齒廓修形人字齒輪副時變嚙合剛度計算方法

林騰蛟，陳夢寒，楊 金

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

人字齒輪具有高重合度、低軸向力、高承載能力和平穩(wěn)傳動等優(yōu)點，廣泛應用于航空航天、大型船舶等重要傳動裝置中。人字齒輪運轉過程中，輪齒交替嚙合，導致嚙合沖擊及接觸剛度變化，影響傳動系統(tǒng)動態(tài)性能。時變嚙合剛度是齒輪系統(tǒng)振動噪聲的重要激勵因素，齒廓修形在有效改善輪齒嚙合性能的同時，對其時變嚙合剛度也將產生較大影響，因此開展修形人字齒輪副時變嚙合剛度解析算法研究對人字齒輪系統(tǒng)動力學精準分析具有重要的理論及工程意義。

近年來，國內外學者在輪齒修形及時變嚙合剛度研究方面取得了諸多成果。Litvin等[1-2]改變標準齒條刀具切削刃，采用修形曲線代替齒條直線齒廓，獲得修形齒輪齒面方程；唐進元等[3-5]采用有限元法研究了修形直齒輪的嚙合剛度；Sun等[6]在基于切片法的嚙合剛度算法中引入有限元法與解析算法間誤差的修正系數(shù)，建立了修形直齒輪副嚙合剛度準確計算模型；Wan等[7-8]采用積分勢能法計算了斜齒輪的嚙合剛度；魏靜等[9-11]將齒頂修形等效為輪齒誤差，提出了齒廓修形齒輪的嚙合剛度計算方法；王成等[12-13]將齒頂修形量表示為嚙合線長度的函數(shù)，建立了考慮齒頂修形的直齒輪嚙合剛度計算模型。在人字齒輪嚙合剛度計算方面，王峰等[14]基于齒面LTCA方法，以嚙合剛度波動幅值為目標，對人字齒輪進行了齒面修形優(yōu)化設計；郭家舜等[15]將齒廓修形作為沿嚙合線方向的時變間隙，研究了修形參數(shù)對人字齒輪副動載系數(shù)幅值的影響規(guī)律。以上文獻取得了重要研究成果，但主要針對修形直、斜齒輪嚙合剛度，解析算法中多將修形量等效為誤差或間隙等因素；目前涉及人字齒輪嚙合剛度的研究報道較少，且均未同時考慮修形輪齒的齒廓幾何特征、重合度變化以及退刀槽對人字齒輪嚙合剛度的影響。

本文以人字齒輪副為研究對象，提出一種計及齒廓修形參數(shù)和退刀槽寬度的人字齒輪時變嚙合剛度計算方法。建立含齒頂和齒根修形的人字齒輪齒面方程，分析輪齒修形和受載變形對齒輪重合度和接觸狀態(tài)的影響；基于勢能法和數(shù)值積分公式，推導人字齒輪端面嚙合剛度和軸向嚙合剛度，并研究退刀槽寬度、修形參數(shù)、輸入轉矩等對人字齒輪時變嚙合剛度的影響規(guī)律。

1 齒廓修形人字齒輪齒面方程推導

1.1 刀具端面齒廓方程

輪齒齒廓修形包括齒頂和齒根修形，為建立修形齒廓的齒面方程，采用假想刀具加工輪齒，假想刀具齒廓由4段曲線組成，如圖1所示，其中直線1(CD段)、曲線2(DE段)、曲線3(BC段)和橢圓弧4(AB段)分別包絡出被加工齒輪的漸開線區(qū)、齒頂修形區(qū)、齒根修形區(qū)和過渡圓弧區(qū)，曲線2、3的方程為y=axn，a為修形曲線系數(shù)，由修形參數(shù)確定，n為修形曲線的階次。

