基于改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)的多維參數(shù)天線設(shè)計(jì)方法*

孟雯雯，胡 聰，趙建平，徐 娟

（曲阜師范大學(xué)，山東 曲阜 273165）

0 引言

隨著現(xiàn)代通信技術(shù)的發(fā)展，通信系統(tǒng)對微波天線的要求日益嚴(yán)格，天線模型也越來越復(fù)雜。為了使微波天線滿足通信系統(tǒng)的不同需求，需要不斷對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提高，同時(shí)為了提高微波天線的設(shè)計(jì)效率，降低時(shí)間成本，利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)微波天已經(jīng)成為一種必然趨勢。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種快速建立映射關(guān)系的方法[1-2]，理論表明，只需兩層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)便可表征任意高階的非線性函數(shù)輸入與輸出之間的關(guān)系[3]，但是傳統(tǒng)的單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要經(jīng)過大量的迭代來優(yōu)化其網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，存在訓(xùn)練速度慢、學(xué)習(xí)能力差、預(yù)測不準(zhǔn)確等問題。

極限學(xué)習(xí)機(jī)（Extreme Learning Machine，ELM）是一種基于前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的新型機(jī)器學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)速度快，并且具有良好的泛化能力[4]，因此可以通過其來建立微波天線設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間的關(guān)系模型，以代替煩瑣復(fù)雜的數(shù)值或全波電磁仿真計(jì)算。為了使建立的模型擁有較高的精度，ELM通常需要大量的訓(xùn)練樣本來進(jìn)行學(xué)習(xí)，過多的訓(xùn)練樣本又會(huì)導(dǎo)致時(shí)間成本的提高。

鑒于此，本文提出一種改進(jìn)的極限學(xué)習(xí)機(jī)方法，該方法旨在利用較少的訓(xùn)練樣本得到較高的預(yù)測準(zhǔn)確度，并采用該方法建立微波天線設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間的關(guān)系；該方法同時(shí)結(jié)合拉丁超立方抽樣獲取訓(xùn)練樣本的設(shè)計(jì)參數(shù)，提高訓(xùn)練樣本的質(zhì)量；通過HFSS-Matlab-Api庫函數(shù)實(shí)現(xiàn)微波天線的自動(dòng)化設(shè)計(jì)，節(jié)省人力成本。

1 理論原理

1.1 極限學(xué)習(xí)機(jī)

極限學(xué)習(xí)機(jī)比傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)算法速度更快，泛化能力更強(qiáng)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

圖1中，x為網(wǎng)絡(luò)輸入，y為網(wǎng)絡(luò)輸出，L為隱含層神經(jīng)元數(shù)目，ω為輸入層到隱含層的輸入權(quán)重，表示如下：

θ為隱含層神經(jīng)元的閾值，表示如下：

β為隱含層到輸出層的輸出權(quán)重。

在極限學(xué)習(xí)機(jī)中，L由人為確定，因此網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為輸入權(quán)重ω、隱含層神經(jīng)元閾值θ以及輸出權(quán)重β。

在實(shí)際工作中，極限學(xué)習(xí)機(jī)包括訓(xùn)練和預(yù)測兩個(gè)過程。

（1）訓(xùn)練過程：已知極限學(xué)習(xí)機(jī)訓(xùn)練樣本的輸入和輸出，求輸入與輸出之間的映射關(guān)系。

設(shè)有N個(gè)任意的訓(xùn)練樣本(Xi,Yi)，輸入Xi為n維，即Xi=[xi1,xi2,…,xin]T，輸出Yi為m維，即Yi=[yi1,yi2,…,yim]T，隱含層為L個(gè)神經(jīng)元的極限學(xué)習(xí)機(jī)可以表示如下：

式中，Wi=[wi1,wi2,…,win]T為輸入權(quán)重，θi為隱含層第i個(gè)神經(jīng)元的閾值，βi為輸出權(quán)重，·表示內(nèi)積，g(x)為激活函數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的目標(biāo)是使網(wǎng)絡(luò)的輸出與樣本的輸出誤差最小，表示為：

在極限學(xué)習(xí)機(jī)中，如果輸入權(quán)重Wi和閾值θi被隨機(jī)或人為給定，那么式（6）中的矩陣H就被唯一確定，則輸出權(quán)重β可通過下式計(jì)算得到：

式中，H+為矩陣H的廣義逆。

（2）預(yù)測過程：已知極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸入和輸出之間的映射關(guān)系，求極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸出。

在預(yù)測過程中，極限學(xué)習(xí)機(jī)輸入權(quán)重ω、閾值θ和輸出權(quán)重β已知，給定樣本輸入X，根據(jù)式（6）～式（9）便可求得樣本輸出Y。

