基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面技術(shù)的機(jī)械臂系統(tǒng)容錯(cuò)優(yōu)化*

劉世平，金向杰

(1.河南職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，鄭州 450000；2.華北水利水電大學(xué)機(jī)械學(xué)院，鄭州 450000)

0 引言

機(jī)械臂是一種依靠伺服電機(jī)執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)的多關(guān)節(jié)自動(dòng)化裝置，對(duì)控制系統(tǒng)的依賴性極高，在工業(yè)制造、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、探測救援和教育醫(yī)療等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，已經(jīng)成為了廣大學(xué)者研究的熱點(diǎn)問題[1-4]。由于機(jī)械臂系統(tǒng)通常處于長時(shí)間不間斷地工作狀態(tài)中，不可避免地會(huì)發(fā)生機(jī)械和電氣故障，不僅會(huì)影響電機(jī)執(zhí)行器的工作效率，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)威脅人身安全，所以設(shè)計(jì)合理的控制方法對(duì)機(jī)械臂保持一定的容錯(cuò)能力具有重要意義[5-7]。

針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)的容錯(cuò)控制研究，在國內(nèi)外已經(jīng)取得了一定成果，如：文獻(xiàn)[8]提出了一種采用信號(hào)重構(gòu)的主動(dòng)分散容錯(cuò)控制方法，通過數(shù)值積分器和微分跟蹤器重構(gòu)故障信號(hào)，并結(jié)合自適應(yīng)模糊分散控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)的容錯(cuò)控制，但是沒有考慮干擾和模型誤差等不確定性的影響；文獻(xiàn)[9]建立了機(jī)械臂關(guān)節(jié)負(fù)載補(bǔ)償力矩突變的最優(yōu)控制方法，通過構(gòu)造最優(yōu)抑制函數(shù)，求解出最優(yōu)控制方法，有效補(bǔ)償了負(fù)載力矩突變問題；文獻(xiàn)[10]通過引入一階濾波器將傳感器故障轉(zhuǎn)化成偽執(zhí)行器故障，采用多步時(shí)延技術(shù)補(bǔ)償執(zhí)行器故障，提出了一種基于自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的容錯(cuò)控制方法；文獻(xiàn)[11]提出了一種基于非奇異積分滑模面和反推控制的容錯(cuò)控制方法，該方法的魯棒性、快速性比較好，但需要已知擾動(dòng)和不確定性的邊界值。

為此，本文針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)中存在的外界干擾和模型誤差等問題，提出了一種改進(jìn)的容錯(cuò)控制方法，首先設(shè)計(jì)改進(jìn)動(dòng)態(tài)面來克服傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面的抖振問題，然后分別設(shè)計(jì)自適應(yīng)律來補(bǔ)償不確定性和執(zhí)行器故障，最終實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂系統(tǒng)的精確容錯(cuò)控制，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了提出的方法具有較好的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性、快速性和容錯(cuò)性。

1 建立機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)模型

本文研究的機(jī)械臂系統(tǒng)由兩個(gè)關(guān)節(jié)組成，在工業(yè)裝配、物流分揀等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用，結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 機(jī)械臂結(jié)構(gòu)示意圖

由于機(jī)械臂系統(tǒng)屬于強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，也具有高度的非線性，所以建立的數(shù)學(xué)模型不可避免地存在著誤差。同時(shí)，機(jī)械臂系統(tǒng)在實(shí)際工作過程中，也容易受到摩擦等外界干擾的影響，這些不確定性必然會(huì)影響控制精度。為了提高控制效果，必須考慮不確定性對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)的影響，機(jī)械臂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以描述為[12-13]：

(1)

對(duì)于機(jī)械臂系統(tǒng)，存在等式如下[14]：

(2)

