Brauer特征標(biāo)三元組及其誘導(dǎo)子

黃謙，郭鴻

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

在有限群的復(fù)表示論與模表示論中，Clifford理論均屬于核心內(nèi)容，它研究正規(guī)子群與大群的表示論之間的聯(lián)系。設(shè)G為任意有限群，N為G的正規(guī)子群，θ∈Irr(N)為N的一個不可約復(fù)特征標(biāo)，并且θ是G-不變的，則稱(G，N，θ)為一個特征標(biāo)三元組，該定義出現(xiàn)在Isaacs的特征標(biāo)經(jīng)典教材[1]中第186頁。類似地，固定一個特征為素數(shù)p的代數(shù)閉域，通常記IBr(N)為N的關(guān)于素數(shù)p的所有不可約Brauer特征標(biāo)的集合，如果φ∈IBr(N)也是G-不變的，則稱(G，N，φ)為一個模特征標(biāo)三元組，該定義見Navarro模表示教材[2]中定義8.25，在本文中我們稱之為Brauer特征標(biāo)三元組。事實上，關(guān)于特征標(biāo)三元組，無論是復(fù)特征標(biāo)還是Brauer特征標(biāo)，不僅本身獲得了很多深刻的結(jié)果，而且為解決表示論中的重要問題提供了有效的技術(shù)。在特征標(biāo)三元組的研究中，誘導(dǎo)子是一個重要的概念，其意義在于給出了某種規(guī)范的從而是較好控制的特征標(biāo)誘導(dǎo)過程。設(shè)T=(G，N，θ)為一個特征標(biāo)三元組，χ∈Irr(G)，選定M?G且M?N，α是χM的一個不可約分量，設(shè)T=Gα，由Frattini推理可知，有G=NT，又因為N∩T=Nα為α在N中的慣性群，由Clifford對應(yīng)可知，存在唯一的η∈Irr(Nα|α)，使得ηN=θ。

設(shè)T=(G，N，θ)為一個特征標(biāo)三元組，由上知，存在S=(H，M，φ)也是一個特征標(biāo)三元組，滿足條件NH=G，N∩H=M，φN=θ，則稱S為T的一個誘導(dǎo)子。關(guān)于特征標(biāo)三元組誘導(dǎo)子的研究，Dade在[3]中獲得了一系列深刻結(jié)果，但主要定理的證明復(fù)雜且艱深，特別是Dade還探討了任意特征為0的域上的特征標(biāo)三元組。為了簡化Dade關(guān)于特征標(biāo)三元組誘導(dǎo)子的深刻定理，Isaacs在[4]中考慮復(fù)數(shù)域上的特征標(biāo)三元組，引入了擬本原的誘導(dǎo)子等基本概念（見本文第1節(jié)預(yù)備知識），證明了Dade定理（即[3]中定理8.1）的復(fù)特征標(biāo)版本。方便起見，如果T=(G，N，θ)為一個特征標(biāo)三元組或Brauer特征標(biāo)三元組，我們記degT=θ(1)，稱為T的次數(shù)。

以下是Isaacs在文獻[4]中的主要結(jié)果，即該文定理3.1。

定理 1（Isaacs）設(shè)T=(G，N，θ)為特征標(biāo)三元組，Si=(Hi，Mi，φi)為T的擬本原誘導(dǎo)子，其中i=1，2，如果N是冪零群，則 |H1|=|H2|，等價于說degS1=degS2。

作為上述定理的一個應(yīng)用，Isaacs證明了下述重要結(jié)論，即該文的定理B：如果χ∈Irr(G)可從子群H≤G的某個本原特征標(biāo)θ∈Irr(H)誘導(dǎo)，即χ=θG，則θ(1)為誘導(dǎo)χ的一個本原特征標(biāo)次數(shù)。一般而言，不可約復(fù)特征標(biāo)有很多不全相等的本原誘導(dǎo)次數(shù)，研究這些本原誘導(dǎo)次數(shù)何時都相等，是特征標(biāo)誘導(dǎo)理論中的基本問題之一。在[5]中，作者對此問題做了若干探討，該文的參考文獻也包含了特征標(biāo)三元組的誘導(dǎo)子及其應(yīng)用的相關(guān)重要論文。

定理2（Isaacs）設(shè)G為有限群且χ∈Irr(G)，如果χ在G的Fitting子群F(G)上的限制不可約，則誘導(dǎo)χ的所有本原特征標(biāo)均有相同的次數(shù)。

