基于改進經(jīng)驗傅里葉分解的工作模態(tài)分析

周 偉，馮仲仁，王雄江

(武漢理工大學 土木工程與建筑學院，武漢 430070)

隨著大跨橋梁和超高層建筑的興建，近年來健康監(jiān)測系統(tǒng)在此類大型土木結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用。健康監(jiān)測系統(tǒng)主要目的為對結(jié)構(gòu)的狀態(tài)進行實時監(jiān)測和評估，實現(xiàn)損傷預警，而其基礎(chǔ)為結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別。由于工作模態(tài)分析實用且成本低廉，越來越多的研究人員正在探索環(huán)境激勵下的模態(tài)識別技術(shù)[1-5]。

自經(jīng)驗模態(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)被運用在模態(tài)識別中以來，各地學者致力于將各種非平穩(wěn)信號分解方法運用至結(jié)構(gòu)模態(tài)識別。Perez等利用同步擠壓小波變換(synchrosqueezed wavelet transform，SST)，結(jié)合隨機減量技術(shù)、Hilbert變換(Hilbert transform，HT)及Kalman濾波，對環(huán)境激勵下的四層benchmark框架和實橋進行模態(tài)識別[6]。Amezquita-Sanchez等[7]和Xin等[8]分別利用多重信號分類算法和標準自回歸功率譜改進經(jīng)驗小波變換(empirical wavelet transform，EWT)，并將改進EWT應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的模態(tài)識別。Bagheri等[9]將變分模態(tài)分解(variational mode decomposition，VMD)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)模態(tài)分析中，并使用實驗框架和人行天橋檢驗該方法。上述各種信號分解算法盡管在模態(tài)識別中取得一定成績，但也存在一些困難。例如，EMD沒有數(shù)學理論基礎(chǔ)，分解的信號分量存在端部效應(yīng)和模態(tài)混淆；SST母小波無自適應(yīng)性；EWT中濾波器的過渡帶導致密集模態(tài)信號分解分量產(chǎn)生混淆；VMD同樣不適用于含密集模態(tài)的信號。

近日，為了減輕上述困難，一種新的非平穩(wěn)信號分解方法被提出，即經(jīng)驗傅里葉分解(empirical Fourier decomposition，EFD)[10]。該方法結(jié)合EWT和傅里葉分解法[11]的思想，具有自適應(yīng)、數(shù)學理論完備和處理密集模態(tài)等特點，是一種有應(yīng)用前景的信號分解方法。然而，與EWT相同，基于傅里葉頻譜峰值進行頻帶分割是EFD的關(guān)鍵。對于低信噪比信號，頻譜的毛刺極大地影響了頻帶分割的準確度，這使得EFD無法直接處理環(huán)境激勵下結(jié)構(gòu)的振動信號?；诖耍疚奶岢鲎曰貧w(auto regression，AR)功率譜對EFD改進,得到改進EFD(improved empirical Fourier decomposition，IEFD)，并對四層模擬框架和某人行斜拉橋進行工作模態(tài)分析。此外，利用協(xié)方差驅(qū)動的隨機子空間(covariance-driven stochastic subspace identification,SSI-cov)分析以對比結(jié)果。

1 經(jīng)驗傅里葉分解及改進

1.1 原始經(jīng)驗傅里葉分解

經(jīng)驗傅里葉分解(EFD)通過對原信號的傅里葉譜進行分割，再對每個分割區(qū)間進行逆向傅里葉變換，從原信號中提取出不同頻率分量的信號。首先，將原信號傅里葉譜歸一化到區(qū)間[0,π]，假定劃分成N個連續(xù)的區(qū)間，每個區(qū)間表示為Ω= [ωi,ωi+1]。確定分割區(qū)間后，定義解析傅里葉固有頻帶函數(shù)。

將x[n]設(shè)置為長度為K的離散時間序列信號，并將離散傅里葉變換應(yīng)用于x[n]

(1)

(2)

式中：Re{v[n]}表示v[n]的實部；v[n]和v*[n]是復共軛的。v[n]廣義傅里葉級數(shù)展開為

(3)

式中：N表示頻譜分割區(qū)數(shù)。最終，依據(jù)頻譜分割區(qū)間[ωi,ωi+1]，得解析傅里葉固有頻帶函數(shù)

(4)

1.2 改進經(jīng)驗傅里葉分解

當一個信號被顯著的噪聲或非平穩(wěn)分量污染時，利用傅里葉頻譜來分割區(qū)間是不理想的。針對此問題，本文提出利用AR模型的功率譜進行頻帶分割，以確定解析傅里葉固有頻帶函數(shù)的上下限。

假設(shè)存在平穩(wěn)隨機信號序列x(m)為一個AR(p)過程,則該序列有差分方程

(5)

式中，ω(m)是方差為σ2，均值為零的白噪聲激勵信號。AR模型的自相關(guān)函數(shù)可以用矩陣形式表示為

(6)

