利用圓域的參數(shù)方程計算重積分

杜先云 任秋道

【摘要】利用極坐標計算二重積分，解決了一些被積函數(shù)在直角坐標系下不能積分的問題，但是確定積分區(qū)域常常比較復雜或困難.利用圓域參數(shù)方程既解決了一些被積函數(shù)不能積分的問題，又解決了確定積分限的問題，徹底解決了一些函數(shù)的重積分計算問題.

【關鍵詞】極坐標;圓域;重積分

一、圓域的參數(shù)方程

二重積分計算中，常常利用極坐標.

目前在《高等數(shù)學》《數(shù)學分析》教材中，對確定積分區(qū)域的講解很少.當積分區(qū)域為圓域（或部分圓域）時，若極點不是圓心，確定極徑ρ與極角 θ通常比較復雜或困難.例如，對于不過坐標原點的圓周，表示極徑ρ比較復雜;圓心不在坐標軸上，計算極角 θ也比較復雜.于是，我們將極點從直角坐標的原點平移到圓心，產(chǎn)生了圓域的參數(shù)方程（或類似于圓的參數(shù)方程）：

它表示圓心在點（x0，y0）處，半徑為R的圓面.在極坐標系下二重積分的面積元素ρdρd θ來源于圓的扇形面積公式，當然適應于圓域的參數(shù)方程.因此，利用坐標平移及圓域參數(shù)方程既解決了被積函數(shù)不能積分的問題，又解決了確定積分限的問題，最終解決了一些函數(shù)的重積分計算問題.

當積分區(qū)域為橢圓域（或部分橢圓域）時，需要伸縮變換才能確定面積元素.對于橢圓域：

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