傳統(tǒng)的極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸入權(quán)重和閾值是隨機(jī)或人為給定的，因此預(yù)測具有一定的不確定性，且準(zhǔn)確度較低。為了提高極限學(xué)習(xí)機(jī)的預(yù)測能力，降低訓(xùn)練樣本數(shù)量，利用頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法確定其最優(yōu)的輸入權(quán)重和閾值，利用最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的極限學(xué)習(xí)機(jī)建立天線設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間的映射關(guān)系。

1.2 基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法

頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法（Brain Storm Optimization Algorithm，BSO）是根據(jù)人類在群體決策時(shí)進(jìn)行頭腦風(fēng)暴會(huì)議的啟發(fā)而提出的新的群智能優(yōu)化算法，算法采用聚類的思想搜索局部最優(yōu)解，通過迭代比較局部最優(yōu)解，最終得到全局最優(yōu)解，在求解大規(guī)模高維函數(shù)最優(yōu)化問題時(shí)具有巨大優(yōu)勢。

傳統(tǒng)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法采用隨機(jī)策略初始化產(chǎn)生初始解，由于初始解質(zhì)量不確定，導(dǎo)致最終迭代結(jié)果的質(zhì)量和收斂速度較差。因此，本文提出基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法以優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)的輸入權(quán)重和閾值。

反向?qū)W習(xí)策略[5]的主要思想是尋找初始種群的反向種群，通過當(dāng)前種群與反向種群之間的競爭，選取最優(yōu)的解進(jìn)行后續(xù)的迭代優(yōu)化過程。

圖2 反向數(shù)示意圖

如圖2所示，在D維空間中，存在點(diǎn)x=(x1,x2,…,xD)，其中x1,x2,…,xD∈R且則反向數(shù)定義如下：

由所有反向數(shù)組成反向點(diǎn)，定義如下：

在種群初始化中，同時(shí)計(jì)算x和的適應(yīng)度值，保留適應(yīng)度值優(yōu)的作為候選解，定義如下：

基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法步驟如下：

（1）采用式（14）初始化產(chǎn)生N個(gè)初始解，計(jì)算N個(gè)初始解的反向點(diǎn)。

（2）根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算所有初始解及反向點(diǎn)的適應(yīng)度值，通過比較確定最優(yōu)的初始解。

（3）根據(jù)相似性，利用K均值聚類將初始解分成M個(gè)類，計(jì)算初始解的適應(yīng)度值，挑選出每個(gè)類中適應(yīng)度值最優(yōu)的解作為類中心。

（4）設(shè)置P1值，隨機(jī)生成范圍為[0,1]的數(shù)r1，如果r1

（5）設(shè)置P2值，隨機(jī)生成范圍為[0,1]的數(shù)r2，如果r2

（a）基于一個(gè)類生成新的解：根據(jù)類包含的解的數(shù)量來選擇根據(jù)哪一個(gè)類生成新解，一個(gè)類包含的解越多，那么這個(gè)類被選擇的機(jī)會(huì)就越大。然后判斷使用被選擇的類的中心還是同一類中的隨機(jī)解生成新解，該操作由P3控制，隨機(jī)生成范圍為[0,1]的數(shù)r3，如果r3

式中，N(0,1)是均值為0和方差為1的高斯隨機(jī)值，ξ是控制高斯隨機(jī)值的系數(shù)，計(jì)算如下：

式中，T是最大迭代次數(shù)，t是當(dāng)前迭代次數(shù)。加權(quán)系數(shù)ξ(t)在初始迭代期間將有較大的值，在最終迭代期間將有較小的值，有利于在初期擴(kuò)大搜索范圍，在后期提高搜索精度。

（b）基于兩個(gè)類生成新思想：該步驟與（a）類似，隨機(jī)選擇兩個(gè)類，然后判斷使用被選擇的兩個(gè)類的中心還是兩個(gè)類中的隨機(jī)思想生成新思想，該操作由P4控制，隨機(jī)生成范圍為[0,1]的數(shù)r3，如果r3

式中，R是范圍為[0,1]的隨機(jī)數(shù)，然后通過式（15）生成新的想法。

步驟（3）中偶爾利用隨機(jī)生成的解替換類中心，可以避免算法陷入局部最優(yōu)。步驟（4）中基于一個(gè)類生成新的解能夠使算法收斂到一定區(qū)域內(nèi)，加快算法收斂速度；基于兩個(gè)類生成新的解有助于提高算法的探索能力，避免陷入局部最優(yōu)。該算法在保證收斂性的情況下搜索全局最優(yōu)解，非常適合于求解高維函數(shù)的優(yōu)化問題。

1.3 拉丁超立方抽樣

拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）是一種從多元參數(shù)分布中近似隨機(jī)抽樣的方法，可以以較少的采樣次數(shù)獲得較高的采樣精度，使樣本均勻產(chǎn)生在各個(gè)區(qū)間。

