軸向柱塞液壓馬達(dá)的約束旋轉(zhuǎn)角度前饋控制*

趙曉敏，郭 勇

(1. 青海交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院，西寧 810003; 2. 湖南科技大學(xué)機(jī)電學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

0 引言

軸向柱塞液壓馬達(dá)被廣泛應(yīng)用于移動(dòng)式起重機(jī)的液壓機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，例如輪式裝載機(jī)或挖掘機(jī)等戶外作業(yè)機(jī)器。為了達(dá)到馬達(dá)的最佳性能，所考慮的任務(wù)是根據(jù)其先驗(yàn)未知參考精確地實(shí)現(xiàn)軸向柱塞液壓馬達(dá)的旋轉(zhuǎn)角度[1-4]，例如由駕駛員通過操縱桿或油門踏板操實(shí)時(shí)生成。為此，有必要為相應(yīng)的非線性電液比例(electro proportional，EP)旋轉(zhuǎn)角度調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)一個(gè)電子控制器[5]。由于在實(shí)際批量生產(chǎn)中缺少旋轉(zhuǎn)角度傳感器，因此只能采用前饋控制方法。此外，考慮狀態(tài)和輸入約束也是十分必要的。

除了先驗(yàn)未知的轉(zhuǎn)矩參考信號之外，還需要考慮約束條件，這就帶來了一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的控制問題。如今，與所考慮的約束控制任務(wù)相關(guān)的最常見控制技術(shù)是模型預(yù)測控制(model predictive control，MPC)[6-7]。例如，Zawistowski T等[8]提出了基于MPC的軸向活塞泵約束調(diào)節(jié)方法，得到的控制準(zhǔn)確度較高。然而，由于參考信號的先驗(yàn)形狀未知，預(yù)測僅在一定程度上是可能的。此外，預(yù)測控制依賴于優(yōu)化問題的數(shù)值在線求解，這導(dǎo)致了較高的計(jì)算負(fù)擔(dān)，并且需要更昂貴的硬件設(shè)備。近期，基于平坦度的經(jīng)典概念，Joos S等[9]提出了一個(gè)適用于輸入約束目標(biāo)的線性系統(tǒng)控制方法，能夠?qū)崿F(xiàn)具有時(shí)變狀態(tài)的反饋控制。該方法充分利用結(jié)構(gòu)屬性，無需迭代計(jì)算，大大降低了計(jì)算負(fù)擔(dān)，但是該方法是針對線性系統(tǒng)的。

因此，本文提出將平坦度的原理與MPC方法相結(jié)合，以便實(shí)現(xiàn)滿足約束的非線性旋轉(zhuǎn)角度控制最優(yōu)化問題。提出的旋轉(zhuǎn)角度控制無需依賴于迭代的在線優(yōu)化，而是利用結(jié)構(gòu)屬性，如平坦度以及瞬時(shí)信息。

1 液壓機(jī)械系統(tǒng)建模

圖1給出了旋轉(zhuǎn)角度調(diào)節(jié)的示意圖，旋轉(zhuǎn)角度調(diào)節(jié)包括一個(gè)液壓控制缸，該液壓控制缸[4]具有以彈簧為中心的柱塞，該活塞機(jī)械地連接到旋轉(zhuǎn)支架。柱塞的位置可以通過柱塞上產(chǎn)生的體積流量來調(diào)節(jié)，該體積流量通過壓力控制閥來調(diào)節(jié)。氣門挺桿通過復(fù)位彈簧復(fù)位，并通過連接彈簧進(jìn)一步連接到柱塞。旋轉(zhuǎn)角度調(diào)節(jié)按電液比例操作，即壓力控制電磁閥中給定的固定輸入電流將導(dǎo)致成比例的固定旋轉(zhuǎn)角度。因此，可以利用EP特性來(簡單地)控制旋轉(zhuǎn)角度。

