一個新四維超混沌系統(tǒng)及其在圖像加密中的應(yīng)用*

黃迎久

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 工程訓(xùn)練中心，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，圖像、視頻等多媒體信息已成為網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)闹饕畔⑤d體，同時其安全問題也成為網(wǎng)絡(luò)安全方面的熱點課題.由于混沌系統(tǒng)具有初值敏感、偽隨機數(shù)離散度高等優(yōu)點，目前已被廣泛應(yīng)用于信息安全領(lǐng)域，尤其在圖像加密[1-5]方面.但是低維的混沌系統(tǒng)由于具有較低的Lyapunov指數(shù)和狹小的混沌區(qū)間等缺陷，使得在圖像加密算法中容易導(dǎo)致密鑰空間偏小和離散度偏低等漏洞，因此，運用低維混沌系統(tǒng)的圖像加密算法極有可能被成功破解[6-9].近幾年的研究表明，基于混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，其安全性很大程度依賴于混沌系統(tǒng)動力學(xué)行為的復(fù)雜性，而四維以上的超混沌系統(tǒng)其動力學(xué)行為更為復(fù)雜，是目前圖像加密算法的主要應(yīng)用系統(tǒng)[10-13].

文中新構(gòu)建了1個四維的超混沌系統(tǒng)，具有較高的Lyapunov指數(shù)，更為寬廣的混沌區(qū)間，能夠克服密鑰空間偏小等缺陷.文中的圖像加密算法結(jié)合了與明文相關(guān)聯(lián)的方法，將圖像分塊分解，并采用了兩輪次不同的置亂和擴散過程.

1 新構(gòu)建的四維超混沌系統(tǒng)

(1)

式中：當(dāng)a=14，b=36，c=7,m=4，p=-1，k=-10時，式(1)處于超混沌狀態(tài)，部分相圖如圖1所示.

2 基本動力學(xué)行為分析

2.1 耗散性

對于式(1)，有

(2)

根據(jù)耗散性理論可知，式(1)將以e△t指數(shù)速度收斂，當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)的體積元V會以e△t的速率趨近于零，所以式(1)為耗散性系統(tǒng)，因此確定式(1)存在混沌吸引子.

圖1 系統(tǒng)相圖(a)x-y-z方向；(b)x-y-w方向；(c)x-z方向；(d)y-z方向

2.2 平衡點

(3)

得(0,0,0,0)為式(3)的唯一解，因此，P(0,0,0,0)為式(1)僅有的1個平衡點，則在平衡點P的雅可比(Jacobian)矩陣為：

(4)

設(shè)λ為特征根，I為四階單位矩陣，求解行列式|λI-J|=0，得到4個特征根：λ1=-18.465 2，λ2=1.732 6+8.659 3i，λ3=1.732 6-8.659 3i，λ4=-9.其中，λ2和λ3均具有正的實數(shù)部分，根據(jù)Routh-hurwitz判斷條件，確定平衡點P(0,0,0,0)為不穩(wěn)定的鞍點.因此，系統(tǒng)存在混沌吸引子.

2.3 Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是衡量非線性動力系統(tǒng)混沌狀態(tài)的1個重要的指標(biāo)系數(shù).當(dāng)具有1個正的Lyapunov指數(shù)時，為混沌狀態(tài)；當(dāng)具有2個或以上正的Lyapunov指數(shù)時，為超混沌狀態(tài).

圖2 Lyapunov指數(shù)譜圖

2.4 龐加萊截面分析

龐加萊截面上的截點分布形狀，可以驗證非線性動力系統(tǒng)的混沌狀態(tài).若截面上出現(xiàn)大量截點，并且呈現(xiàn)片狀且具有分形的結(jié)構(gòu)時，則系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

圖3為x-z和y-z方向上的龐加萊截面圖.圖中的大量截點呈現(xiàn)分支形狀，因此確定式(1)處于混沌狀態(tài).

圖3 龐加萊截面圖(a)x-z方向；(b)y-z方向

3 圖像加密算法

圖像加密流程如圖4所示.測試圖像選用分辨率為256×256的灰度圖Airport，Lena和Peppers，圖像加密效果如圖5所示.

圖4 圖像加密流程圖

圖像加密算法具體過程如下：

(1)將明文圖像P平均分解為4個分塊P1，P2，P3，P4.

(2)第一次置亂.將P1，P2，P3，P4對應(yīng)的像素點按以下方法進行對換位置.

取P1中的像素點P1(i1,j1)：

若(i1+j1)mod4=1，則P1(i1,j1)與P2(i1,j1)進行對換；若(i1+j1)mod4=2，則P1(i1,j1)與P3(i1,j1)進行對換；若(i1+j1)mod4=3，則P1(i1,j1)與P4(i1,j1)進行對換.

取P2中的像素點P2(i2,j2)：

若(i2+j2)mod4=2，則P2(i2,j2)與P4(i2,j2)進行對換；若(i2+j2)mod4=3，則P2(i2,j2)與P3(i2,j2)進行對換.

