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    比例時滯脈沖細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性

    2021-05-13 03:15:40龔愛愛許友軍劉柏林
    關(guān)鍵詞:平衡點時滯脈沖

    龔愛愛,許友軍,劉柏林

    (南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

    0 引 言

    近些年來,脈沖微分方程的研究受到了許多學(xué)者和專家的關(guān)注[1-3],同時,在許多領(lǐng)域中,如控制技術(shù)、藥物管理和生物學(xué)等的閥值中出現(xiàn)了具有時滯脈沖細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性[4-6]。文獻(xiàn)[7]研究了比例時滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的脈沖控制全局功率率同步問題。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用了Lyapunov法和線性矩陣不等式(LMI)方法得時滯脈沖細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。文獻(xiàn)[9]通過非線性變換和非線性測度方法分析比例時滯CNNs。文獻(xiàn)[10]利用Lyapunov 函數(shù)和Razumikhin 技巧分析了泛函微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性。

    本文通過構(gòu)造合適的Lyapunov 函數(shù)和Razumikhin 技巧研究了系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性,并獲得了該系統(tǒng)平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定性的一個時滯依賴的充分條件。

    1 模型描述和預(yù)備知識

    研究如下比例時滯脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

    (1)

    在系統(tǒng)(1)中,假設(shè)滿足下列條件:

    A1:存在常數(shù)Li>0,使得|Fi(u)-Fi(v)|≤Li|u-v|,其中u,v∈R,i=1,2,…,n。

    A2:系統(tǒng)(1)存在唯一的平衡點y*。

    (2)

    定義2 設(shè)函數(shù)V:[t0,∞)×Rn→R+,若V(t,x)滿足:

    (ii)在x∈Rn上,V(t,x)是局部Lipschitz的,對于任意的t≥t0滿足V(t,0)≡0;則函數(shù)V∈v0。

    定義3 設(shè)函數(shù)V∈v0,V的Dini導(dǎo)數(shù)定義為:

    定義4 對于任意初始值xt0=ψ,存在常數(shù)λ≥0,M≥1,使得:

    ‖x(t,t0,ψ)‖≤M‖ψ‖e-λ(t-t0),t≥t0,

    則稱系統(tǒng)(2)的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的。

    2 穩(wěn)定性分析

    定理1 假設(shè)存在函數(shù)V∈v0,p、c1、c2、λ為大于0的常數(shù),c2>c1,k=1,2,…,n。滿足下列條件:

    (i)c1‖x(t)‖≤V(t,x(t))≤c2‖x(t)‖;

    則系統(tǒng)(2)的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的。

    證明:設(shè)x(t)=x(t,t0,ψ)為系統(tǒng)(2)的解,V(t)=V(t,x),下面要證明:

    V(t)≤c2‖ψ‖e-λ(t-t0),t∈[tk-1,tk)其中k=1,2,…,n。

    當(dāng)t∈[qt0,t0]時,由條件(i)得,

    V(t)-c2‖ψ‖e-λ(t-t0)≤V(t)-c2‖ψ‖≤0。

    建立Q(t)=V(t)-c2‖ψ‖e-λ(t-t0),t∈[tk-1,tk)其中k=1,2,…,n,只需要證明當(dāng)t≥t0時,Q(t)≤0。

    當(dāng)t∈[t0,t1)時,假設(shè)Q(t)≤0不成立,則存在t∈[t0,t1)使得Q(t)>0,又因為當(dāng)t=t0時Q(t0)≤0,Q(t)連續(xù),所以存在t*=inf{t∈[t0,t1]:Q(t)>0}使得Q(t*)=0,D+Q(t*)>0,故有Q(t)≤0,t∈[qt0,t*],

    當(dāng)t=t*時,V(t)滿足下列等式:

    V(t*)=Q(t*)+c2‖ψ‖e-λ(t*-t0);

    所以當(dāng)t=qt*時可得出:

    由條件(ii)得,D+V(t*)≤-h(t*)V(t*) ,可得Q(t)在t=t*處的倒數(shù):

    與D+Q(t*)>0相矛盾,因此Q(t)≤0,t∈[t0,t1)。假設(shè)當(dāng)t∈[t0,tm),m≥1時,Q(t)≤0,接下來證明當(dāng)t∈[t0,tm+1),m≥1時,Q(t)≤0。

    由條件(iii)可得出:

    接下來證明當(dāng)t∈(tm,tm+1)時,Q(t)≤0;假設(shè)該不等式不成立,由Q(tm)≤0和Q(t)的連續(xù)性可知存在t*=inf{t∈[tm,tm+1]:Q(t)>0}使得Q(t*)=0和Q(t)≤0,t∈[t0,t*]。

    因為V(t*)=Q(t*)+c2‖ψ‖e-λ(t*-t0),

    即可得出:

    由條件(ii)得,D+V(t*)≤-h(t*)V(t*),則有:

    與假設(shè)矛盾,因此Q(t)≤0,t∈(tm,tm+1)。由歸納法可知Q(t)≤0,t≥t0。

    即得出:

    V(t)≤c2‖ψ‖e-λ(t-t0),t∈[tk-1,tk)其中k=1,2,…,n。

    由條件(i),得c1‖x‖≤V(t)≤c2‖ψ‖e-λ(t-t0),所以有‖x‖≤M‖ψ‖e-λ(t-t0),t≥t0,其中M=(c1/c2)≥1,因此系統(tǒng)(2)的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的,也就是說,系統(tǒng)(1)中的平衡點也是指數(shù)穩(wěn)定的,收斂指數(shù)為λ。

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