在1.1節(jié)中，根據(jù)圖1所示的旋轉(zhuǎn)角度調(diào)節(jié)原理，推導(dǎo)出了二階非線性平面系統(tǒng)模型。在1.2節(jié)中，對該模型進(jìn)行了系統(tǒng)的理論解釋，給出了所考慮的約束條件的定義，并簡述了旋轉(zhuǎn)角度調(diào)節(jié)的約束控制問題。

圖1 軸向柱塞液壓馬達(dá)的電液比例旋轉(zhuǎn)角度調(diào)節(jié)示意圖

1.1 模型描述

推導(dǎo)基本旋轉(zhuǎn)角度動(dòng)力學(xué)模型方程的直接方法是建立柱塞位置xK和氣門挺桿位置xV的運(yùn)動(dòng)方程。此外，閥門輸出壓力的動(dòng)態(tài)特性px可以使用一階非線性常微分方程[11](nonlinear ordinary differential equation，ODE)來建模。這將導(dǎo)致一個(gè)由5個(gè)ODE組成的系統(tǒng)，該系統(tǒng)可被簡化為基于平坦度的控制器[12]，受限于以下動(dòng)力學(xué)約束模型：

(1)

(2)

式中，Qx(xV,ΔpV)為體積流量，ΔpV為閥門上的壓力差，AKA為橫截面面積，iMag為電磁閥輸入電流，F(xiàn)Mag(iMag)為磁力，F(xiàn)jet(xV,ΔpV)為流動(dòng)力，cF和cF1為彈簧剛度參數(shù)，l0和l01為初始位移，dV為阻尼系數(shù)。

體積流量Qx(xV,ΔpV)的計(jì)算方式如下：

(3)

式中，αV為孔口系數(shù)，ρx為流體密度，AV為閥門開口的面積。

閥門上的壓力差ΔpV的表示方式如下：

(4)

式中，px為閥門輸出壓力，pHi為高壓側(cè)壓力，pT為貯存壓力。

注意，為了確保正的壓力差ΔpV，從而確保式(4)中的實(shí)平方根表達(dá)式，引入了假設(shè)pT

(5)

式中，AkB和Arod為閥門兩側(cè)上的表面積。

式(2)的結(jié)果是忽略了各個(gè)運(yùn)動(dòng)方程中氣門挺桿的質(zhì)量，因此將氣門挺桿的簡化運(yùn)動(dòng)描述為粘性摩擦引起的阻尼系數(shù)dV與作用在氣門上的所有力之和的乘積。該力的總和由螺線管產(chǎn)生的磁力FMag、流動(dòng)力Fjet以及兩個(gè)彈簧力組成。兩個(gè)彈簧力都取決于它們各自的彈簧剛度參數(shù)cF和cF1以及由彈簧的初始張力引起的初始位移l0和l01。流動(dòng)力Fjet的計(jì)算方式如下：

Fjet(xV,ΔpV)=2αVcos(φjet)AV(xV)ΔpV

(6)

式中，φjet為結(jié)構(gòu)相關(guān)的入流角。

1.2 問題描述

圖2 AV(xV)(左)及其逆xV(AV)(右)特征線的定性示意圖

(7)

式中，xK,⊕為最大可調(diào)活塞位置。這種限制是由控制缸中與結(jié)構(gòu)相關(guān)的硬約束造成的，可以解釋為狀態(tài)約束：

xK,?≤xK≤xK,⊕

(8)

以同樣的方式，第二狀態(tài)，即氣門挺桿的位置xV，由氣門中的機(jī)械上限和機(jī)械下限限定。

xV,?≤xV≤xV,⊕

(9)

此外，有限的可用電源電壓量導(dǎo)致了電流iMag的限制iMag ,?≤iMag≤iMag ,⊕，可轉(zhuǎn)換為控制輸入u=FMag的等效約束，即：

FMag,?≤FMag≤FMag,⊕

(10)

目標(biāo)是在符合旋轉(zhuǎn)角度調(diào)整動(dòng)力學(xué)約束(引入的式(1)、式(2))的條件下，根據(jù)先驗(yàn)未知參考wy,ext，即y→wy,ext，以最佳方式控制旋轉(zhuǎn)角度。在隨后的章節(jié)中，將推導(dǎo)出一個(gè)適用于此目的的控制架構(gòu)。