圖1 假想刀具端面齒廓Fig.1 Transverse profile of hypothetical rack cutter

圖1中S0(x0Oy0)為假想刀具端面齒廓坐標系，Sa(xaOaya)和Sb(xbObyb)分別為曲線2、3的局部坐標系。通過坐標變換，可得端面齒廓上各曲線對應的方程RS0,i(i=1～4)，分別表示為

(1)

式中：l1為CD上任意點到D點的距離；αt為端面壓力角；“+”號用于刀具右齒面，“-”號用于刀具左齒面。

(2)

RS0,3(Δ2,h2,n)=

(3)

(4)

式中：xOe和yOe為橢圓弧圓心坐標；c1和d1分別為橢圓弧長半軸和短半軸；θ為橢圓弧段角度變量。

圖2為假想刀具與被加工齒輪坐標系位置關系，其中假想刀具1加工出人字齒輪的右旋齒面，刀具2加工出左旋齒面，由坐標變換得到S1(x1O1y1)坐標系中刀具齒面方程RS1,i

圖2 假想刀具與被加工齒輪坐標系Fig.2 Coordinate systems of hypothetical rack cutter and machined gear

RS1,i=M10RS0,i

(5)

式中：M10為S0到S1的坐標變換矩陣。

1.2 齒輪齒面方程

根據(jù)假想刀具與被加工齒輪在齒面上任意點的正確嚙合條件n·v=0，推導出含齒廓修形的人字齒輪在S2(x2O2y2)坐標系中的齒面方程RS2,i

(6)

式中：RS1,ix、RS1,iy、RS1,iz分別為S1坐標系中刀具齒面方程x、y、z分量；φi為形成被加工齒輪齒面時S2坐標系的轉動角度；r為被加工齒輪的節(jié)圓半徑。

2 齒廓修形人字齒輪時變嚙合剛度計算原理

人字齒輪由左右兩側斜齒輪和退刀槽構成，在工程實踐中人字齒輪的支撐方式通常為主動輪采用軸向可浮動的軸承支撐，從動輪采用能承受少量軸向載荷的軸承支撐，以滿足左右兩側斜齒輪均載要求，而航空航天、大型船舶等重要傳動裝置中人字齒輪制造加工精度較高，嚙合過程中人字齒輪軸向竄動量較小，齒面嚙合狀態(tài)良好，本文在研究人字齒輪時變嚙合剛度時假定齒面嚙合為理想接觸，在嚙合過程中左右兩側斜齒輪同時參與嚙合。輪齒嚙合剛度是隨參與嚙合齒數(shù)和輪齒接觸位置周期變化的時變函數(shù)，齒輪接觸線長度具有時變性，由于人字齒輪的接觸線與軸線不平行，單側斜齒輪在嚙合過程中受軸向力作用，因此齒輪嚙合剛度需按端面嚙合剛度和軸向嚙合剛度分別計算。

當人字齒輪存在退刀槽時，退刀槽的變形會引起輪齒嚙合剛度變化，因此計算人字齒輪副嚙合剛度時還需要計及退刀槽的影響。

將輪齒變形等效為沿嚙合線方向的彈性變形，在嚙合力F作用下，綜合考慮輪齒發(fā)生的端面變形、軸向變形以及包含退刀槽在內的基體變形而儲存的彈性勢能可表示為[16]

(7)

因此嚙合周期內一對輪齒的嚙合剛度，即單齒嚙合剛度表示為

(8)

式中：j=1、2，分別表示主、從動輪；Utb、ktb為端面彎曲勢能和剛度，Uts、kts為端面剪切勢能和剛度，Uta、kta為徑向壓縮勢能和剛度，Utf、ktf為基體徑向勢能和剛度，Uab、kab為軸向彎曲勢能和剛度，Uat、kat為軸向扭轉勢能和剛度，Uaf、kaf為基體軸向勢能和剛度，Uh、kh為赫茲接觸勢能和剛度。