本文將研究上述兩個定理的Brauer版本，即對Brauer特征標(biāo)三元組證明相應(yīng)的結(jié)論。因為Brauer特征標(biāo)通常不滿足復(fù)特征標(biāo)理論中的Frobenius互反率，這給我們在證明中造成很多技術(shù)上的困難。我們將考慮p-可解群，以便使用Fong-Swan關(guān)于Brauer特征標(biāo)的提升定理，但更為精致的也是最新的提升技術(shù)，即Bπ-提升和Dπ-提升，出現(xiàn)在Isaacs創(chuàng)立的π-理論中，見文獻[6]。因此，我們在本文最后一節(jié)將證明上述兩個Isaacs定理的π-理論版本，通過取素數(shù)集合π={p}′為素數(shù)p的余集，即可得到下述關(guān)于Brauer特征標(biāo)的相應(yīng)定理。

定理3設(shè)G為p-可解群，其中p為任意素數(shù)，并且T=(G，N，θ)為一個Brauer特征標(biāo)三元組。如果N是冪零群，則T的任意兩個擬本原誘導(dǎo)子具有相同的次數(shù)。

定理4設(shè)G為p-可解群，其中p為任意素數(shù)，并且φ∈IBr(G)在G的Fitting子群F(G)上的限制不可約，則誘導(dǎo)φ的所有本原Brauer特征標(biāo)均有相同的次數(shù)。

事實上，特征標(biāo)三元組的誘導(dǎo)子之所以重要，一個關(guān)鍵的事實是能提供一個誘導(dǎo)雙射。具體講，如果S=(H，M，φ)是特征標(biāo)三元組T=(G，N，θ)的一個誘導(dǎo)子，則特征標(biāo)的誘導(dǎo)ξ?ξG可定義一個雙射：Irr(H|φ)→ Irr(G|θ)，不妨稱之為誘導(dǎo)子對應(yīng)。這是一個應(yīng)用廣泛的結(jié)論，見文獻[6]，但該結(jié)果一般對Brauer特征標(biāo)不成立。借助于Lewis關(guān)于次正規(guī)誘導(dǎo)源的一個定理，即[7]中的定理A，我們得到了所需的誘導(dǎo)子對應(yīng)的Brauer版本。當(dāng)然，我們在本文實際證明的是更為一般的結(jié)論，即誘導(dǎo)子對應(yīng)的π-版本。

定理5設(shè)G為p-可解群，其中p為任意素數(shù)，T=(G，N，θ)為一個 Brauer特征標(biāo)三元組，并且S=(H，M，φ)為其一個誘導(dǎo)子。如果M??N為N的次正規(guī)子群，則Brauer特征標(biāo)的誘導(dǎo)ξ?ξG給出一個雙射：Irr(H|φ)→ Irr(G|θ)。

因為冪零群的每個子群都是次正規(guī)子群，故定理3中存在上述誘導(dǎo)子對應(yīng)。此外，本文使用的群論和特征標(biāo)理論的術(shù)語和符號，可分別參考Isaacs的群論教材[8]和特征標(biāo)教材[1]，關(guān)于 Brauer特征標(biāo)的基本概念和性質(zhì)，均來自Navarro的專著[2]。

1 預(yù)備知識

我們先給出Isaacs的π-部分特征標(biāo)的概念，細(xì)節(jié)可參考[6]。

設(shè)G為π-可分群，其中π按照慣例表示一些素數(shù)構(gòu)成的集合，記G0為G的所有π-元素構(gòu)成的集合。如果χ為G的復(fù)特征標(biāo)，則記χ0為χ在G0上的限制，稱為χ的π-限制，此時稱χ0為G的一個π-部分特征標(biāo)。進而，如果π-部分特征標(biāo)χ0不能寫成兩個π-部分特征標(biāo)之和，即χ0≠α0+β0，其中α，β為G的復(fù)特征標(biāo)，則稱χ0為G的一個不可約π-部分特征標(biāo)，簡稱為G的Iπ-特征標(biāo)，全體記為Iπ(G)。值得指出的是，當(dāng)π取某個素數(shù)p的余集時，則π-部分特征標(biāo)即通常關(guān)于素數(shù)p的Brauer特征標(biāo)，Iπ-部分特征標(biāo)為不可約 Brauer特征標(biāo)，即Iπ(G)=IBr(G)。由此，可以認(rèn)為π-部分特征標(biāo)統(tǒng)一了通常的復(fù)特征標(biāo)和p-可解群的Brauer特征標(biāo)。