機(jī)械臂系統(tǒng)的執(zhí)行器指的是各關(guān)節(jié)處的伺服電機(jī)，由于機(jī)械磨損等原因，電機(jī)不可避免地會(huì)發(fā)生失效故障，導(dǎo)致輸出的控制力矩減小，控制精度降低，達(dá)不到期望的控制效果。機(jī)械臂系統(tǒng)的執(zhí)行器故障模型可以描述為：

(3)

(4)

2 改進(jìn)動(dòng)態(tài)面技術(shù)的容錯(cuò)控制律設(shè)計(jì)

動(dòng)態(tài)面技術(shù)是一種典型的自適應(yīng)控制方法，對(duì)于非線性系統(tǒng)具有較好的控制效果，能夠有效抑制外界干擾和模型誤差對(duì)控制精度的影響，因此廣泛應(yīng)用于非線性不確定系統(tǒng)中[14]。但是在實(shí)際應(yīng)用過程中，由于系統(tǒng)誤差會(huì)在動(dòng)態(tài)面附近來回振蕩，不可避免地會(huì)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，很大程度上影響了控制效果[15]。因此，本文結(jié)合傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面技術(shù)，提出了改進(jìn)動(dòng)態(tài)面，通過自適應(yīng)律來補(bǔ)償不確定性和執(zhí)行器故障，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)的容錯(cuò)控制，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.1 改進(jìn)的動(dòng)態(tài)面技術(shù)

在傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一個(gè)能夠克服抖振現(xiàn)象的改進(jìn)動(dòng)態(tài)面。首先定義機(jī)械臂系統(tǒng)的輸入角度指令為qd，則跟蹤誤差為：

e=q-qd

(5)

傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面通常需要綜合考慮跟蹤誤差以及誤差的微分項(xiàng)，當(dāng)動(dòng)態(tài)面收斂到0的時(shí)候，系統(tǒng)的跟蹤誤差也就隨之收斂到0。傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面通常設(shè)計(jì)[15]為：

(6)

其中，L=LT>0。傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面雖然能夠使系統(tǒng)誤差收斂到0，但是不可避免地會(huì)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象，影響控制效果。為了解決抖振問題，在式(6)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)改進(jìn)動(dòng)態(tài)面為：

J=S+χ

(7)

其中，χ表示改進(jìn)動(dòng)態(tài)面和傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面的誤差，用來補(bǔ)償傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面的抖振問題，χ的表達(dá)式設(shè)計(jì)為：

(8)

2.2 設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制律

在改進(jìn)動(dòng)態(tài)面(7)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)機(jī)械臂系統(tǒng)容錯(cuò)控制律，實(shí)現(xiàn)包容執(zhí)行器故障和不確定性的容錯(cuò)控制。容錯(cuò)控制律設(shè)計(jì)為：

(9)

其中，M和f的表達(dá)式為：

(10)

(11)

(12)

其中，β>0。

3 穩(wěn)定性分析

定理1：本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)動(dòng)態(tài)面(7)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

證明：由文獻(xiàn)[15]可以得到，傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)面(6)能夠在有限時(shí)間tS內(nèi)收斂，則tS之后，可以得到：

(13)

選取Lyapunov函數(shù)如下：

(14)

對(duì)上式求導(dǎo)可得：

(15)

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可以得到，改進(jìn)動(dòng)態(tài)面(7)能夠收斂到0。接下來，求解改進(jìn)動(dòng)態(tài)面的收斂時(shí)間tJ。將式(14)代入式(15)并化簡可得：

(16)

對(duì)式(16)兩端在tS～t之間同時(shí)積分可得：

4[V0.25(t)-V0.25(tS)]≤-20.75α2(t-tS)

(17)

當(dāng)t=tJ時(shí)，改進(jìn)動(dòng)態(tài)面(7)能夠收斂到0，則V(tJ)=0。那么將t=tJ代入式(17)中，化簡可以得到改進(jìn)動(dòng)態(tài)面(7)的收斂時(shí)間tJ滿足：

(18)