2.1 端面嚙合剛度

齒輪端面嚙合剛度包括嚙合力F作用下的輪齒彎曲剛度、剪切剛度、徑向壓縮剛度、赫茲接觸剛度和基體徑向剛度五部分。計算人字齒輪端面嚙合剛度時，基于勢能法和切片思想，將輪齒沿齒寬方向切片，見圖3，通過計算各薄片嚙合剛度，求和可得齒輪端面嚙合剛度。修形薄片輪齒的懸臂梁模型如圖4所示。

圖3 輪齒切片模型Fig.3 Slice model of tooth

圖4 齒廓修形薄片輪齒懸臂梁模型Fig.4 Cantilever beam model of tooth slice with profile modification

采用切片法時，厚度為Δz的每一薄片輪齒中端面彎曲勢能、端面剪切勢能和端面壓縮勢能分別表示為

(9)

(10)

(11)

式中：Mt為嚙合力F作用下輪齒端面所受彎矩，Mt=Fcosβ[cosαz(x(αz)-x)-sinαzy(αz)]；x(αz)、y(αz)分別為薄片輪齒嚙合點坐標值，由齒面方程(6)計算可得；nS2,x(αz)、nS2,y(αz)為薄片輪齒嚙合點處齒面法矢的x、y分量；Δz為薄片輪齒齒寬，Δz=(2B+Bt)/N，B為單側斜齒輪齒寬；Bt為退刀槽寬度；N為人字齒輪沿齒寬方向切分的薄片份數(shù)；αz為每片薄片輪齒嚙合點處的端面壓力角，αz=arctan(nS2,x(αz)/nS2,y(αz))；β為螺旋角；E、G表示齒輪材料的彈性模量和剪切模量。

對每一薄片齒輪剛度沿人字齒輪的齒寬方向求和，得到人字齒輪的端面彎曲剛度、端面剪切剛度、徑向壓縮剛度分別為

(12)

(13)

(14)

對于每一薄片輪齒，由于所處軸向位置不同，輪齒嚙合位置也不同，各薄片輪齒上嚙合點的坐標值x(αz)、y(αz)和壓力角αz是關于軸向位置z和嚙合時間t的函數(shù)，如圖5所示，其應滿足

圖5 任意時刻薄片輪齒嚙合狀態(tài)示意圖Fig.5 Sketch map of meshing state of tooth slice at any time

(15)

(16)

(17)

0≤l(t)≤εαpbt

(18)

式中：“+”號用于主動輪，“-”號用于從動輪；v=2πnjrbj，nj為齒輪的轉速，rbj為齒輪基圓半徑；εα為齒輪端面重合度；rsj表示端面嚙合起始點到齒輪圓心的距離，rtj表示任意時刻端面嚙合點到齒輪圓心的距離；βb為基圓螺旋角；pbt為端面基圓齒距。

當薄片輪齒上的αz、x(αz)、y(αz)不滿足式(15)～(18)時，此薄片輪齒未參與嚙合。

人字齒輪赫茲接觸勢能和接觸剛度分別為

(19)

(20)

式中：μ為齒輪材料泊松比，L為接觸線長度。

對每一薄片齒輪基體徑向勢能和基體徑向剛度沿齒寬方向進行求和，即可得到齒輪基體的徑向勢能和徑向剛度，其表達式分別為

(21)

(22)

式中：L*，M*，P*，Q*為尺寸系數(shù)[17]，uf，Sf如圖4中所示，可表示為

(23)

式中，Z為齒輪的齒數(shù)。

2.2 軸向嚙合剛度

人字齒輪軸向嚙合剛度包括輪齒的軸向彎曲剛度、軸向扭轉剛度以及基體的軸向剛度。假設接觸線上所受的嚙合力相等，齒輪在軸向力作用下繞Y軸的彎矩Ma和繞X軸的扭矩MT，如圖6所示，可分別表示為

圖6 人字齒輪軸向嚙合剛度計算模型Fig.6 Axial mesh stiffness calculation model of double helical gear

(24)

