神奇的三角形內(nèi)的一點

王姍姍

一天，幾何學(xué)家佩多接到了一位經(jīng)濟學(xué)家打來的電話：如果等邊三角形內(nèi)有一個點P，無論P的位置在三角形內(nèi)如何變動，P到三角形三邊的距離之和是否總是不變呢？佩多教授馬上給了讓他滿意的答復(fù)：

如圖1，在等邊△ABC中，連接PA、PB、PC。用x、y、z分別表示點P到△ABC三邊的距離。設(shè)等邊△ABC邊長為a，高為h。

因為S△PBC=[12]ax，S△PAC=[12]ay，

S△PAB=[12]az，

所以S△PBC+S△PAC+S△PAB

=[12]ax[+12]ay[+12]az=S△ABC。

所以x+y+z=[2S△ABCa]。 ①

而由S△ABC=[12]ah，得

h=[2S△ABCa]，結(jié)合①可得，

x+y+z=h，即P到等邊三角形三邊的距離之和等于它的高。

通過解答過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，一個七年級的學(xué)生也能給這位經(jīng)濟學(xué)家滿意的答復(fù)，因為這只是運用了簡單的三角形的面積公式。但是，這個問題啟發(fā)我們思考：如果在任意一個三角形內(nèi)隨便放一個點，會有怎樣的發(fā)現(xiàn)呢？

如圖2，P為△ABC內(nèi)任意一點，分別連接AP、CP、BP并延長，交BC、AB、AC于點D、F、E。

根據(jù)題意，得S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，

則[S△PBCS△ABC][+S△PACS△ABC][+S△PABS△ABC]=1。 ②

因為[S△PBDS△ABD]=[PDAD]，[S△PDCS△ADC]=[PDAD]（高相等，三角形面積之比等于底之比），

所以[S△PBD+S△PDCS△ABD+S△ADC]=[PDAD]，

即[S△PBCS△ABC]=[PDAD]。 ③

同理可得[S△PABS△ABC]=[PFCF]。 ④

[S△PACS△ABC]=[PEBE]。 ⑤

將③、④、⑤相加，得

[S△PBCS△ABC]+[S△PABS△ABC][+S△PACS△ABC]=[PDAD][+PFCF][+PEBE]。

由②得：[PDAD][+PFCF][+PEBE]=1。

由簡單的三角形面積公式和比例的性質(zhì)，我們得到了這樣一個較為復(fù)雜的結(jié)論。這個問題還可以繼續(xù)衍生下去。AP、CP、BP的延長線與三角形三邊的交點為D、F、E，它們將三角形三邊分成了六條線段，這六條線段之間有沒有特殊的數(shù)量關(guān)系呢？

塞瓦定理告訴我們[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1。如何證明呢？

證明：[DCDB=S△ADCS△ABD=S△PDCS△PBD=]

[S△ADC-S△PDCS△ABD-S△PBD=S△APCS△ABP] ⑥。

同理可得：[FBFA=S△BPCS△APC] ⑦，

[EAEC=S△ABPS△BPC] ⑧。

將⑥、⑦、⑧相乘即可得到[DCDB]·[FBFA]·[EAEC]=1，這個看似復(fù)雜的定理仍然是由簡單的三角形面積公式和比例的性質(zhì)得到。

看似平凡的三角形內(nèi)的一點，藏著多少神奇和奧秘！一個基本圖形就像一個萬花筒，稍一轉(zhuǎn)動，就能變幻多端、綻放光彩，其實只有幾片不起眼的涂色紙片而已。

（作者單位：江蘇省無錫市西漳中學(xué)）