越來(lái)越多各領(lǐng)域?qū)W者們的興趣.而一致性作為多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制中最基本的問(wèn)題之一,受到許多熱切的關(guān)注.
目前,大多數(shù)文獻(xiàn)是研究多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的完全一致性[1.2],即多個(gè)智能體組成的系統(tǒng)在控制協(xié)議的作用下,它的狀態(tài)變量(如位移、速度等)逐漸趨同.一些學(xué)者從另外的角度出發(fā),考慮智能體之間存在性能和合作任務(wù)上的差異,研究了多智能體系統(tǒng)的非精確一致性問(wèn)題及其變種,比如文獻(xiàn)[3-5]研究了群一致性問(wèn)題,即智能體被分為多個(gè)群體,同一群體內(nèi)的信息收斂到一致,不同群體間的一致狀態(tài)可以不同.文獻(xiàn)[6]提出一階非線性領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)的部分分量一致性的概念,文獻(xiàn)[7]進(jìn)一步討論了二階多智能體系統(tǒng)的部分狀態(tài)量一致性問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]考慮了蜂擁控制的特殊群集問(wèn)題,相對(duì)群一致性還要考慮蜂擁系統(tǒng)中的分離和聚合兩個(gè)原則.而在一些特殊的任務(wù)和環(huán)境中,個(gè)體之間還需要達(dá)到和保持預(yù)先給定的隊(duì)形,同時(shí)又要適應(yīng)環(huán)境約束,這是多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制中的編隊(duì)控制問(wèn)題[9],它與一致性有著密切的關(guān)系.
典型的多智能體系統(tǒng)非精確一致性為廣義一致性.文獻(xiàn)[10-13]研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的廣義同步現(xiàn)象,即耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)之間存在某種已知或未知的函數(shù)關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[14]提出了線性和非線性的一階多智能體系統(tǒng)廣義一致性的定義.由上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文擬將一階多智能體系統(tǒng)的廣義一致性概念推廣到二階多智能體系統(tǒng),理論推導(dǎo)二階多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)線性廣義一致的充分必要條件,進(jìn)一步,參考文獻(xiàn)[15-20]中對(duì)通信協(xié)議的信號(hào)延時(shí)的存在對(duì)系統(tǒng)多智能體實(shí)現(xiàn)一致性控制的影響和條件的分析,給出了二階多智能體系統(tǒng)最大容許時(shí)滯與固定拓?fù)鋱D的Laplacian矩陣特征值之間的關(guān)系.
事實(shí)上,廣義一致性是一個(gè)更自然的概念,也是作為多智能體系統(tǒng)輸出一致性的一種特例.廣義一致性能夠更自然地描述由多個(gè)相互作用分量組成的生物和物理系統(tǒng)中的一些相干現(xiàn)象,具有一定的理論意義和實(shí)踐價(jià)值.本文考慮二階多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義一致性問(wèn)題,理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)討論非延遲和延遲通信控制協(xié)議下的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性的充分必要條件,通過(guò)多個(gè)仿真實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)果的正確性.
設(shè)有N個(gè)一階智能體系統(tǒng),每個(gè)智能體的動(dòng)態(tài)方程為:
如果對(duì)于所有的i=1,2,…,N,hi(x)=x/ki,ki≠0,則稱系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性,如果至少存在一個(gè)hi(x)為非線性的,就稱系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)了非線性廣義一致性.
進(jìn)一步,本文討論N個(gè)智能體的二階多智能體系統(tǒng),各智能體的動(dòng)態(tài)方程為:
現(xiàn)在把文獻(xiàn)[14]中一階多智能體系統(tǒng)的廣義一致性定義推廣到了二階情形.
定義1 對(duì)于任意初始條件xi(0)∈R,vi(0)∈R,i,j=1,2,…,N,如果滿足
則稱二階多智能體系統(tǒng)(2)實(shí)現(xiàn)廣義一致性.
簡(jiǎn)單起見,本文只研究線性的廣義一致性問(wèn)題.