2 約束的控制器設(shè)計(jì)

基于前文提出的約束模型式(1)、式(2)，設(shè)計(jì)了一種實(shí)時(shí)的旋轉(zhuǎn)角度控制器。所提出的控制策略的結(jié)構(gòu)如圖3所示。核心是基于平坦度的前饋控制器[13-14]和在線軌跡規(guī)劃器(通過切換狀態(tài)變量濾波器)[9]的組合。這兩個(gè)組成部分在第2.1節(jié)和第2.2節(jié)中分別進(jìn)行了推導(dǎo)和描述。

圖3 基于平坦度的約束旋轉(zhuǎn)角控制器結(jié)構(gòu)，用于在線跟蹤任務(wù)

2.1 基于平坦度的前饋控制器

基于平坦度的旋轉(zhuǎn)角度前饋控制器的推導(dǎo)需要非線性模型的反演。模型的平坦輸出z是柱塞的位置xK。當(dāng)z=xK時(shí)，可以對模型方程進(jìn)行逐步反演，反演過程如下所示：

xK=z

(11)

(12)

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

2.2 約束的在線軌跡規(guī)劃

z2,?≤z2≤z2,⊕

(17)

(18)

在圖3所示的控制結(jié)構(gòu)中，開關(guān)狀態(tài)變量濾波器被實(shí)現(xiàn)為一個(gè)擴(kuò)展的二階滯后元件，在1/τ處有一個(gè)雙特征值，即無約束濾波器方程是根據(jù)下式給出的：

(19)

(20)

(21)

為此目的，式(18)的相應(yīng)限制函數(shù)是根據(jù)下式構(gòu)造的：

(23)

式中的反饋增益決定了軌跡在每個(gè)極限(式(18))上的控制力度?？紤]到輸入約束式(10)，限制函數(shù)為：

(24)

為了結(jié)合兩對限制函數(shù)式(23)和式(24)，采用了如圖3所示的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)。這導(dǎo)致輸入約束式(10)優(yōu)先于狀態(tài)約束式(9)，保證了前饋控制信號u*的可行性。

(25)

(26)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 仿真研究

在Matlab/Simulink環(huán)境中對圖3中提出的控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行了仿真研究[15-16]。將仿真的固定步長設(shè)為1 ms，整個(gè)仿真持續(xù)時(shí)間為0.35 s。在仿真研究過程中，根據(jù)表1考慮了4種案例。案例1和案例3是無約束的，案例2和案例4是約束的。

表1 仿真研究中考慮的4種案例

從案例1和案例2的仿真中獲得的期望軌跡和實(shí)際軌跡之間的比較，如圖4所示。從案例3和案例4的仿真中獲得的期望軌跡和實(shí)際軌跡之間的比較，如圖5所示。在每個(gè)圖中，顯示出了歸一化的旋轉(zhuǎn)角α、歸一化的氣門挺桿位置xV/xV,⊕以及歸一化的磁力FMag/FMag,⊕的時(shí)間響應(yīng)。

圖4 案例1和案例2中不同軌跡的比較

圖5 案例3和案例4中不同軌跡的比較

可以看出，在所有4種案例下，旋轉(zhuǎn)角度α都可以根據(jù)黑色參考wy達(dá)到其最大值。在無約束案例1中，生成的軌跡是不可實(shí)現(xiàn)的。這可以從圖4中案例1的兩個(gè)曲線之間的明顯偏差中看出。因此，與受約束的案例2相比，案例1不僅從能量最優(yōu)的角度來看是有害的，而且導(dǎo)致相對于參考wy的更長的轉(zhuǎn)變時(shí)間。在案例2的兩個(gè)曲線相互重疊，這意味著生成了可行的軌跡。此外，規(guī)劃的軌跡滿足并充分利用了約束條件式(9)和式(10)。為了避免案例1的次優(yōu)行為，可以更保守地選擇濾波器常數(shù)τ。這導(dǎo)致可行的軌跡，然而并沒有充分利用可用的受限資源，因此導(dǎo)致更長的轉(zhuǎn)換時(shí)間，如圖5中案例3所示。利用所提出的擴(kuò)展濾波器(式(26))，如在案例4中所使用的，如圖5中案例4所示，可以更快地選擇濾波器常數(shù)τ，同時(shí)避免了案例3的缺點(diǎn)。