如果N?G，并且θ∈Iπ(N)為G-不變的，則稱T=(G，N，θ)為一個Iπ-特征標(biāo)三元組。我們記degT=θ(1)，稱為T的次數(shù)。再設(shè)S=(H，M，φ)為一個Iπ-特征標(biāo)三元組，如果滿足條件NH=G，N∩H=M且φN=θ，則稱S為T的一個誘導(dǎo)子。進而，如果對每個K?H且K≤M，均有φK是齊次的，則稱S是擬本原的。

為了使用Fong-Swan提升技術(shù)，Isaacs定義了Bπ-特征標(biāo)集合Bπ(G)? Irr(G)作為Iπ(G)的一種典范提升，即π-限制χ?χ0給出了一個雙射：Bπ(G)→Iπ(G)。但Bπ-特征標(biāo)的定義相當(dāng)復(fù)雜，并且不易識別，為此Isaacs引入了關(guān)于G和π的域自同構(gòu)，可給出2∈π時的一個有效判別條件。下面是文獻[6]的定理5.2。

引理 1（Isaacs）設(shè)G為π-可分群，2∈π，并且τ為關(guān)于G和π的域自同構(gòu)。如果χ∈Irr(G)χτ=χ，則χ∈Bπ(G)當(dāng)且僅當(dāng)χ0∈Iπ(G)。

在剩下的情形即2?π時，Bπ-特征標(biāo)的表現(xiàn)和性質(zhì)難以控制，但Isaacs在[9]和[10]中根據(jù)Dade的想法引入了Dπ-特征標(biāo)的概念，也唯一定義了一個子集Dπ(G)? Irr(G)，作為Iπ-特征標(biāo)的一種典范提升，并且特征標(biāo)的π-限制χ?χ0同樣定義了一個雙射Dπ(G)→Iπ(G)。因為Dπ-特征標(biāo)的定義涉及所謂的π-標(biāo)準(zhǔn)符號特征標(biāo)δ(G，H)，對任意子群H≤G，還有特征標(biāo)的π-誘導(dǎo)θπG=(δ(G，H)θ)G，對任意θ∈Irr(H)，我們難以在此精準(zhǔn)給出復(fù)雜的概念和性質(zhì)，可參考最新文獻[6]或上述兩篇相關(guān)文獻。

我們將用到下述Dπ-特征標(biāo)的判別條件，即著名的Dade定理，見文獻[10]的定理E。

引理2（Isaacs）設(shè)G為π-可分群且2?π，如果H≤G，θ∈Irr(H)和χ∈Irr(G)，滿足θπG=χ，則θ∈Dπ(H)當(dāng)且僅當(dāng)χ∈Dπ(G)。

在證明定理5時，我們要用到誘導(dǎo)源的概念。設(shè)G為任意有限群，稱(H，θ)為G的一個特征標(biāo)對，如果H為G的子群且θ∈Irr(H)。因為G按共軛可作用在其所有特征標(biāo)對構(gòu)成的集合上，即對任取g∈G，定義 (H，θ)g=(Hg，θg)，其中θg(hg)=θ(h)，任意h∈H，我們記(H，θ)或θ在G中的穩(wěn)定子群為顯然Gθ≤NG(H)，并且Gθ即為θ在NG(H)中通常的慣性群。作為正規(guī)子群上特征標(biāo)Clifford對應(yīng)的推廣，如果特征標(biāo)的誘導(dǎo)ξ?ξG可定義從 Irr(Gθ|θ)到 Irr(G|θ)的一個雙射，則稱(H，θ)為G的一個誘導(dǎo)源。相關(guān)定義和性質(zhì)可見文獻[7]。

2 主要結(jié)果

為了證明本文的主要結(jié)果，我們需要引入一個技術(shù)性概念。

定義1設(shè)G為π-可分群，并且η∈Iπ(G)。當(dāng)2∈π時，記為η的Bπ-提升；而當(dāng) 2?π時，記為η的Dπ-提升，則稱為η在G中的標(biāo)準(zhǔn)提升。

下述為本文定理3的π-版本。

定理6設(shè)G為π-可分群，T=(G，N，θ)為一個Iπ-特征標(biāo)三元組。如果N是冪零群，則T的所有擬本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)。

證明 設(shè)∈Irr(N)為θ的標(biāo)準(zhǔn)提升，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)提升的典范唯一性，可知也是G-不變的，從而=(G，N，)為一個復(fù)特征標(biāo)三元組。再設(shè)S=(H，M，φ)為T的任意一個誘導(dǎo)子，按定義，則NH=G，N∩H=M，并且φN=θ。設(shè)∈Irr(M)為φ∈Iπ(M)的標(biāo)準(zhǔn)提升，同理可知也是H-不變的，從而(H，M，)為特征標(biāo)三元組。下面我們區(qū)分兩種情形討論。