定義2 對(duì)于任意初始條件xi(0)∈R,vi(0)∈R,i,j=1,2...N,如果滿足
則二階多智能體系統(tǒng)(2)關(guān)于參數(shù)ki,i=1,2,…,N實(shí)現(xiàn)線性的廣義一致性.
注1 當(dāng)參數(shù)ki,i=1,2,…,N為若干組不同但組內(nèi)相同的參數(shù),則二階系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)分組一致狀態(tài).更特殊的,當(dāng)參數(shù)ki,i=1,2,…,N有兩組,分別為1和-1,即二階系統(tǒng)達(dá)到競(jìng)爭(zhēng)與合作[15]的反分組狀態(tài).所以,本文提出的二階多智能體系統(tǒng)線性廣義一致概念可視為更一般的情形.
設(shè)計(jì)控制協(xié)議如下:
其中,ki,i=1,2,…,N.為N個(gè)非零常數(shù).α,β表示耦合參數(shù).由式(2),式(3)和拉普拉斯矩陣的定義,系統(tǒng)等價(jià)表示為:
本節(jié)將研究系統(tǒng)(5)關(guān)于參數(shù)ki的線性廣義一致性的實(shí)現(xiàn)與耦合參數(shù)α,β及拉普拉斯矩陣L的特征值之間的關(guān)系.令uij(i=1,2,…,N;j=1,2),分別表示矩陣和拉普拉斯矩陣L的特征值.
引理1[21]拉普拉斯矩陣L有一個(gè)0的特征值,并且其它特征值均有正實(shí)部,當(dāng)且僅當(dāng)有向圖G包含一個(gè)有向生成樹.
引理2[22]二階多智能體(5)能夠?qū)崿F(xiàn)線性廣義一致性,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣含有一個(gè)特征值0(二重),并且其它特征值含有負(fù)實(shí)部.此外,如果二階線性廣義一致性實(shí)現(xiàn),則當(dāng)t→∞時(shí)有:
這里ξ是拉普拉斯矩陣L關(guān)于特征值0的唯一非負(fù)左特征向量,滿足ξT1N=0.
定理1 二階多智能體系統(tǒng)(5)實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性,當(dāng)且僅當(dāng):
1)有向圖G包含一個(gè)有向生成樹;
3)K為可逆矩陣,即ki≠ 0,i=1,2,…,N.(6)證明 作矩陣的特征多項(xiàng)式:
這里λi(i=1,2,…,N)表示拉普拉斯矩陣L的特征值.
由此可知:矩陣L有一個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)為m的0特征值,當(dāng)且僅當(dāng)矩陣有一個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)為2m的0特征值.由引理1和引理2,只需要證明:Re(λi)>0,(i=2,3,…,N),且條件2)成立,當(dāng)且僅當(dāng)Re(uij)<0,(i=2,3,…,N;j=1,2).
消除d可得到
證畢.
注2 由定理1知,耦合參數(shù)α,β及拉普拉斯矩陣L的特征值對(duì)系統(tǒng)一致性的實(shí)現(xiàn)起著十分重要的作用,且若hi(x)是線性函數(shù),即hi(x)=x/ki,ki≠0,則理論上系統(tǒng)線性廣義一致性的實(shí)現(xiàn)與ki的取值無(wú)關(guān).
在系統(tǒng)(2)中,假設(shè)設(shè)計(jì)控制協(xié)議中帶有通信延時(shí):
這里,τ>0為時(shí)間延遲常數(shù).令
則系統(tǒng)(2)和(8)的等價(jià)矩陣形式為:
這里,
計(jì)算系統(tǒng)(9)的特征方程為
由系統(tǒng)(9)的特征方程很容易得出:L有一個(gè)代數(shù)重?cái)?shù)為m的0特征值.當(dāng)且僅當(dāng)g(u)=0有一個(gè)2m重零根.給出以下3個(gè)引理:
引理4[23]對(duì)于指數(shù)多項(xiàng)式
引理5[22]假設(shè)有向圖G包含一個(gè)有向生成樹.u是gi(u)=0,2≤i≤N的解,那么當(dāng)τ∈ψ時(shí),du/dτ存在,并且Re(du/dτ)|τ∈ψ>0.
