Post Crash模型下障礙期權(quán)定價的有限差分方法

何桃順， 李沁林， 劉 淞

(內(nèi)江師范學院 a.四川省高校數(shù)值仿真重點實驗室 b.數(shù)據(jù)恢復(fù)四川省重點實驗室 c.數(shù)學與信息科學學院， 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

障礙期權(quán)是金融市場中一種極其常見的路徑依賴期權(quán)，其最終收益不僅取決于標的資產(chǎn)在期權(quán)到期日的價格，而且還與標的資產(chǎn)價格在整個期權(quán)有效期內(nèi)是否達到某一規(guī)定水平(障礙值)有關(guān).按照標的資產(chǎn)達到規(guī)定障礙后的期權(quán)狀態(tài)，障礙期權(quán)可分為敲出期權(quán)和敲入期權(quán).敲出期權(quán)是指當標的資產(chǎn)的價格達到規(guī)定障礙時終止有效的期權(quán)，而敲入期權(quán)是指當標的資產(chǎn)的價格達到規(guī)定障礙才開始有效的期權(quán).根據(jù)標的資產(chǎn)價格上升和下降達到規(guī)定障礙的情形，障礙期權(quán)又可分為上升障礙期權(quán)和下降障礙期權(quán).除此之外，每一類障礙期權(quán)都可以分為看漲和看跌兩大類，因此障礙期權(quán)可細分為八大類，具體可參考文獻[1]和[2].由于障礙期權(quán)的價格要比標準歐式期權(quán)的價格便宜，所以障礙期權(quán)備受市場投資者的青睞，因此合理地對障礙期權(quán)進行估值就成為國內(nèi)外學者研究中的重要課題.這方面的開創(chuàng)性工作源于1973年Merton[3]在標的資產(chǎn)價格遵循幾何布朗運動模型的假設(shè)下推導(dǎo)了障礙期權(quán)的解析定價公式；隨后，Wong等[4]將其擴展為多資產(chǎn)的情形，推導(dǎo)了幾何布朗運動模型下多資產(chǎn)障礙期權(quán)的解析定價公式.實證研究表明，雖然在平穩(wěn)的金融市場環(huán)境中幾何布朗運動能很好的模擬股票價格變化，但是幾何布朗運動不能有效的捕捉市場波動率所呈現(xiàn)的“微笑”特征，也不能反映股價對數(shù)收益率所表現(xiàn)出的“尖峰厚尾”統(tǒng)計分布特征.為了彌補利用幾何布朗運動刻畫股價變化存在的缺陷，許多專家學者在股價模型改進方面做出了許多有價值的探索，研究了常彈性方差模型[5]、Hull-White模型[6]、Heston模型[7-8]以及跳擴散模型[9]下的障礙期權(quán)定價問題.由于復(fù)雜金融市場模型下的障礙期權(quán)通常沒有解析定價公式，所以國內(nèi)外學者提出了利用二項式定價方法[10]、有限差分方法[11-13]和傅里葉余弦方法[14]等數(shù)值方法計算障礙期權(quán)的價格.

另一方面，許多學者對金融危機爆發(fā)后的金融市場動態(tài)進行了實證研究.如：Lillo等[15]研究發(fā)現(xiàn)金融崩潰后的金融市場服從冪律松弛衰減規(guī)律；Sornette[16]研究表明金融崩潰后的金融市場動態(tài)遵循收斂的振蕩運動.基于上述實證研究結(jié)果，Dibeh等[17]在Black-Scholes模型的基礎(chǔ)上將崩潰后的市場指數(shù)耦合到單個股票價格的動態(tài)過程中建立了如下Post Crash期權(quán)定價模型：

dSt=(μSt+bg(t))dt+(σSt+γg(t))dWt,

(1)

其中，St表示股票在t時刻的價格，μ和σ分別表示股票的原始收益率與原始波動率，Wt表示標準的布朗運動，b和γ都是常數(shù)分別刻畫市場指數(shù)對股票收益率和波動率的影響程度，g(t)表示S&P500指數(shù)施加的一個強制函數(shù)，它可以表示Sornette對股市指數(shù)在市場崩盤后的經(jīng)驗擬合，通常表示為如下指數(shù)衰減的正弦函數(shù)：

g(t)=α+βeptsin(ωt).

