神奇的自然常數(shù)e和一個重要極限

楊安平 周金剛

摘 要：極限的運算是高等數(shù)學(xué)的三大基本運算之一，本文闡述了自然常數(shù)e的發(fā)現(xiàn)過程，高等數(shù)學(xué)中的一個重要極限的證明和應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：自然常數(shù)，重要極限，核心地位

中圖分類號：G633

世界上原本沒有數(shù)學(xué)，只有十個數(shù)字，甚至這十個數(shù)字也是阿拉伯人發(fā)明的。數(shù)學(xué)是人們在認(rèn)識自然和改造自然的過程中產(chǎn)生的，為了計數(shù)，人們發(fā)明了數(shù)字。用字母代替數(shù)字，產(chǎn)生了代數(shù)學(xué)。為了求圖形的面積，產(chǎn)生了幾何學(xué)，隨著人類文明的進(jìn)步，科技的發(fā)展，逐漸出現(xiàn)了微積分學(xué)，概率和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)，線性代數(shù)學(xué)，復(fù)變函數(shù)論等數(shù)學(xué)分支。數(shù)學(xué)來源于生活，它又為我們的生活服務(wù)。

在1690年，萊布尼茨在信中第一次提到常數(shù)e。在論文中第一次提到常數(shù)e，是約翰·納皮爾（John Napier）于1618年出版的對數(shù)著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數(shù)，只有由它為底計算出的一張自然對數(shù)列表，通常認(rèn)為是由威廉·奧特雷德（William Oughtred）制作。第一次把e看為常數(shù)的是雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）。歐拉也聽說了這一常數(shù)，所以在27歲時，用發(fā)表論文的方式將e“保送”到微積分。

已知的第一次用到常數(shù)e，是萊布尼茨于1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用e來表示這常數(shù);而e第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學(xué)》（Mechanica）。雖然以后也有研究者用字母c表示，但e較常用，終于成為標(biāo)準(zhǔn)。以e為底的指數(shù)函數(shù)的重要方面在于它的函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)相等。e是無理數(shù)和超越數(shù)（見林德曼-魏爾斯特拉斯定理（Lindemann-Weierstrass））。這是第一個獲證的超越數(shù)，而非故意構(gòu)造的（比較劉維爾數(shù)）;由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）于1873年證明。其實，超越數(shù)主要只有自然常數(shù)e和圓周率π。自然常數(shù)的知名度比圓周率低很多，原因是圓周率更容易在實際生活中遇到，而自然常數(shù)在日常生活中不常用。

這里以一個銀行存款的例子簡單描述一下：我們在銀行存款是有利息的，而利息和本金一起，賺取更多的利息。當(dāng)然，銀行不是慈善家，銀行的定期利息是很低的。

通過以上學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識自然常數(shù)的來歷和重要公式的證明及應(yīng)用，教師在講解一個知識點時，要用生動的例子引入課題，探究事物的本質(zhì)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。

參考文獻(xiàn)：

[1]ELIMAOR.E的故事[M].北京：人民郵電出版社，2012.

（黃岡科技職業(yè)學(xué)院 湖北黃岡 438000）