式中,Ns表示參與嚙合的輪齒薄片數(shù)量。

由于單側斜齒輪的軸向力會使輪齒產生軸向彎曲變形和扭轉變形，因此人字齒輪輪齒的軸向嚙合剛度同樣包括軸向彎曲剛度和軸向扭轉剛度。嚙合力F作用下，輪齒軸向彎曲勢能和軸向扭轉勢能表示為

(25)

(26)

(27)

基于勢能法，輪齒的軸向彎曲剛度和軸向扭轉剛度可表示為

(28)

(29)

在兩側斜齒輪的嚙合力作用下，含退刀槽的人字齒輪基體部分會產生彎曲變形，基體的軸向彎曲勢能可表示為

(30)

式中：Maf為作用于齒輪基體的彎矩，Iaf為基體距離齒輪中心x1處的截面慣性矩，其表達式分別為

(31)

(32)

式中:rf為齒根圓半徑;r0為齒輪軸孔半徑;rt為退刀槽外圓半徑。

因此人字齒輪基體的軸向剛度可表示為

(33)

3 考慮受載變形的修形人字齒輪嚙合特性

齒輪修形參數(shù)與傳遞載荷有關，在實際運行工況下，合理的輪齒修形可有效降低嚙合沖擊，提升齒輪系統(tǒng)運轉平穩(wěn)性，但輪齒修形和受載變形會導致齒輪副重合度的變化，進而影響齒輪時變嚙合剛度，即齒輪副在嚙合過程中同時嚙合的輪齒在單位齒寬上的單齒嚙合剛度之和，因此有必要對輪齒受載變形下的齒廓修形人字齒輪嚙合狀態(tài)和時變嚙合剛度進行分析。

3.1 修形人字齒輪副的嚙合起止點

為研究受載變形下齒廓修形人字齒輪副的嚙合狀態(tài)，需確定實際載荷作用下輪齒的端面嚙合起止點。人字齒輪同時有多對輪齒參與嚙合，基于修形齒輪的嚙合力F和單齒嚙合剛度k，參與嚙合的各對輪齒沿嚙合線方向的變形δ(αz)可表示為

(34)

式中：km(αz)為第m對參與嚙合的單齒嚙合剛度；Nc為參與嚙合的輪齒對數(shù)。

表1 人字齒輪副基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of double helical gear pair

為驗證嚙合起止點計算方法的準確性，根據(jù)文中推導的齒廓修形人字齒輪齒面方程，利用ANSYS軟件建立修形人字齒輪副靜力接觸有限元分析模型，對主動輪內圈節(jié)點施加轉矩，并約束其軸向和徑向位移；對從動輪內圈節(jié)點施加全約束，求解得到輪齒的接觸狀態(tài)如圖8所示，提取主動輪嚙合起止點處結點坐標，得出輪齒嚙合起止點到主動輪圓心的距離分別為38.004 mm和41.226 mm，與圖7解析法計算結果對比，兩者誤差分別為0.32%和0.47%，驗證了實際嚙合起止點計算方法的準確性。

圖7 修形齒輪嚙合起止點計算流程圖Fig.7 Flow chart of calculating meshing start and end points of gear with modification

3.2 修形人字齒輪副的重合度

圖9給出了修形人字齒輪副的實際端面重合度計算示意圖，圖中B2、B1為未修形時齒輪端面嚙合起止點，C2、C1為修形后齒輪端面嚙合起止點。

圖9 齒廓修形齒輪副端面重合度計算示意圖Fig.9 Sketch map of contact ratio calculation of gears with profile modification

修形人字齒輪的端面重合度可表示為

(35)

式中,u為傳動比。

由于本文只對人字齒輪進行了齒廓修形，對人字齒輪的縱向重合度不產生影響，則縱向重合度為[18]

(36)

因此齒廓修形人字齒輪副的總重合度為

(a) 等效應力云圖

(37)

3.3 人字齒輪副時變嚙合剛度

由于輪齒受載變形后修形人字齒輪接觸狀態(tài)和重合度發(fā)生變化，輪齒的接觸線長度也會隨之變化，考慮輪齒受載變形后修形人字齒輪的時變接觸線長度L可表示為

L(F,Δ,h,n)=

(38)

