分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析

孟紅軍，徐校會(huì)，袁國(guó)軍

(1.滁州城市職業(yè)學(xué)院 教育系，安徽 滁州 239000；2.皖西學(xué)院 科技處，安徽 六安 237012)

現(xiàn)階段，分?jǐn)?shù)階微分方程組已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在非線性動(dòng)力學(xué)分析中，通過(guò)構(gòu)建分?jǐn)?shù)階微分方程組的邊值特征分析模型，結(jié)合模糊控制律實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程組的力學(xué)參數(shù)分析，實(shí)現(xiàn)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的優(yōu)化控制.采用局部區(qū)域物理量參數(shù)分析方法，進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析，并將分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性參數(shù)引入到大氣物理模型構(gòu)建、力學(xué)模型構(gòu)建以及生態(tài)環(huán)境預(yù)測(cè)中.通過(guò)區(qū)域化的模塊參數(shù)融合，采用非線性非局部積分?jǐn)_動(dòng)分析，在整體區(qū)域中實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析，因此在非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值[1].本文提出基于局部穩(wěn)態(tài)融合控制的分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析方法.

1 分?jǐn)?shù)階微分方程組構(gòu)建和約束參數(shù)分析

1.1 分?jǐn)?shù)階微分方程組構(gòu)建

為了實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析，需要首先構(gòu)建分?jǐn)?shù)階微分方程組，根據(jù)邊值分布的非線性奇異擾動(dòng)特征量f[2]，采用局部區(qū)域物理量特征分析的方法，在有限狀態(tài)空間中分?jǐn)?shù)階微分方程組的時(shí)滯特征方程為

(1)

其中，a為整體區(qū)域中的數(shù)據(jù)鏈.在有界區(qū)域中，存在局部區(qū)域物理量特征t=f時(shí)，如果分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值區(qū)域分布有A>2，分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值特征分布函數(shù)為0，求得分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值的滑模面[3].

采用2n階非線性非局部積分方法，得到分?jǐn)?shù)階微分方程求導(dǎo)得

(2)

(2)式為分?jǐn)?shù)階微分方程組的凸優(yōu)組合解析方程，采用一致橢圓型算子平均值作為約束參量，當(dāng)A>2時(shí)有

(3)

根據(jù)線性Logistics邊值線性微分特征分解的方法，構(gòu)建分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值穩(wěn)定性變分時(shí)滯約束參數(shù)分析模型[4-6]，可以將分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值的空間特征映射u引入到方程的最優(yōu)解析模型，則存在

(4)

(5)

利用線性相關(guān)性特征分解方法，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值有限域特征解析控制函數(shù)為

(6)

其中，k為正整數(shù).非局部奇異擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)參數(shù)的初始值r,得到奇異擾動(dòng)特征量滿(mǎn)足

F=|ET|+rσT.

(7)

1.2 分?jǐn)?shù)階微分方程組特征分析

根據(jù)非線性非局部奇異特征分析，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值的敏感域特征解

(8)

‖u‖r(I×Ir4)≤2η,‖u‖r+‖η0‖r(I×Ir4)<∞.

(9)

(10)

為了檢驗(yàn)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解是否具有收斂性，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組在有限分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解時(shí)域分布中[13]滿(mǎn)足

(11)

分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解分布洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)為

(12)

(12)式中，U為分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解的穩(wěn)態(tài)分布矩陣，且分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值測(cè)度m都為正常數(shù).令分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值量化參數(shù)為y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T，那么采用Hopf分岔運(yùn)維參數(shù)分析的方法，得到的w(t)為分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值非線性融合特征參數(shù)[14]，虛特征值的孤立平衡點(diǎn)為

θ=w(t)K-ηy(t).

(13)

在分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值平衡點(diǎn)處，得到α,β為憶阻器強(qiáng)度參數(shù)，在t→∞的條件下，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值分布的相位圖如圖1所示.

圖1 分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值分布的相位圖

2 分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值穩(wěn)態(tài)分析

2.1 分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解融合

結(jié)合橢圓型算子分析方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性和收斂性分析[15]，計(jì)算約束分?jǐn)?shù)階微分方程的波動(dòng)算子，表示為

(14)

求得分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值稀疏矩陣z，采用收斂性判斷的方法，在收斂條件下的狀態(tài)參數(shù)

(15)

(15)式中，分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值平衡點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)參數(shù)為s，M有唯一解，得到周期函數(shù)為

(16)

分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值量化周期解構(gòu)成的集合為δ，令有界開(kāi)集為h，得到解向量的模態(tài)分布陣為

(17)

重新調(diào)整變量，得到解周期列向量l，在全局穩(wěn)定條件下，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值特征分解模型為

Q=δ(G′+l)+lT.

(18)

2.2 分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解的可解性

以上述分析結(jié)果為基礎(chǔ)，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解的漸近穩(wěn)定收斂條件滿(mǎn)足

(19)

如果S已知，反饋控制的修正慣性融合參數(shù)為

μ=Sf+|G′|.

(20)

分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解收斂的唯一性條件表示為

(21)

若gt-h=0，根據(jù)上述分析，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解的可解性分布為

(22)

(23)

根據(jù)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的外部解的穩(wěn)態(tài)特征，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析，得到的分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值是穩(wěn)態(tài)收斂的.

3 仿真測(cè)試

通過(guò)Matlab仿真測(cè)試分析分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解可解析及收斂性，設(shè)定迭代步數(shù)為2000，仿真次數(shù)為1200，得到分?jǐn)?shù)階微分方程組的解向量分布曲線如圖2所示.

圖2 分?jǐn)?shù)階微分方程組的解向量分布曲線

對(duì)圖2的分布曲線解析結(jié)果進(jìn)行擬合性分析，得到結(jié)果如圖3所示.

圖3 方程邊值解擬合結(jié)果

分析圖3得知，分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值解擬合性較好，參數(shù)融合跟蹤能力較強(qiáng)，說(shuō)明分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題具有可解性和收斂性.

4 結(jié)論

主要研究了分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性和收斂性.提出基于局部穩(wěn)態(tài)融合控制的分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析方法.根據(jù)線性Logistics邊值線性微分特征分解的方法，構(gòu)建邊值穩(wěn)定性變分時(shí)滯約束參數(shù)分析模型，采用Hopf分岔運(yùn)維參數(shù)分析的方法，獲取分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值量化周期解構(gòu)成的集合，結(jié)合橢圓型算子分析方法實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性和收斂性分析，最后計(jì)算邊值問(wèn)題的可解性的關(guān)系參數(shù)，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性的收斂性判斷.研究得知，本文模型能有效實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程組邊值問(wèn)題的可解性分析，收斂性較好，穩(wěn)定性較高.