（1）假設(shè)2∈π。此時按定義均為Bπ-特征標(biāo)，設(shè)τ為關(guān)于G和π的域自同構(gòu)，則，從而，根據(jù)引理 1 可知也是θ的Bπ-提升，故，表明是的誘導(dǎo)子。

驗證也是擬本原的。任取K?H且K≤M，從S的擬本原性可知φK是齊次的。因為是Bπ-特征標(biāo)，熟知的每個分量都是Bπ-特征標(biāo)，并且不同的Bπ-分量在K0上的限制也是兩兩不同的Iπ-特征標(biāo)，據(jù)此可知也只能是齊次的，即證的擬本原性。

（1）采用組合投資方法。也被稱作是多樣化投資，分為兩種不同的情況。第一種就是將資金有選擇性地放到多個項目上，降低未來風(fēng)險。比如安居工程就是當(dāng)前十分熱門的項目類型，就可以將資金放在這類項目上。另一種方式是按照所投資項目資金的情況，將資金按照不同的比例投放在房地產(chǎn)、股票債券、銀行存款安全性高、房地產(chǎn)投資可以獲得良好的收益。想要確保投資具備流動性、收益性以及安全性等，必須要開展相關(guān)的投資組合，對資金的流量以及流向等進行合理安排。

根據(jù)Isaacs定理1，可知的所有擬本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)，即degS=deg是不變量，與S的不同選取無關(guān)，故所證結(jié)論在2∈π的情形成立。

（2）假設(shè)2?π。此時和按定義均為Dπ-特征標(biāo)，注意到(δ(N，M))0=1M0，故根據(jù)引理 2可知也是θ的Dπ-提升，故=，表明=(H，M，δ(N，M))為的誘導(dǎo)子。

驗證也是擬本原的。任取K?H且K≤M，從S的擬本原性可知φK是齊次的。因為是Dπ-特征標(biāo)，熟知的每個分量都是Dπ-特征標(biāo)，并且不同的Dπ-分量在K0上的限制也是兩兩不同的Iπ-特征標(biāo)，據(jù)此可知也只能是齊次的。但K?M，熟知K必然包含在π-標(biāo)準(zhǔn)符號特征標(biāo)δ(N，M)的核里，所以(δ(N，M))K=也是齊次的，表明是擬本原的。

根據(jù)Isaacs定理1，可知的所有擬本原誘導(dǎo)子均有相同的次數(shù)，即degS=φ(1)=deg是不變量，與S的不同選取無關(guān)，故所證結(jié)論在2?π的情形也成立。作為應(yīng)用，我們可得到Isaacs定理4的π-版本。

定理7設(shè)G為π-可分群，如果η∈Iπ(G)在G的Fitting子群F（G）上的限制不可約，則誘導(dǎo)η的所有本原的Iπ-特征標(biāo)均有相同的次數(shù)。

證明令N=F（G），θ=ηN，則θ是G-不變的Iπ-特征標(biāo)，故T=(G，N，θ)為一個Iπ-特征標(biāo)三元組。設(shè)ξG=η，其中H≤G且ξ∈Iπ(H)為本原的Iπ-特征標(biāo)。我們要證明的是誘導(dǎo)η的本原Iπ-特征標(biāo)ξ的次數(shù)ξ(1)與H和ξ的不同選取無關(guān)。再令M=N∩H和φ=ξM，則φ顯然是H-不變的。

為不可約Iπ-特征標(biāo)，故 (()G)N必然是不可約的復(fù)特征標(biāo)，根據(jù)Mackey定理，則NH=G。又因為M=N∩H顯然是H的正規(guī)子群，故從π-標(biāo)準(zhǔn)符號特征標(biāo)的性質(zhì)（見[8]中定理 2.5（d））可知M≤Ker(δ(G，H))，更有M≤ Kerλ。再次使用Mackey定理，我們又有

我們斷言φ∈Iπ(M)且φN=θ，據(jù)此可知S=(H，M，φ)為Iπ-特征標(biāo)三元組，并且是T=(G，N，θ)的誘導(dǎo)子。當(dāng) 2∈π時，按定義為Bπ-特征標(biāo)，根據(jù)引理 1，則τ=，不難看出 (M)N在域自同構(gòu)τ下也是不變的，故為Bπ-特征標(biāo)，表明 (M)N=恰為θ的Bπ-提升。進而，從為Bπ-特征標(biāo)且M?H，可知M∈Irr(M)也是Bπ-特征標(biāo)，并且 (M)0=ξM=φ∈Iπ(M)，同理可知M也是φ的Bπ-提升 ，即M=。 所 以=，兩邊取π-限制得到φN=()0=0=θ，表明斷言成立。當(dāng)2?π時，按定義為Dπ-特征標(biāo)，此時