設(shè)在n維向量空間中抽取m個(gè)樣本，LHS的步驟如下：

（1）將n維向量空間中的每一維度分成互不重合的m個(gè)均勻區(qū)間，使每個(gè)區(qū)間有相同的概率；

（2）在每一維度里的每個(gè)區(qū)間中隨機(jī)抽取一點(diǎn)；

（3）從每一維度里隨機(jī)抽?。?）中選取的點(diǎn)，將它們組成向量。

在二維向量空間中抽取10個(gè)樣本，每維度取值范圍為[-10,10]，LHS模擬抽樣結(jié)果如圖3所示。

圖3 二維空間LHS模擬抽樣結(jié)果

1.4 Matlab-HFSS聯(lián)合仿真

HFSS-Matlab-Api是Matlab軟件中的一個(gè)庫函數(shù)，利用該庫函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)HFSS軟件腳本的生成、修改和運(yùn)行，通過在腳本中寫入HFSS模型建模、修改設(shè)計(jì)參數(shù)等代碼，即可實(shí)現(xiàn)Matlab控制HFSS軟件仿真。

利用HFSS-Matlab-Api實(shí)現(xiàn)Matlab-HFSS聯(lián)合仿真的方法有兩種：

（1）直接在Matlab中利用HFSS-Matlab-Api編寫腳本并運(yùn)行，調(diào)用HFSS進(jìn)行模型創(chuàng)建、仿真等操作，實(shí)現(xiàn)全自動(dòng)化。

該方法可以使模型的建立工作完全在Matlab中實(shí)現(xiàn)，無須在HFSS模型中繪制，對于建立設(shè)計(jì)參數(shù)精細(xì)和具有周期性結(jié)構(gòu)的模型非常方便。但是由于在Matlab編程過程中不會(huì)出現(xiàn)直觀模型，所以需要編程者具有極強(qiáng)的空間想象力。此外，在需要反復(fù)調(diào)用腳本修改模型的設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)，每次運(yùn)行腳本都要在HFSS中重新建立模型，使得在優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程中增加了許多繁瑣的操作。

（2）模型在HFSS中建立，在修改設(shè)計(jì)參數(shù)的過程中記錄腳本文件，然后通過Matlab打開腳本文件，利用HFSS-Matlab-Api把需要修改的設(shè)計(jì)參數(shù)寫入腳本并運(yùn)行。

該方法由于模型在HFSS中建立，因此可以直觀顯示模型的三維圖像，同時(shí)操作簡單，只需利用腳本修改指定的部分即可，在運(yùn)行腳本后也只調(diào)用HFSS進(jìn)行相應(yīng)部分的操作。

本文僅利用Matlab-HFSS聯(lián)合仿真技術(shù)實(shí)現(xiàn)修改天線設(shè)計(jì)參數(shù)、仿真和輸出仿真結(jié)果的過程，因此采用第二種方法。

1.5 基于改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)的多維參數(shù)天線設(shè)計(jì)方法

基于改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)的多維參數(shù)天線設(shè)計(jì)方法流程圖如圖4所示，具體步驟如下：

（1）通過拉丁超立方抽樣獲取一定數(shù)量的訓(xùn)練樣本；

（2）根據(jù)訓(xùn)練樣本，利用基于反向?qū)W習(xí)的頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法確定極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)的輸入權(quán)重和閾值；

（3）利用最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的極限學(xué)習(xí)機(jī)建立天線設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間的映射關(guān)系；

（4）給出天線目標(biāo)響應(yīng)，預(yù)測其設(shè)計(jì)參數(shù)，如果預(yù)測設(shè)計(jì)參數(shù)的響應(yīng)滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，則結(jié)束，若不滿足，則將該預(yù)測設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)作為新的訓(xùn)練樣本添加到原訓(xùn)練樣本集中，返回步驟（2）。

圖4 多維設(shè)計(jì)參數(shù)天線設(shè)計(jì)流程

2 設(shè)計(jì)實(shí)例

2.1 疊層微帶天線模型

疊層微帶天線[7]的結(jié)構(gòu)由一個(gè)E型貼片天線和上層介質(zhì)基板以及輻射貼片組成，主要包括上下介質(zhì)基板、接地板、同軸饋線和兩個(gè)輻射貼片，其中介質(zhì)基板為相對介電常數(shù)為1的空氣。疊層微帶天線模型及主視圖如圖5所示，下層E型貼片天線俯視圖如圖6所示。

圖5 天線模型及主視圖

圖6 下層E型貼片天線俯視圖

2.2 疊層微帶天線設(shè)計(jì)