取P3中的像素點P3(i3,j3)：

若(i3+j3)mod4=0，則P3(i3,j3)與P4(i3,j3)進行對換.

(3)任取超混沌系統(tǒng)的一組初始值，如(x0=0.1,y0=0.1,z0=0.1,w0=0.1)，帶入式(1)，采用四階龍格-庫塔迭代法，迭代N次(N>500)，取出一組迭代的值{x(N-100),y(N-100),z(N-100),w(N-100)}，根據(jù)以下公式分別將其轉(zhuǎn)換為整數(shù)：

i(x(N-100)×264+w(N-100)×264)mod128 ，

(5)

j(y(N-100)×264+z(N-100)×264)mod128 .

(6)

(4)從P1，P2，P3，P4中各自1個像素點Pm(i,j)，m=1,2,3,4.根據(jù)以下公式生成4個值k1，k2，k3，k4.

(7)

得到一組密鑰key={x0+k1,y0+k2,z0+k3,w0+k4}.

獲取明文圖像P的高度H與寬度W，利用密鑰key結(jié)合根據(jù)四階龍格-庫塔迭代法，迭代式(1)20 000次，獲取4個長度均為H×W的偽隨機序列S1，S2，S3，S4.

利用以下公式將4個偽隨機序列轉(zhuǎn)換為4個H×W的二維矩陣M1，M2，M3，M4.

Mi=(|Si|×264)mod256，i=1,2,3,4 .

(8)

(5)按照明文圖像分解的方法，將M1和M2分別分解為與P1，P2，P3，P4同樣大小的4個矩陣M11，M12，M13，M14；M21，M22，M23，M24.

共享云。包含外文期刊數(shù)據(jù)庫元數(shù)據(jù)、外文期刊（含紙本）元數(shù)據(jù)、外文期刊論文元數(shù)據(jù)、外文期刊核心目錄元數(shù)據(jù)、外文期刊論文引文元數(shù)據(jù)等若干元數(shù)據(jù)，主題規(guī)范詞表、學(xué)科規(guī)范詞表、機構(gòu)規(guī)范詞表以及管理統(tǒng)計分析指標(biāo)體系、管理統(tǒng)計分析系統(tǒng)。

(6)第一次擴散.根據(jù)下列公式將P1，P2，P3，P4中每一個像素點的值進行變換.

C1=(P1⊕M11)mod256⊕M21

C2=(P2⊕M12)mod256⊕M22

C3=(P3⊕M13)mod256⊕M23

C4=(P4⊕M14)mod256⊕M24.

(9)

(7)第二次擴散.將M3和M4分別分解為與C1，C2，C3，C4同樣大小的4個矩陣M31，M32，M33，M34；M41，M42，M43，M44.根據(jù)下列公式將C1，C2，C3，C4中每1個像素點的值進行變換.

Q1=((C1⊕M31)+M41)mod256

Q2=((C2⊕M32)+M42)mod256

Q3=((C3⊕M33)+M43)mod256

Q4=((C1⊕M34)+M44)mod256 .

(10)

(8)第二次置亂.按Q1，Q3，Q2，Q4的順序合并成為1個H×W的矩陣T，順時針旋轉(zhuǎn)90°；而后采用根據(jù)文獻[14]改進的Z字形變換，對矩陣T進行置亂，如圖6所示.

圖5 Airport加密與解密效果圖(a)明文圖像；(b)加密圖像；(c)還原圖像

圖6 Z字形變換圖

最終得到的T矩陣就是加密圖像的像素矩陣.

加密圖像的解密過程為圖像加密的逆過程，這里就不重復(fù)敘述.

4 仿真測試

4.1 密鑰空間分析

若式(1)的密鑰K={k1,k2,k3,k4}.其中k1，k2，k3，k4是由明文分塊P1，P2，P3，P4中各取1個像素點計算而生，若明文圖像分辨率為256×256，各分塊大小均為128×128，按64位CPU的計算能力來估算，密鑰K的每一個分量的浮點數(shù)運算精度均可達到1064，其則密鑰K的取值空間至少可達到232×10256，可見密鑰空間足夠大，完全可以抵御針對密鑰的暴力破解.

4.2 直方圖分析

由于明文圖像的相鄰像素點之間具有一定的關(guān)聯(lián)關(guān)系，所以其直方圖一般表現(xiàn)為波浪形狀，而加密圖像的相鄰像素點間的相鄰關(guān)系已被徹底打亂，因而其像素點均勻而密集分布在1個矩形區(qū)域內(nèi).

圖7為測試圖像Lena的明文圖像直方圖與加密圖像直方圖.

圖7 Lena直方圖(a)明文圖像直方圖；(b)加密圖像直方圖

4.3 相關(guān)系數(shù)分析

相關(guān)系數(shù)是衡量相鄰像素之間關(guān)聯(lián)性的1個指標(biāo)系數(shù).相關(guān)系數(shù)越趨近于1，相鄰像素點之間的相關(guān)性越高；相關(guān)系數(shù)的值越趨近于0，相鄰像素點之間的相關(guān)性越低.加密圖像的相關(guān)系數(shù)越低，就表明加密算法的安全性越高.相關(guān)系數(shù)的計算公式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

式(12)～(14)中：xi和yi為2個相鄰像素點的灰度值，N(N≥4000)為選取像素點的樣本數(shù).