證畢，定理1成立，即改進(jìn)動(dòng)態(tài)面(7)能夠在有限時(shí)間tJ內(nèi)收斂到0，tJ滿足式(18)。

定理2：針對(duì)包含不確定性和執(zhí)行器故障的機(jī)械臂系統(tǒng)式(4)，設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面的容錯(cuò)控制律式(9)、自適應(yīng)律式(11)和式(12)，能夠穩(wěn)定跟蹤指令信號(hào)，確保跟蹤誤差收斂到0。

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)：

(19)

(20)

將式(4)代入可得：

(21)

將容錯(cuò)控制律(9)代入并化簡得：

(22)

將自適應(yīng)律(11)代入并化簡得：

(23)

將自適應(yīng)律(12)代入并化簡得：

(24)

由定理1可得，改進(jìn)動(dòng)態(tài)面(7)能夠在有限時(shí)間收斂到0，則由式(7)可以得到：

(25)

將式(25)代入式(24)可得：

(26)

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可以得到，定理2成立。即設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面的容錯(cuò)控制律(9)能夠包容執(zhí)行器故障和不確定性的影響，使機(jī)械臂系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤指令信號(hào)，確保跟蹤誤差收斂到0。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與對(duì)比分析

對(duì)本文所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面技術(shù)的容錯(cuò)控制方法進(jìn)行Matlab仿真驗(yàn)證，采用具有2個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并與文獻(xiàn)[16]的方法進(jìn)行了對(duì)比，來驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性。

4.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

機(jī)械臂系統(tǒng)的模型參數(shù)[14]為：

(27)

仿真時(shí)間為10 s，機(jī)械臂系統(tǒng)的初始狀態(tài)為：

機(jī)械臂系統(tǒng)的指令:

進(jìn)一步可以得到:

設(shè)置不確定性為：

設(shè)置執(zhí)行器故障：當(dāng)t=3 s時(shí)，關(guān)節(jié)1執(zhí)行器發(fā)生ρ1=0.8的失效故障；t=7 s時(shí)，關(guān)節(jié)2執(zhí)行器發(fā)生ρ2=0.6的失效故障。經(jīng)過多次調(diào)試，選取容錯(cuò)控制律參數(shù)為：α1=5，α2=8，μ=0.3，β=0.6，L=diag{0.2,0.4}。

4.2 對(duì)比實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面技術(shù)的容錯(cuò)控制方法的優(yōu)點(diǎn)，分別采用本文方法和文獻(xiàn)[16]所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)面容錯(cuò)控制方法進(jìn)行了對(duì)比仿真，得到了關(guān)節(jié)1的角度、角速度和角加速度的仿真結(jié)果如圖3～圖5所示，其中，實(shí)線為指令信號(hào)，短虛線為文獻(xiàn)[16]的仿真曲線，長虛線為本文方法的仿真曲線。

(a) q1仿真曲線

(b) eq1仿真結(jié)果圖3 關(guān)節(jié)1的角度仿真曲線

由圖3的仿真結(jié)果可以看出：在文獻(xiàn)[16]容錯(cuò)控制方法的作用下，關(guān)節(jié)1的角度在2 s后才能大致跟蹤指令信號(hào)，并且由于一般動(dòng)態(tài)面控制會(huì)發(fā)生抖振，導(dǎo)致跟蹤誤差比較大，在-0.3 rad～0.3 rad范圍內(nèi)波動(dòng)；當(dāng)機(jī)械臂系統(tǒng)的執(zhí)行器在t=3 s和t=7 s發(fā)生失效故障的時(shí)候，跟蹤曲線發(fā)生劇烈振蕩，振蕩幅度在-0.6 rad～0.6 rad范圍內(nèi)波動(dòng)，在1 s后，劇烈振蕩逐漸消失；而在本文所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面的容錯(cuò)控制律的作用下，關(guān)節(jié)1的角度在0.35 s內(nèi)就可以穩(wěn)定跟蹤指令信號(hào)，跟蹤誤差僅在-0.01 rad～0.01 rad范圍內(nèi)，當(dāng)機(jī)械臂系統(tǒng)的執(zhí)行器在t=3 s和t=7 s發(fā)生失效故障的時(shí)候，跟蹤曲線發(fā)生輕微振蕩，振蕩幅度也僅在-0.05 rad～0.05 rad范圍內(nèi)波動(dòng)，并且在0.2 s內(nèi)，振蕩就逐漸消失。

