概率論的開端

楊莉亞

1654年，喜歡賭博的法國貴族謝瓦利埃·迪默勒向數(shù)學(xué)家布萊斯·帕斯卡提出了一個(gè)問題：如何在一場未完成的賭局中分配賭注。“賭注”是每個(gè)賭徒在賭博開始時(shí)下注的金額。按照慣例，一旦下注，在賭局結(jié)束前，賭注就不屬于任何人，而在賭局結(jié)束時(shí)，贏家才會(huì)得到所有下注的錢。迪默勒的問題，現(xiàn)在被稱為“點(diǎn)數(shù)問題”，即如果玩家的部分點(diǎn)數(shù)是已知的，如何分配中斷賭局的下注賭金。為了做到“公平”，答案應(yīng)該以某種方式反映出每個(gè)玩家在比賽結(jié)束時(shí)獲勝的可能性。以下是迪默勒點(diǎn)數(shù)問題的簡單版本。

澤維爾和伊萬每人在擲硬幣游戲上各下注10美元，然后輪流擲硬幣。如果硬幣落地時(shí)正面朝上，擲硬幣的玩家會(huì)得一個(gè)點(diǎn);否則，另一個(gè)玩家會(huì)得一個(gè)點(diǎn)。第一個(gè)得3個(gè)點(diǎn)的玩家可贏得20美元。現(xiàn)在假設(shè)當(dāng)澤維爾得2個(gè)點(diǎn)，伊萬得1個(gè)點(diǎn)，而澤維爾正準(zhǔn)備擲硬幣時(shí)，游戲不得不取消。那這20美元的公平分配方法是什么？

帕斯卡考慮了在這種中斷的游戲中所有可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并把這個(gè)問題寫信告訴了另一位著名的法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬，從他們的通信中出現(xiàn)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這兩位數(shù)學(xué)家用了不盡相同的方法得出了同樣的答案。下面是帕斯卡的方法：

在擲硬幣游戲中，一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲出正面或反面的機(jī)會(huì)是均等的。如果每個(gè)玩家都有2個(gè)點(diǎn)，那么在下一次擲硬幣的時(shí)候，每個(gè)玩家都有同樣的機(jī)會(huì)贏得游戲，所以每個(gè)玩家在該階段得到賭注的一半（10美元）是公平的。在案例中的情況下，澤維爾已得2個(gè)點(diǎn)，伊萬得1個(gè)點(diǎn)。如果澤維爾擲硬幣贏了，他得3個(gè)點(diǎn)，因此可得20美元。如果澤維爾輸了，那么每個(gè)玩家都有2個(gè)點(diǎn)，每人可得10美元。因此，澤維爾目前至少可保證得到10美元。由于澤維爾同樣有可能在這次擲硬幣中贏或輸，所以剩下的10美元應(yīng)該由兩人平分。因此，澤維爾應(yīng)該得15美元，而伊萬得5美元。

帕斯卡依次處理了中斷游戲的其他案例，將每一種情況都化約到先前已解決的情況，并相應(yīng)地將錢分開。當(dāng)帕斯卡和費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)這兩種方法都能得到相同的答案后，他們的書信往來卻中斷了。然而，他們的這段探討直到很久之后才為人所知。

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)禮河實(shí)驗(yàn)學(xué)校）