“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”在一元微積分教學(xué)中的應(yīng)用淺析

薛亞宏

（甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電信學(xué)院,甘肅 天水 741025）

一元微積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，分布著許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想與方法，這些重要的思想方法從不同維度、不同階段以不同的“形式”體現(xiàn)著數(shù)學(xué)之美.在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念描述之后，一系列“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”被依次呈現(xiàn)出來，它們以極限為出發(fā)點(diǎn)，貫穿于導(dǎo)數(shù)、微分、積分.甚至于，在更高階、更復(fù)雜的數(shù)值運(yùn)算領(lǐng)域，其最后的計(jì)算落腳點(diǎn)卻體現(xiàn)為極其樸素的數(shù)學(xué)原理或數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1].

基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法論，在微積分教學(xué)之初便應(yīng)當(dāng)主動(dòng)地、以潛移默化的方式滲透到整體個(gè)微積分體系當(dāng)中，并付諸一定量的運(yùn)算實(shí)踐予以加強(qiáng)，以更深刻、更直觀地體會(huì)模型建構(gòu)的重要性，把握“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”在微積分中的重要意義，為多元微積分、數(shù)列、級(jí)數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)建立相對(duì)穩(wěn)定的方法體系.

1 “數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”在一元微積分中的分布

“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”最初散布于極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等領(lǐng)域，在多元微積分中以極限為“線索”再次進(jìn)入視線，從計(jì)算原理、計(jì)算難度上未有大幅提升，故以下就一元微積份為例，簡述“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”在微積分各教學(xué)節(jié)點(diǎn)中的分布.

1.1 在極限中的分布

極限是貫穿于微積分始終的一條靈魂，在整個(gè)微積分體系中扮演著極其重要的角色，特別是在微積分的原始定義中，無論一元還是多元無不閃耀著“極限的光?！保羁腆w會(huì)極限思想也是準(zhǔn)確把握微積分本質(zhì)的關(guān)鍵[2].

在極限的教學(xué)中，“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”首次出現(xiàn)在“兩個(gè)重要極限”一節(jié)中，具體為：

以上兩組關(guān)于極限的公式中，“▎”均為任意非零“整體”.嚴(yán)格來講，從符號(hào)學(xué)上兩者并無本質(zhì)區(qū)別，但從形式上卻消除了變量x的束縛，以更為廣泛化、結(jié)構(gòu)化的方式重新展現(xiàn)，可稱之為極限運(yùn)算領(lǐng)域內(nèi)一種特殊的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”.

1.2 在導(dǎo)數(shù)中的分布

導(dǎo)數(shù)是一種特殊的、類型化的極限表現(xiàn)形式，也是一種“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義，可簡述為“增量比的極限”.特別是在變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度、曲線的切線斜率、電流強(qiáng)度等經(jīng)典案例中，雖出自不同領(lǐng)域，但卻表現(xiàn)出驚人的共性，即“極限結(jié)構(gòu)”的一致性，完整描述為：“函數(shù)值增量與自變量增量的比值，當(dāng)自變量增量趨近于0時(shí)的極限”，即：

以上導(dǎo)數(shù)基本定義中，認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)是一類特殊且廣泛存在的“極限結(jié)構(gòu)”非常重要，在積分中亦是如此.

在自變量變化的微觀層面，為求解一系列問題的近似值，引入了微分，最初形式為：

以上微分定義中，Δy的線性部分即“微分”也是一種“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，它的本質(zhì)是當(dāng)自變量發(fā)生微小改變時(shí)函數(shù)值改變量的主要部分，也是微分存在的意義.前提是Δy與微分f'()x0?Δx的差值必須為Δx的高階無窮小，即當(dāng)Δx→0時(shí)，這個(gè)差值趨于零的速度比Δx更快，它的幾何表現(xiàn)是：曲線端點(diǎn)在接近過程中，相比于水平間隔的縮小速率，割線變化率與切線變化率之差（縱向變化）比其更快.

1.3 在積分中的分布

不定積分的出現(xiàn)，揭開了微積分的冰山一角，直至定積分結(jié)束，才初步構(gòu)建了相對(duì)完整的一元微積分學(xué)的框架.在不定積分的積分方法中，無論換元法還是分部法均以基本積分公式為依照，這些基本的微積分公式共有16組，均一一對(duì)應(yīng)，每個(gè)公式可視為一種“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，比如：

以上正余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分公式中，“▎”代表任意函數(shù)整體，即從以x為自變量的公式中解放出來，以一種“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的形態(tài)呈現(xiàn)，并對(duì)換元法（湊微分）的運(yùn)用產(chǎn)生直接影響.

類似地，其他導(dǎo)數(shù)與積分公式均可采用“以▎代x”的思路來解決一元微積分學(xué)中大量的求導(dǎo)求積分運(yùn)算，并通過反復(fù)實(shí)踐，不斷體會(huì)“結(jié)構(gòu)”在微積分計(jì)算中的重要意義.

2 “數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”在一元微積分中的應(yīng)用

2.1 在極限教學(xué)中的應(yīng)用

極限的形式多樣且復(fù)雜，下面以兩個(gè)重要極限為例，演示“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的具體應(yīng)用：

以上極限運(yùn)算中，“▎”代表任意函數(shù)整體.結(jié)構(gòu)化的計(jì)算方式與換元法無本質(zhì)上的區(qū)別，其意義在于弱化換元思想，從“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”層面去思考問題，解決問題，從中體會(huì)“結(jié)構(gòu)”對(duì)于數(shù)學(xué)的意義，進(jìn)而在后續(xù)積分運(yùn)算中更好地理解導(dǎo)數(shù)和積分在極限方面的相似性，從而領(lǐng)悟到極限之所以稱之為“微積分學(xué)的靈魂”的實(shí)質(zhì)，并能牢牢把握極限這一主線[3].