3.2 車輛測量

在3.1節(jié)仿真結(jié)果的基礎(chǔ)上，以輪式裝載機(jī)為例，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的約束轉(zhuǎn)角控制方案。為了在車輛環(huán)境中測試受約束的旋轉(zhuǎn)角度控制器，在輪式裝載機(jī)上進(jìn)行了測量。ZL10輪式裝載機(jī)的實(shí)物圖以及液壓馬達(dá)測量照片如圖6所示。車高565 mm，長1245 mm，寬485 mm，整車質(zhì)量為130.2 kg。軸向柱塞液壓馬達(dá)的基本參數(shù)：轉(zhuǎn)速為3000 r/min，壓力為35 MPa，輸入功率為48 kW。軌跡規(guī)劃任務(wù)在控制單元中以20 ms的幀進(jìn)行評估。此外，還臨時(shí)安裝了一個(gè)旋轉(zhuǎn)角度傳感器，實(shí)際旋轉(zhuǎn)角度是已知的。

(a) 裝載機(jī) (b) 液壓馬達(dá)圖6 輪式裝載機(jī)以及液壓馬達(dá)測量照片

為了進(jìn)行廣泛的比較，在測量期間，考慮了根據(jù)表2的3個(gè)不同旋轉(zhuǎn)角度(前饋)控制器的變化。要注意的是，案例1單獨(dú)使用EP，案例2沒有約束考慮，案例3有約束考慮。案例2和案例3均使用了本文基于平坦度的前饋(Flat-FF)控制方法。

表2 測量研究中考慮的3種案例

測量得到的結(jié)果是(實(shí)際的)系統(tǒng)輸入和輸出，即驅(qū)動(dòng)螺線管的(歸一化的)電流iMag/iMag ,⊕和旋轉(zhuǎn)角度α的結(jié)果，如圖7中所示?？梢钥闯?，所有考慮的控制算法都達(dá)到了由wy給出的參考旋轉(zhuǎn)角度，但是轉(zhuǎn)換時(shí)間明顯不同。為了指出這一點(diǎn)，表3給出了3種情況下的上升時(shí)間t90，它規(guī)定何時(shí)達(dá)到最終階躍值的90%。在圖7中，相應(yīng)的90%值用虛線標(biāo)記。

圖7 旋轉(zhuǎn)角和電流的測量結(jié)果

表3 3種情況下的上升時(shí)間t90

相比于僅利用EP屬性的案例1，案例2在無約束濾波器方程情況下，獲得的時(shí)間t90減少了28%。然而，與情況1或2相比，附加約束的案例3獲得的時(shí)間t90分別減少了63%和49%。案例2和案例3之間的巨大差異主要是因?yàn)榘咐?中的約束軌跡是可實(shí)現(xiàn)的，并且以比案例2中的無約束軌跡更優(yōu)的方式利用可用能量。

4 結(jié)論

本文提出了一種新的軸向柱塞液壓馬達(dá)實(shí)時(shí)旋轉(zhuǎn)角前饋控制方法。該控制方法充分利用了轉(zhuǎn)角調(diào)整中的約束資源，提供了可行的軌跡。通過仿真研究，證明了所推導(dǎo)的控制策略比無約束情況下具有更快、更優(yōu)的控制性能。此外，通過輪式裝載機(jī)車輛的測量，在實(shí)際環(huán)境中驗(yàn)證了該結(jié)果，旋轉(zhuǎn)角度操作點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)換時(shí)間大大縮短。后續(xù)研究方向是在控制單元中如何以更快采樣時(shí)間的實(shí)現(xiàn)所提出的旋轉(zhuǎn)角度控制器，并在串聯(lián)條件下進(jìn)行進(jìn)一步的測試。