其中,
證明 因?yàn)橛邢驁DG包含一個(gè)有向生成樹,并且滿足定理1中的2)、3)式,故由定理1知,當(dāng)τ=0時(shí),系統(tǒng)(9)能夠?qū)崿F(xiàn)線性廣義一致性.再由引理2知g(u)=0含有一個(gè)零根(二重),并且其它根含有負(fù)實(shí)部.當(dāng)τ從0變化到τ0時(shí),由引理3知一個(gè)純虛根會(huì)出現(xiàn).由引理4和引理5知,當(dāng)0≤τ<τ0時(shí),g(u)=0有一個(gè)零根(二重),且其它根含有負(fù)實(shí)部,系統(tǒng)(9)實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性,而當(dāng)τ>τ0時(shí),至少存在一個(gè)具有正實(shí)部的根,故當(dāng)τ>τ0時(shí)無(wú)法實(shí)現(xiàn)一致性.證畢.
注3 定理2在定理1的基礎(chǔ)上給出了延遲通信的二階多智能體系統(tǒng)滿足線性廣義一致性的充要條件,即延遲參數(shù)τ要小于一個(gè)臨界值,且給出了這個(gè)最小臨界值τ0的具體求法.由于τ0的求解與拉普拉斯矩陣L特征值的實(shí)部與虛部有關(guān),實(shí)際特征值的精度對(duì)τ0的計(jì)算影響很大,所以,實(shí)際操作中,可以適當(dāng)提高計(jì)算精度,減少誤差帶來(lái)的影響.
圖1 有向加權(quán)圖GFig.1 Directed weighted graphG
圖2 當(dāng)α=0.1,β=0.15時(shí)系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.2 Position and velocity state trajectory of the system with α=0.1,β=0.15
圖3 當(dāng)α=0.1,β=0.15時(shí)系統(tǒng)全局誤差演化圖Fig.3 Evolution of the system global error withα=0.1,β=0.15
圖4 當(dāng)α=0.1,β=0.05時(shí)系統(tǒng)全局誤差演化圖Fig.4 The Evolution of the system global error with α=0.1,β=0.05
系統(tǒng)(9)中取參數(shù) N=5,n=1,α=0.1,β=0.5,非零線性廣義參數(shù)和連接拓?fù)鋱D同上.由定理2計(jì)算可得控制協(xié)議中最大時(shí)間延遲τ0=0.822.當(dāng)τ=0.7時(shí),多智能體在各自參數(shù)下的投影狀態(tài)軌跡如圖5所示,系統(tǒng)(9)能夠?qū)崿F(xiàn)關(guān)于參數(shù)的線性廣義一致性.而當(dāng)τ=0.9不滿足定理2的充要條件,此時(shí)由圖6可知系統(tǒng)(9)不能達(dá)到線性廣義一致性.
圖5 當(dāng)α=0.1,β=0.5,τ=0.7時(shí)系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.5 The position and velocity state trajectory of the system withα=0.1,β=0.5,τ=0.7
圖6 當(dāng)α=0.1,β=0.5,τ=0.9時(shí)系統(tǒng)位置和速度狀態(tài)軌跡圖Fig.6 The position and velocity state trajectory of the system with α=0.1,β=0.5,τ=0.9
本文研究了二階多智能體系統(tǒng)關(guān)于多參數(shù)的線性廣義一致性,在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下設(shè)計(jì)了有效的控制協(xié)議,獲得了系統(tǒng)在有時(shí)延和無(wú)時(shí)延兩種情況下實(shí)現(xiàn)線性廣義一致性的充分必要條件,并運(yùn)用代數(shù)圖論和穩(wěn)定性等理論給出了證明.在接下來(lái)的工作中作者將討論二階多智能體系統(tǒng)的非線性廣義一致性以及廣義群一致性等問(wèn)題.