L(F,Δ,h,n)=

(39)

考慮輪齒受載變形時，根據(jù)輪齒的實際嚙合起止點，齒輪副嚙合剛度計算的積分域應滿足

(40)

為了驗證含修形人字齒輪嚙合剛度解析算法的正確性，利用文中所給算法和有限元數(shù)值方法分別計算修形人字齒輪副的嚙合剛度，兩者的計算結果如圖10所示，圖中橫坐標T為無量綱時間，表示輪齒從嚙入到嚙出的整個過程。

圖10 人字齒輪副的嚙合剛度對比曲線Fig.10 Comparison curves of double helical gears mesh stiffness

對比人字齒輪副時變嚙合剛度解析算法和有限元數(shù)值法的計算結果，兩者吻合良好，嚙合剛度變化規(guī)律一致，兩者計算所得人字齒輪副嚙合剛度的均值分別為17.885 N/(mm·μm)和18.570 N/(mm·μm)，誤差為3.83%，在工程允許范圍內。

4 人字齒輪嚙合剛度影響因素分析

針對表1所示的人字齒輪副，研究退刀槽寬度、修形量、修形長度、修形曲線階次、輸入轉矩對人字齒輪副重合度和時變嚙合剛度的影響規(guī)律。

4.1 退刀槽寬度

在修形參數(shù)和輸入轉矩保持不變情況下，保持單側輪齒寬度不變，選取退刀槽寬度Bt的變化范圍為0～40 mm，計算可得不同退刀槽寬度時人字齒輪副的重合度和嚙合剛度變化規(guī)律如表2和圖11所示。隨著退刀槽寬度的增大，人字齒輪的基體剛度增大，齒輪副嚙合剛度隨之增大；由于改變退刀槽寬度并不影響人字齒輪副的重合度，嚙合剛度波動值變化不大。

表2 不同退刀槽寬度下的人字齒輪重合度及嚙合剛度Tab.2 Contact ratio and mesh stiffness of double helical gears with different width of run-out groove

4.2 修形量

其他參數(shù)保持不變，選取主、從動輪齒頂和齒根修形量變化范圍為0～15 μm，計算得到不同修形量時人字齒輪副的重合度和嚙合剛度變化規(guī)律如表3和圖12所示。齒廓修形后齒頂和齒根修形區(qū)齒厚減薄，輪齒剛度減弱，在輸入轉矩作用下齒輪部分修形區(qū)參與嚙合，齒輪重合度有所減小，致使修形齒輪嚙合剛度小于未修形齒輪。隨著修形量的增大，輪齒齒厚削弱程度增加，輪齒修形區(qū)參與嚙合的區(qū)域減小，齒輪副重合度減小，嚙合剛度均值減小，嚙合剛度波動值隨之變化，當齒輪副總重合度接近整數(shù)時，嚙合剛度波動值相對較大，而當端面重合度接近整數(shù)時，嚙合剛度波動值相對較小。當修形量過大時，齒輪副端面重合度小于1，可能引起嚙合沖擊，降低傳動的平穩(wěn)性。

圖12 不同修形量時人字齒輪副的嚙合剛度Fig.12 Mesh stiffness of double helical gears with different profile modification amount

表3 不同修形量時人字齒輪副的重合度及嚙合剛度Tab.3 Contact ratio and mesh stiffness of double helical gears with different profile modification mount

4.3 修形長度

其他參數(shù)保持不變，選取主、從動輪的齒頂和齒根修形長度變化范圍為0.6～1.2 mm，計算得到不同修形長度時人字齒輪副的重合度和嚙合剛度變化規(guī)律如表4和圖13所示。隨著修形長度的增大，齒廓修形區(qū)域增大，相同載荷作用下，輪齒嚙合區(qū)域減小，齒輪副重合度降低，導致接觸線長度減少，嚙合剛度均值減小，嚙合剛度波動值隨之變化，當修形長度為1 mm時，齒輪副總重合度最接近于整數(shù)3，嚙合剛度的波動值較大。

