例析絕對值不等式問題的四種求解策略

江蘇省南京市漂水區(qū)第三高級中學 (211200) 趙 婷

含有絕對值的不等式問題的求解策略總的來說有兩種：即化掉絕對值符號和利用絕對值的性質(zhì)變形化簡，而對于各種典型的題目來說，根據(jù)不同的特點又有如下四種簡求策略，下面通過典型例題的分析簡述這些方法，希望對讀者朋友有所幫助．

一、利用絕對值的性質(zhì)

A. {x|x≠-1} B. {x|x>-1}

C. {x|x<0且x≠-1} D. {x|-1

評注：根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)直接解不等式，抓住了問題的實質(zhì)，活用絕對值的性質(zhì)解題，輕松自如．

例2 若存在x<0，使不等式x2<2-|x-t|成立，求實數(shù)t的取值范圍．

評注：通過反解不等式，使待求的參數(shù)t分離出來，然后構(gòu)造函數(shù)，利用不等式的值域解決了不等式有解問題，這是求解不等式中參數(shù)范圍的常用方法，而用解不等式的方法化解絕對值問題是解此類題的特色．

二、兩邊同時平方

例3 求不等式|x-2|-|2x+1|>1的解集．

解析：原不等式為|x-2|>1+|2x+1|，由于此不等式兩邊都是非負數(shù)，將其兩邊平方得x2-4x+4>1+2|2x+1|+4x2+4x+1，即2|2x+1|<2-8x-3x2，故3x2+8x-24x+2<2-8x-3x2，解得-2

評注：如果能確定不等式的兩邊都是非負數(shù)，可直接進行兩邊平方運算，如果一邊是非負數(shù)，另一邊不確定也可以通過分類討論后，再對適合的部分進行兩邊平方運用，從而達到解題目的．

例4 已知a>0且a≠1，若0|loga(1+x)|．

|loga(1-x)|>|loga(1+x)|．

評注：此題的解法比較多，可以分別從去掉絕對值符導、對底數(shù)a分類處理等方面考慮，但采用兩邊同時平方的方法可以同時解決這兩個問題，所以是一個比較優(yōu)化的方法．

三、以形助數(shù)

對于|x-a|±|x-b|類型的題目即可，由數(shù)軸上點x的位置來討論得出值域；也可用分類討論化為分段函數(shù)，通過畫圖象可知其值域．而其它形式絕對值范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為特殊函數(shù)，再利用函數(shù)圖像分析求解．

例5 已知a>0，不等式|x-4|+|x-3|

解析：設(shè)實數(shù)x,3,4在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為P,A,B，則有函數(shù)y=|x-4|+|x-3| =|PA|+|PB|，當P在A、B之間時有|PA|+|PB|=1，當P在A、B之外時，有|PA|+|PB|>1，故有y≥1，故按題意只須a>1，即a的范圍是(1,+∞)．

評注：抓住題目中兩個絕對值中自變量x的系數(shù)相同這一特點，可以得到的一個簡單解法，如果系數(shù)不同，就只能通過分類討論將函數(shù)式中的絕對值化去，再利用分段函數(shù)的圖像分析幫助解決最值問題．

圖1 圖2

評注：經(jīng)過對題目整體考察，研究其函數(shù)的特點，即過原點、是奇函數(shù)等，再利用其函數(shù)圖象，建立不等式組解決了參數(shù)a范圍問題．如果試圖通過直接解這個含有絕對值的不等式是相當困難的．

四、分類討論

絕對值不等式解題的一個重要思路就是化去絕對值符號，將其轉(zhuǎn)變?yōu)槠胀ǖ牟坏仁剑侄斡懻撌腔ソ^對值符號的最常用的手段．

例7 解關(guān)于x的不等式|loga(ax2)|<|logax|+2，其中a>1．

評注：分段討論是解決多個絕對值和一些比較復雜的絕對值不等式的基本方法，這里要注意分段點的確定和最后解題結(jié)論的整體表述．

圖3

解析：設(shè)f(x)=x|x-a|，要使不等式恒成立，即使

評注：本題是不等式恒成立問題，通過分析知道問題的核心是絕對值函數(shù)的最小值問題，由于函數(shù)式中有參數(shù)，分類討論是化解本題難點的重要途徑．

絕對值不等式問題是不等式與絕對值交匯的問題，這是高中階段常見的題型，一般都是考慮先解決絕對值的問題，然后轉(zhuǎn)化為普通不等式或不等式組的問題，由于題目的條件與結(jié)論不同，可能出現(xiàn)多種情況，但總體的解題方針和解題方向是一致的．