表1 相關(guān)系數(shù)測試結(jié)果表

從表1的測試結(jié)果可以確定：加密圖像的相關(guān)系數(shù)都趨近于0，表明加密算法已徹底破壞了相鄰像素點之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，使得加密圖像中很難直接獲取明文圖像的原始像素，可見文中加密算法的性能優(yōu)于文獻[15]，[16]，[17]的加密算法.

圖8，9為測試圖像Peppers的明文圖像和加密圖像的相鄰像素相圖，其中橫、縱坐標(biāo)均代表像素點的灰度值.

圖8 Peppers明文圖像相鄰像素方向相圖(a)水平方向；(b)垂直方向；(c)對角方向

圖9 Peppers加密圖像相鄰像素方向相圖(a)水平方向；(b)垂直方向；(c)對角方向

圖8中，像素點都密集地聚集在1條線段上，也證實了明文圖像的相鄰像素點之間具有密切的關(guān)聯(lián)性；圖9中，加密圖像的像素點都散布在1個矩形區(qū)域內(nèi)，也證實了加密圖像的相鄰像素點已完全不具備關(guān)聯(lián)性.

4.4 明文圖像敏感性分析

明文圖像敏感性是指當(dāng)明文圖像的一些像素點的灰度值被改變后，用同一密鑰加密后，不同加密圖像之間的差異程度.加密圖像之間的差異越大，加密的效果越好，抵御差分攻擊能力越強.通常用像素改變率(number of pixels change rate,NPCR)和歸一化平均改變幅度(unified average changing intensity,UACI)2個指標(biāo)系數(shù)來進行評測.NPCR和UACI的計算公式如下：

(15)

(16)

(17)

式(15)～(17)中：H和W為圖像的高和寬，C1(i,j)、C2(i,j)為2個不同加密圖像的像素點的灰度值.其中，NPCR的理論最佳值為99.605 4%，UACI的理論最佳值為33.463 5%.

表2 NPCR和UACI測試結(jié)果表

表2的測試結(jié)果顯示，NPCR和UACI的測試結(jié)果非常接近于理論最佳值，優(yōu)于文獻[15]，[16]，[17]的測試結(jié)果.

4.5 密鑰敏感性分析

密鑰的敏感性是指當(dāng)密鑰發(fā)生極其微小的改變后，2個加密圖像之間產(chǎn)生的差異程度.密鑰敏感性越強，加密圖像所產(chǎn)生的差異程度越大，表明加密算法的安全性越高.

令密鑰Key={0.1,0.01,0.001,0.000 1}，將其4個分量分別進行微小的擾動，產(chǎn)生4個不同的密鑰，Key1={0.1+10-10,0.01,0.001,0.000 1}，Key2={0.1,0.01+10-10,0.001,0.000 1}，Key3={0.1,0.01,0.001+10-10,0.000 1}，Key4={0.1,0.01,0.001,0.000 1+10-10}.用密鑰Key對明文圖像Lena進行加密，再分別用密鑰Key1，Key2，Key3，Key4對加密圖像進行解密，解密效果如圖10所示.

從圖10看出，4個密鑰均無法正確還原出明文圖像，表明圖像加密算法的密鑰敏感性極強，完全有能力抵御針對密鑰的暴力攻擊.

圖10 密鑰敏感性測試效果圖(a)使用密鑰Key加密的圖像；(b)使用密鑰Key1解密的圖像；(c)使用密鑰Key2解密的圖像；(d)使用密鑰Key3解密的圖像；(e)使用密鑰Key4解密的圖像

4.6 信息熵分析

信息熵是香農(nóng)(Claude E.Shannon)提出來的1個度量信息不確定性的量.1個系統(tǒng)越是混亂，信息熵就越高.在圖像加密中，信息熵可以用來度量像素分布的離散度，像素排列得越混亂、越離散，信息熵就越高.信息熵的計算公式如下：

(20)

式中：p(xi)為像素點xi在圖像中出現(xiàn)的概率值，八位灰度圖的信息熵理論最佳值為8，表3為加密圖像信息熵的測試結(jié)果.

表3的測試數(shù)據(jù)顯示，加密圖像的信息熵都非常趨近于理論最佳值，表明文中加密圖像像素點的排列雜亂無序，離散度高，加密算法的可靠性高.

表3 信息熵測試結(jié)果

5 總結(jié)

通過仿真與測試，確定新構(gòu)建的超混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動力學(xué)行為和混沌屬性.在圖像加密的應(yīng)用中，其相關(guān)系數(shù)、信息熵等指標(biāo)系數(shù)均非常接近于理論最佳值，可以確定圖像加密算法具有更強的魯棒性和安全性，完全能夠抵御各種相關(guān)的攻擊，充分體現(xiàn)了其獨特的混沌特性在信息安全和信號處理等領(lǐng)域具有更為廣闊的應(yīng)用前景.