表4 不同修形長度時人字齒輪副的重合度及嚙合剛度Tab.4 Contact ratio and mesh stiffness of double helical gears with different profile modification length

圖13 不同修形長度時人字齒輪副的嚙合剛度Fig.13 Mesh stiffness of double helical gears with different profile modification length

4.4 修形曲線階次

其他參數(shù)保持不變，選取主、從動輪的齒頂和齒根修形曲線階次分別為2、3、4和6，計算可得不同修形曲線階次時人字齒輪副的重合度和嚙合剛度變化規(guī)律如表5和圖14所示。隨著修形曲線的階次增大，修形區(qū)域的齒廓曲率增大，輪齒齒厚削弱程度減小，相同載荷作用下，齒輪副的重合度增大，嚙合剛度均值隨之增大。當修形曲線階次大于4時，由于修形量一般為微米量級，而修形曲線曲率變化很小，齒輪副重合度變化也很小，此時嚙合剛度均值和波動值隨修形曲線階次的變化不大。

表5 不同修形曲線階次時人字齒輪副的重合度及嚙合剛度Tab.5 Contact ratio and mesh stiffness of double helical gears with different profile modification curve

圖14 不同修形曲線階次時人字齒輪副的嚙合剛度Fig.14 Mesh stiffness of double helical gears with different profile modification curve

4.5 輸入轉矩

其他參數(shù)保持不變，選取輸入轉矩變化范圍為250～875 N·m，計算可得不同輸入轉矩下人字齒輪副的重合度和嚙合剛度變化規(guī)律如表6和圖15所示。隨著輸入轉矩的增加，輪齒受載變形增大，齒廓修形區(qū)參與嚙合的區(qū)域增大，齒輪副的重合度隨之增加，輪齒接觸線長度變長，時變嚙合剛度均值增大，嚙合剛度波動值隨之變化。當輸入轉矩為500 N·m時，齒輪副重合度接近整數(shù)3，嚙合剛度波動值較大；當輸入轉矩較小時，輪齒修形量偏大，齒輪副端面重合度小于1，可能引起嚙合沖擊，降低傳動的平穩(wěn)性。當輸入轉矩大于750 N·m時，嚙合輪齒接觸變形較大，齒廓修形區(qū)幾乎完全進入嚙合，齒輪副重合度不再變化，人字齒輪副嚙合剛度不再受輸入轉矩影響。

表6 不同輸入轉矩下人字齒輪副的重合度及嚙合剛度Tab.6 Contact ratio and mesh stiffness of double helical gears under different input torque

圖15 不同輸入轉矩下人字齒輪副的嚙合剛度Fig.15 Mesh stiffness of double helical gears under different input torque

5 結 論

(1) 考慮輪齒修形和受載變形對齒輪副重合度和嚙合狀態(tài)的影響，提出了一種計入齒廓修形參數(shù)和退刀槽寬度的人字齒輪嚙合剛度計算方法，與有限元法計算結果對比分析，驗證了解析算法的正確性。

(2) 齒廓修形后，齒頂和齒根修形區(qū)齒厚減薄，輪齒剛度減弱，受載時人字齒輪部分修形區(qū)參與嚙合，端面重合度減小，修形齒輪嚙合剛度較未修形齒輪有所減小。

(3) 人字齒輪副退刀槽寬度增大，嚙合剛度均值增大，嚙合剛度波動值變化不大；修形人字齒輪副的重合度及嚙合剛度均值隨修形量、修形長度的增加而減小，隨修形曲線階次的增加而增大，輸入轉矩增大時，嚙合剛度均值先增大而后不再變化；修形量、修形長度和輸入轉矩對齒輪嚙合剛度波動值有較大影響，當總重合度接近整數(shù)時，嚙合剛度波動值較大。