要求該天線工作頻率覆蓋4.7～6.6 GHz，即設(shè)計(jì)指標(biāo)為：

根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)（18）設(shè)計(jì)的理想目標(biāo)響應(yīng)如圖7所示，理想響應(yīng)應(yīng)該如圖藍(lán)色虛線所示，S11在工作頻率范圍內(nèi)盡可能小于-10 dB，在其他頻率范圍內(nèi)盡可能大于-10 dB，但是考慮到實(shí)際中天線響應(yīng)是非理想的，因此設(shè)計(jì)了如圖實(shí)線所示的響應(yīng)。

圖7 目標(biāo)響應(yīng)

利用拉丁超立方抽樣獲取50個(gè)樣本的設(shè)計(jì)參數(shù)，每個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)上、下限取值如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)上、下限取值

通過HFSS-Matlab-Api調(diào)用HFSS軟件對50個(gè)樣本設(shè)計(jì)參數(shù)仿真，保存響應(yīng)并導(dǎo)入Matlab。計(jì)算50個(gè)樣本響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，選擇相關(guān)系數(shù)最大的第38個(gè)樣本作為優(yōu)化樣本。

利用極限學(xué)習(xí)機(jī)對其余樣本進(jìn)行訓(xùn)練，預(yù)測優(yōu)化樣本響應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)，頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法優(yōu)化得到使適應(yīng)度函數(shù)最小的極限學(xué)習(xí)機(jī)輸入權(quán)重和閾值，頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)為：

式中，X*(38)為極限學(xué)習(xí)機(jī)預(yù)測的第38個(gè)樣本的設(shè)計(jì)參數(shù)，X(38)為第38個(gè)樣本實(shí)際的設(shè)計(jì)參數(shù)。

將頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法得到的最優(yōu)輸入權(quán)重和閾值代入極限學(xué)習(xí)機(jī)，在訓(xùn)練過程中，以上述50個(gè)樣本的響應(yīng)作為輸入，對應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)作為輸出，建立介質(zhì)諧振器天線設(shè)計(jì)參數(shù)與響應(yīng)之間的映射關(guān)系。

在預(yù)測過程中，以目標(biāo)響應(yīng)作為輸入，通過預(yù)測得到輸出，即疊層微帶天線的設(shè)計(jì)參數(shù)為：

在Matlab中通過HFSS-Matlab-Api調(diào)用HFSS對設(shè)計(jì)參數(shù)X′(1)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與目標(biāo)響應(yīng)比較，結(jié)果如圖8所示。

圖8 X′(1)響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)

由于不滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，因此將該設(shè)計(jì)參數(shù)及其響應(yīng)作為第51個(gè)訓(xùn)練樣本，計(jì)算響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，再次執(zhí)行頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法、極限學(xué)習(xí)機(jī)訓(xùn)練和預(yù)測過程，最終預(yù)測疊層微帶天線的設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

調(diào)用HFSS對設(shè)計(jì)參數(shù)X′(2)進(jìn)行仿真，設(shè)計(jì)響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)的比較結(jié)果如圖9所示。

圖9 X′(2)響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)

2.3 結(jié)果分析

由圖9可以看出，在4.7～6.6 GHz頻率范圍內(nèi)，X′(2)的響應(yīng)在-10 dB以下，在其他頻率范圍內(nèi)所有響應(yīng)均大于-10 dB，滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)，但是由于受天線本身限制，這些響應(yīng)并不與目標(biāo)響應(yīng)完全重合，該情況在允許范圍之內(nèi)。通過對極限學(xué)習(xí)機(jī)預(yù)測的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中有些維度超出了獲取樣本時(shí)拉丁超立方抽樣方法設(shè)置的上、下限取值，該例說明采用改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)預(yù)測的設(shè)計(jì)參數(shù)不局限于樣本的設(shè)計(jì)參數(shù)范圍內(nèi)，即改進(jìn)極限學(xué)習(xí)機(jī)方法具有很好的泛化能力。

該介質(zhì)諧振器天線的輻射方向如圖10所示，由圖可以看出，該天線主輻射方向?yàn)閦軸正方向，主輻射方向增益最大為9.54 dB，同時(shí)方向性也比較好。

圖10 輻射方向圖

3 結(jié)語

本文提出了一種多維設(shè)計(jì)參數(shù)天線的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，該方法以極限學(xué)習(xí)機(jī)為基礎(chǔ)，利用頭腦風(fēng)暴優(yōu)化算法確定極限學(xué)習(xí)機(jī)最優(yōu)的輸入權(quán)重和閾值，提高了極限學(xué)習(xí)機(jī)質(zhì)量；采用拉丁超立方抽樣解決了樣本獲取困難的問題，同時(shí)采用Matlab-HFSS聯(lián)合仿真，實(shí)現(xiàn)了自動(dòng)化設(shè)計(jì)，大大節(jié)省了天線設(shè)計(jì)過程所需要的時(shí)間。通過對多維設(shè)計(jì)參數(shù)疊層微帶天線設(shè)計(jì)，說明了該方法的可行性及有效性。