2.2 在導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是根本，無論嵌套多少層，其本質(zhì)依然是基本導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以下以三層復(fù)合為例做演示：

以上復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算中，在正確分解的情況下，應(yīng)用基本導(dǎo)數(shù)公式對(duì)每層基本初等函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，回代后得到結(jié)果.通常來說，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)往往會(huì)省略分解過程而直接進(jìn)行求導(dǎo)，這本身就是“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的反復(fù)應(yīng)用，其體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的“簡潔性”和函數(shù)形式的不變性，即無論復(fù)雜程度如何，均可視為由基本初等函數(shù)復(fù)合而成，是“化整為零”思想的另一種表現(xiàn)[4].

2.3 在積分教學(xué)中的應(yīng)用

第一換元法是積分的基礎(chǔ)，因核心在于微分形式的不變性，所以又稱為湊微分法.在積分的教學(xué)中，換元法雖解題思想較為簡單，但須以熟記17組（34個(gè)）基本積分公式為前提，因此學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)掌握仍有難度.經(jīng)過一段時(shí)間的大量練習(xí)之后，學(xué)生會(huì)逐漸體會(huì)到，換元法的“化繁為簡”思想，關(guān)鍵在于對(duì)積分表達(dá)式要有一種“整體觀”，始終要將公式（即“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”）了熟于心，那么在積分過程中解題思路會(huì)更加清晰，通過對(duì)不同“結(jié)構(gòu)”的反復(fù)應(yīng)用，達(dá)到對(duì)積分計(jì)算駕輕就熟的效果.以下以第一換元法為例進(jìn)行演示：

通過換元回代，得積分結(jié)果為

通過換元回代，得積分結(jié)果為

以上兩個(gè)換元法案例，采用的是第一換元法.經(jīng)換元后呈現(xiàn)為基本積分公式，即回歸為基本的積分結(jié)構(gòu).事實(shí)上，所有的一元函數(shù)的積分包括第一換元法、第二換元法、分部積分法，無論原積分表達(dá)式如何復(fù)雜，通過多次換元和整理，都將化為基本的積分結(jié)構(gòu).

3 教學(xué)中需注意的問題

3.1 深刻認(rèn)識(shí)“結(jié)構(gòu)不變性”

由于極限在一元微積分中的特殊意義，許多涉及微積分的定義中都將極限作為工具，如導(dǎo)數(shù)為“增量比”的極限，定積分為“和”的極限，所以在極限層面存在許多相通之處，最終體現(xiàn)為一大批以x為變量的基本公式.特別地，理論教學(xué)應(yīng)當(dāng)明確指出公式自身的結(jié)構(gòu)性，在現(xiàn)實(shí)中，在不以x為變量的問題中，更應(yīng)深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的廣泛性，進(jìn)而將實(shí)踐和理論能有機(jī)聯(lián)系起來[5].

3.2 與專業(yè)課程的對(duì)接

一元函數(shù)微積分教學(xué)是數(shù)學(xué)從初等數(shù)學(xué)進(jìn)入高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域后最先接觸的領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)方法、理念、思想方面均有較大區(qū)別，如“由規(guī)則到不規(guī)則，由直到曲，由不變到變”等，這些變化，給學(xué)生帶來了一些困惑.特別是在微積分理論體系和專業(yè)實(shí)踐之間的融合方面，是教與學(xué)的難點(diǎn)，直接影響對(duì)專業(yè)課中大量微積分計(jì)算的實(shí)質(zhì)理解，如微積分在什么情況下介入，為什么會(huì)引進(jìn)微積分，以及大量微積分計(jì)算問題[6].我們意識(shí)到，只有徹底理解微積分的本質(zhì)并熟練掌握微積分計(jì)算，才能有效解決微積分與專業(yè)課的融合問題.通過長期的教學(xué)實(shí)踐與反饋，“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”不僅體現(xiàn)在理論層面，在許多專業(yè)實(shí)踐涉及的數(shù)學(xué)問題中，更多地是一種數(shù)學(xué)思想，具體體現(xiàn)為某種特定的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，如在建筑力學(xué)、電子通信、電法勘探、成本會(huì)計(jì)等學(xué)科領(lǐng)域中十分普遍，其數(shù)學(xué)共性大體上分為兩類，動(dòng)態(tài)變化率問題和不規(guī)則累積問題，在微積分教學(xué)中，應(yīng)通過現(xiàn)實(shí)應(yīng)用案例突出這些數(shù)學(xué)思想.

4 結(jié)語

一元函數(shù)微積分在高等數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是數(shù)學(xué)各學(xué)科分支以及理工科專業(yè)重要的公共基礎(chǔ).對(duì)一元函數(shù)微積分學(xué)的教學(xué)應(yīng)始終把握極限這一主線，在導(dǎo)數(shù)、積分中予以貫穿.在關(guān)于極限、導(dǎo)數(shù)、積分的計(jì)算中強(qiáng)化數(shù)學(xué)公式的“結(jié)構(gòu)性”，弱化x作為變量符號(hào)的狹義作用，強(qiáng)化“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”計(jì)算理念，使其在更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)具有普適性.