仿真曲線

仿真結(jié)果圖4 關(guān)節(jié)1的角速度仿真曲線

從圖4的仿真結(jié)果可以看出：在文獻(xiàn)[16]控制律的作用下，角速度跟蹤曲線的響應(yīng)時(shí)間比較長，跟蹤誤差和振蕩幅度比較大，控制效果不好；而在本文所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制律的作用下，明顯縮短了響應(yīng)時(shí)間，減小了跟蹤誤差和振蕩幅度，能夠?qū)崿F(xiàn)包容不確定性和執(zhí)行器故障的容錯(cuò)控制。

仿真曲線

仿真結(jié)果圖5 關(guān)節(jié)1的角加速度仿真曲線

從圖5的仿真結(jié)果可以看出：在文獻(xiàn)[16]控制律的作用下，角加速度跟蹤曲線的響應(yīng)時(shí)間長、跟蹤誤差大，并且振蕩幅度大，不能夠?qū)崿F(xiàn)包容不確定性和執(zhí)行器故障的機(jī)械臂系統(tǒng)容錯(cuò)控制；而本文所設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制律，能夠明顯縮短響應(yīng)時(shí)間，減小跟蹤誤差和振蕩幅度，控制效果非常好。

同理，得到關(guān)節(jié)2的仿真結(jié)果如圖6～圖8所示。

(a) q2仿真曲線

(b) eq2仿真結(jié)果圖6 關(guān)節(jié)2的角速度仿真曲線

仿真曲線

仿真結(jié)果圖7 關(guān)節(jié)2的角速度仿真曲線

仿真曲線

仿真結(jié)果圖8 關(guān)節(jié)2的角加速度仿真曲線

對(duì)關(guān)節(jié)2的仿真結(jié)果得到了與關(guān)節(jié)1類似的結(jié)果，說明了本文所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面的容錯(cuò)控制律能夠包容機(jī)械臂系統(tǒng)中不確定性和執(zhí)行器故障的影響，具有很好容錯(cuò)控制效果，并且改進(jìn)動(dòng)態(tài)面對(duì)抖振現(xiàn)象具有抑制作用。

綜合以上對(duì)仿真結(jié)果的分析與討論，可以得出本文所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面的容錯(cuò)控制律具有很好的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性、快速性和容錯(cuò)性，同時(shí)驗(yàn)證了改進(jìn)動(dòng)態(tài)面能夠有效抑制抖振現(xiàn)象。

5 結(jié) 論

針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)的執(zhí)行器故障和不確定性等問題，提出了一種基于改進(jìn)動(dòng)態(tài)面技術(shù)的容錯(cuò)控制方法。通過仿真得出以下結(jié)論：

(1)設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制方法能夠包容不確定性的影響，在0.35 s內(nèi)即可穩(wěn)定、準(zhǔn)確跟蹤到指令信號(hào)，并將跟蹤誤差控制在-0.01 rad～0.01 rad范圍內(nèi)，魯棒性比較好；

(2)設(shè)計(jì)的容錯(cuò)控制方法能夠包容執(zhí)行器失效故障的影響，將振蕩幅度控制在-0.05 rad～0.05 rad范圍內(nèi)，并且能夠在0.2 s內(nèi)，逐漸穩(wěn)定、準(zhǔn)確跟蹤指令信號(hào)，容錯(cuò)性比較好；

(3)提出的改進(jìn)動(dòng)態(tài)面能夠很好地抑制抖振現(xiàn)象，很大程度上改善了控制效果。