式中，rxx()為自相關(guān)函數(shù)。式(6)描述的線性方程稱為Yule-Walker方程，系數(shù)ak和σ2可通過使用Levinson-Durbin遞歸算法求解。該隨機過程的功率譜密度可表示為

(7)

確定AR功率譜之后，本文利用EFD中相同的方法確定分割邊界，進行AR功率譜分割。首先，將AR功率譜歸一化至區(qū)間[0,π]，假定將功率譜劃分為N個連續(xù)的區(qū)間，共需確定N+1個邊界。其次，在功率譜中尋找M個控制點，即初值和極大值。其中，分段數(shù)N與控制點數(shù)M有如下關(guān)系

(1)當M≥N時，功率譜有多余的控制點來確定N個分段，固只保留按降序排列的前N個控制點。

(2)當M

然后，記錄控制點的位置ωn(其中1 ≤n≤N，ω0= 0，ωN+1=π)。前N個邊界定義為區(qū)間[ωn-1,ωn]中功率譜最小值ωn，并將這些最小值的集合表示為Ωn，而第N+1個邊界則由ωN和ωN+1的中點確定。AR功率譜分段邊界可描述為

(8)

基于AR功率譜改進的EFD主要分為兩個步驟，IEFD的框架如圖1所示。由圖1可知：第一步，計算處理信號的AR功率譜，確定分割邊界；第二步，根據(jù)確定的分割邊界，利用EFD將振動信號分解成若干分量。

圖1 改進經(jīng)驗傅里葉分解流程圖Fig.1 Flow chart of IEFD

1.3 IEFD與EFD對比

為了對比IEFD和EFD在信號處理中的效果，對加噪的三自由度結(jié)構(gòu)自由振動響應(yīng)S進行分解。該模擬信號由式(9)給出。

(9)

式中：Ai為幅值；ζi為阻尼比；fi為頻率；R(t)為高斯噪聲；θi為第i階頻率的相位角。本例各參數(shù)如表1所示。

表1 含噪合成信號參數(shù)Tab.1 Parameters of the synthetic signal

IEFD和EFD對含噪信號S處理的分割區(qū)結(jié)果如圖2所示。其中，為了提高分割效果的辨識度，將含噪信號S去除噪聲的頻率譜和分割邊界組成圖2。由圖2可知，IEFD相對于EFD，劃分的頻率區(qū)間更加合理，每個頻帶只包含一個頻率峰值，即IEFD在處理含噪信號時比EFD有較大優(yōu)勢。

(a) EFD

2 基于IEFD的模態(tài)參數(shù)識別

2.1 隨機減量技術(shù)

隨機減量技術(shù)(random decrement technique，RDT)是一種利用環(huán)境激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號提取自由振動響應(yīng)的技術(shù)。

(10)

設(shè)固定值A(chǔ)截取響應(yīng)u(t)，交于不同時刻tk，u(tk)=A(k=1,2,…,n)。從每個tk開始，截取足夠長的樣本u(t-tk)，并將樣本u(t-tk)的時間起點tk平移至原點，可得初始值為A的隨機子樣本函數(shù)yi(t)

(11)

(12)

式中：N為截取的樣本數(shù)量；y(t)是初始速度為零、初始位移為A的自由振動響應(yīng)。

2.2 Hilbert變換

希爾伯特變換(Hilbert transform，HT)由Hilbert提出，即為時間系列u(t)和1/πt的卷積，可表示為

(13)

(14)

式中：A(t)和φ(t)分別為z(t)的瞬時幅值和瞬時相位，各表示為

(15)

(16)

2.3 模態(tài)參數(shù)識別

基于IEFD的模態(tài)識別由圖3所示的步驟組成。第一步，利用IEFD對結(jié)構(gòu)振動信號進行分解，得到振動信號分量及它們的頻率值。第二步，利用RDT提取分量的自由振動響應(yīng)，并利用多個測點的各階自由振動提取模態(tài)振型。第三步，使用HT求得各階自由振動的瞬時幅度。第四步，通過瞬時幅度自然對數(shù)值的最小二乘擬合，由式(17)得到各階模態(tài)阻尼比。

圖3 基于IEFD的模態(tài)識別方法Fig.3 Modal identification method based on IEFD

(17)

式中：ak為阻尼比ζk與角頻率ωk的乘積，可通過最小二乘擬合瞬時幅度自然對數(shù)值得到。

為了驗證模態(tài)振型的可靠性，引入模態(tài)置信準則(modal assurance criterion，MAC)

(18)

式中：φa,j為使用方法a估計的第j階振型向量；φb,j為利用方法b估計的第j階振型向量。

3 四層框架模擬驗證

3.1 框架基本參數(shù)

本節(jié)采用四層框架結(jié)構(gòu)模型以驗證提出方法的有效性，該結(jié)構(gòu)如圖4所示。結(jié)構(gòu)每層的質(zhì)量、剛度和阻尼分別為m=100×[20,30,15,30] kg、k=10 000×[15,20,20,30] N/m和c=250×[1,1,1,1] N/(ms)。利用狀態(tài)空間法得到四層框架模態(tài)參數(shù)理論值及隨機激勵下各層振動響應(yīng)。其中，振動響應(yīng)的采樣頻率為50 Hz，采樣持續(xù)時間為500 s。