下面驗證S是擬本原的。任取K≤M且K?H，已知ξ∈Iπ(H)是本原的，從Iπ-特征標(biāo)的Clifford定理可知ξ也是擬本原的，故φK=ξK是齊次的，按定義可知S是擬本原的。

最后，注意到degS=φ(1)=ξ(1)，根據(jù)定理6，則的所有擬本原誘導(dǎo)子S均有相同的次數(shù)，由此表明ξ(1)與ξ和H的不同選取無關(guān)，故所證結(jié)論成立。

在上述兩個定理中，選取π={p}′為素數(shù)p的余集，按前述說明，此時G為p-可解群，并且Iπ(G)=IBr(G)，即得本文的定理 3和定理 4。

最后證明本文的定理5的π-版本，為此，我們需要Lewis的一個定理，見文獻[7]的定理A。

引理3（Lewis）設(shè)G是π-可分群，S??G為G的次正規(guī)子群且φ∈Iπ(S)。如果(S，)為G的一個誘導(dǎo)源，其中∈ Irr(S)為φ的標(biāo)準(zhǔn)提升，則Iπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)為雙射，其中表示在G中的穩(wěn)定子。

定理 8設(shè)G是π-可分群，T=(G，N，θ)為Iπ-特征標(biāo)三元組，并且S=(H，M，φ)為其一個誘導(dǎo)子。如果M??N，則Iπ-特征標(biāo)三元組的誘導(dǎo)給出一個雙射：

證 明設(shè)∈Irr(N)和∈Irr(M)分 別 為θ∈Iπ(N)和φ∈Iπ(M)的標(biāo)準(zhǔn)提升，類似定理 6的證明，同理可證當(dāng) 2∈π時，則=；當(dāng) 2?π時，則(δ(N，M))N==。顯然和分別是H-不變的和G-不變的。如果 2∈π，(H，M，)也是特征標(biāo)三元組(G，N，)的一個誘導(dǎo)子，故特征標(biāo)的誘導(dǎo)為雙射：Iπ(H|)→Iπ(G|)，表明 (M，)為G的一個誘導(dǎo)源。如果2?π，根據(jù)π-標(biāo)準(zhǔn)符號特征標(biāo)的性質(zhì)（見文 獻[6]中引理 2.33（c）），則δ(G，H)∈Irr(H)是δ(N，M)∈ Irr(M)的擴張，從而δ(N，M)為H-不變的。此時δ(N，M)也是H-不變的，故 (H，M，δ(G，H))也是特征標(biāo)三元組的(G，N，)的一個誘導(dǎo)子，所以特征標(biāo)的誘導(dǎo)也是雙射：Iπ(H|δ(N，M))→Iπ(G|)。 根據(jù)Gallagher對應(yīng)（見[1]中推論6.17），則Iπ(H|δ(N，M))=δ(G，H)Irr(H|)，表明特征標(biāo)的誘導(dǎo)也是雙射：Iπ(H|)→Iπ(G|)，故 (M，)也是G的誘導(dǎo)源。至此可使用上述Lewis定理，即引理3，我們有Iπ-特征標(biāo)的誘導(dǎo)所定義的雙射 ：Iπ(H|φ)→Iπ(G|φ)。

剩下的只需證明Iπ(G|φ)=Iπ(G|θ)，為此，我們先證明Iπ(N|φ)={θ}。如果M?N，因為φN=θ，故Nφ=M，根據(jù)Iπ-特征標(biāo)的 Clifford對應(yīng)得到Iπ(N|φ)={θ}。一般地，如果M在N中不正規(guī)，因為M是N的次正規(guī)子群，故存在M?L??N，其中M＜L≤N，特別地，令α=φL，則α∈Iπ(L)，故Iπ(L|φ)={α}。任取ψ∈Iπ(N|φ)，則ψ必然在α上方，通過對 |N：M|做歸納法，現(xiàn)在 |N：L|＜ |N：M|，故對L??N。由歸納假設(shè)得ψ=αN=φN=θ，即證Iπ(N|φ)={θ}。該公式表明G的每個Iπ-特征標(biāo)，只要在φ的上方，必然也在θ的上方，即Iπ(G|φ)?Iπ(G|θ)。因為反包含關(guān)系顯然成立，故Iπ(G|φ)=Iπ(G|θ)。

同理，選取π={p}′為素數(shù)p的余集，則G為p-可解群且Iπ(G)=IBr(G)，定理得證。