圖4 四層框架結(jié)構(gòu)Fig.4 Four layers frame structure

3.2 框架參數(shù)識別

利用2.3節(jié)描述的步驟，對四層框架進行模態(tài)識別。IEFD分解的框架第4層振動響應(yīng)結(jié)果如圖5所示。利用RDT得到圖5中各分量的自由振動響應(yīng)，如圖6所示。并對其他三層的振動響應(yīng)同樣進行基于IEFD的模態(tài)識別，得到的頻率和阻尼比平均值如表2所示，模態(tài)振型如圖7所示。另外，使用SSI-cov對該結(jié)構(gòu)進行模態(tài)參數(shù)識別，結(jié)果同匯總于表2。

(a) 模態(tài)1

(a) 模態(tài)1

圖7 基于IEFD識別的四層框架模態(tài)振型Fig.7 Modal shape of four-story frame identified by IEFD

表2 四層框架模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果對比Tab.2 Comparison of modal parameter results for the four-story frame

結(jié)果表明，基于IEFD的模態(tài)識別方法能夠準確識別四層框架的模態(tài)參數(shù)。對于固有頻率，SSI-cov和IEFD的結(jié)果與理論值基本一致。對于阻尼比，IEFD的結(jié)果準確度高于SSI-cov。對于模態(tài)振型，以理論值作為計算MAC的參考值，四階模態(tài)振型中最小MAC值為0.996，振型識別準確。

4 實橋測試驗證

4.1 測試概況

試驗橋為一座跨度為109 m的人行斜拉橋。該橋橋塔為單A型塔，42 m高，橋面由錨碇在塔頂?shù)钠邔髦?。加速度傳感器布置如圖8所示，從右到左編號為D1～D4。該測試以128 Hz的頻率進行了1 h的采樣[12]。

圖8 全橋立面及傳感器布置圖Fig.8 Elevation and sensor layout of the test bridge

4.2 參數(shù)識別

為了減少激勵噪聲的影響和計算量，本文選取了該測試中1 000 s～2 000 s段的加速度時程作為處理信號，并利用[0.5,3.5]Hz的帶通濾波處理。同樣，采用IEFD和SSI-cov對該斜拉橋進行模態(tài)識別，并利用快速傅里葉變換(FFT)識別各測點振動響應(yīng)的頻率，四測點平均值如表3所示。圖9和圖10分別為IEFD處理D4采集振動信號的分量及各分量的自由振動響應(yīng)。同時對其他三個測點進行識別，表3匯總各測點識別固有頻率和阻尼比的均值。其中，采用文獻[12]識別的模態(tài)振型作為計算MAC值中的參考模態(tài)振型。各階模態(tài)振型如圖11所示，圖中實線為文獻[12]的識別結(jié)果。

(a) 模態(tài)1

表3 斜拉橋模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果對比Tab.3 Comparison of modal parameter results for the cable-stayed bridge

(a) 模態(tài)1

圖11 基于IEFD識別的使用試驗橋模態(tài)振型Fig.11 Modal shape of the test bridge identified by IEFD

結(jié)果表明，IEFD能夠識別該斜拉橋的模態(tài)參數(shù)。對于固有頻率，除了SSI-cov第三和第四階模態(tài)有差別外，文獻[12]、FFT、SSI-cov和IEFD的結(jié)果基本一致。對于阻尼比，文獻[12]和IEFD的結(jié)果基本在同一數(shù)量級別，而SSI-cov的第三和第四階的結(jié)果有一定偏差。對于模態(tài)振型，IEFD與文獻[12]相近，同樣，SSI-cov第三和第四階的結(jié)果較差。由于該斜拉橋第三和第四階模態(tài)較為密集，造成SSI-cov產(chǎn)生虛假的第三階模態(tài)，而沒識別出自然頻率為2.24 Hz的模態(tài)。因此，針對該含密集模態(tài)的斜拉橋，IEFD較SSI-cov更可靠。

5 結(jié) 論

基于EFD無法處理低信噪比信號的缺陷，本文利用AR功率譜魯棒性強、分辨率高等特點，對EFD進行改進。通過四層框架和人行斜拉橋的模態(tài)分析，得到基于IEFD的模態(tài)參數(shù)識別如下結(jié)論：

(1) 基于AR功率譜分割的EFD能夠處理類似結(jié)構(gòu)環(huán)境振動的低信噪比信號，比EFD有較大優(yōu)勢。

(2) 基于IEFD的模態(tài)識別方法能夠較為精確地識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。

(3) 針對含有密集模態(tài)的結(jié)構(gòu)，IEFD方法識別的模態(tài)參數(shù)較為準確，具有一定優(yōu)勢。