Dibeh等在上述Post Crash期權(quán)定價模型(1)下利用Δ對沖的方法推導(dǎo)了歐式期權(quán)價值函數(shù)滿足的偏微分方程，然后采用有限差分方法對其進行數(shù)值求解得到該期權(quán)的價格，并將其計算結(jié)果與直接利用蒙特卡洛模擬方法計算的期權(quán)價格進行了比較；Luo等[18]考慮了Post Crash期權(quán)定價模型下的美式期權(quán)定價問題，他們采用無套利定價原理推導(dǎo)了美式期權(quán)價值函數(shù)滿足的偏微分方程并用懲罰方法對其進行數(shù)值求解；El-Khatib等[19]將Post Crash期權(quán)定價模型擴展為帶跳情形并討論了該擴展模型下的歐式期權(quán)定價問題.除此之外，El-Khatib等[20]研究了Post Crash期權(quán)定價模型下資產(chǎn)為外國貨幣的歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的估值和對沖問題.

鑒于此，本文從偏微分方程的角度利用有限差分方法研究Post Crash模型下障礙期權(quán)的定價問題.然后通過數(shù)值模擬說明Crank-Nicolson差分方法的有效性和分析金融危機的爆發(fā)對障礙期權(quán)價格的影響.

1 障礙期權(quán)價值函數(shù)的偏微分方程推導(dǎo)

下面利用Δ對沖方法推導(dǎo)向上敲出看漲障礙期權(quán)的價值函數(shù)在Post Crash模型下滿足的偏微分方程及邊界條件，得到如下定理：

定理1設(shè)向上敲出看漲障礙期權(quán)在時刻t之前未敲出，且其敲定價格為K以及向上敲出障礙為B，股票在時刻t的價格為St=S.如果用V(t,S)表示Post Crash模型下向上敲出看漲期權(quán)在時刻t的價格，那么V(t,S)在矩形區(qū)域{(t,S);0≤t

(2)

并且滿足邊界條件：

V(t,0)=0,0≤t≤T,

(3)

V(t,B)=0,0≤t

(4)

V(T,S)=(S-K)+,0≤S≤B.

(5)

證明在時間區(qū)間[0,T]上考慮一個動態(tài)投資組合，該投資組合包含一個價值為V(t,S)的向上敲出看漲障礙期權(quán)和數(shù)量為-Δt份的股票，若記投資組合在時刻t的價值為∏t，則有：

∏t=V(t,S)-ΔtSt,

進而有：

d∏t=dV(t,S)-ΔtdSt.

若設(shè)無風險利率為r，由Δ對沖原理可知，構(gòu)造的投資組合是無風險的，即有：

dV(t,S)-ΔtdSt=r∏tdt=r(Vt-ΔtSt)dt,

(6)

根據(jù)伊藤引理并聯(lián)合股票過程St遵循的隨機微分方程(1)可推得：

(7)

將(7)式代入(6)式并整理可得：

(8)

因為等式(8)右端是無風險的，所以等式(8)左端隨機項dWt的系數(shù)必為0，即選取

將其帶入(8)式得到：

最后根據(jù)向上敲出看漲障礙期權(quán)的特點為其設(shè)置如下邊界條件，具體可參見文獻[2]：

即定理1得證.

注1由向上敲出看漲障礙期權(quán)滿足的偏微分方程(2)可知，當γ=0時，偏微分方程(2)變?yōu)楣蓛r過程遵循幾何布朗運動(geometric brownian motion，GBM)的情形.即對金融衍生品定價而言γ=0意味著Post Crash模型退化為GBM情形而與模型參數(shù)b的取值無關(guān).

并且滿足邊界條件：

∞.

2 Crank-Nicolson差分方法

(9)

并且滿足如下初值和邊界條件：

(10)

(11)

(12)

然后在有限區(qū)域[0,T]×[0,B]上，分別定義如下關(guān)于時間和空間的一致網(wǎng)格：

Sj=jΔS,j=0,1,…,J;ζn=nΔζ,n=0,1,…,N.

接下來，分別定義

(13)

初值條件和邊界條件相應(yīng)的離散為：

3 數(shù)值算例

本小節(jié)主要列舉了兩個數(shù)值算例，其中第一個數(shù)值算例用來闡明Post Crash模型下障礙期權(quán)定價的Crank-Nicoloson差分方法的有效性；第二個數(shù)值算例主要通過分析模型參數(shù)對期權(quán)價格的敏感性從而說明金融危機的爆發(fā)對障礙期權(quán)定價的影響.

在下列數(shù)值算例中，假設(shè)Post Crash市場指數(shù)函數(shù)表示為g(t)=α+βeρtsin(ωt)，其 中α=-10,β=5,ρ=-2,ω=10，該函數(shù)的設(shè)置及系數(shù)的選取具體可參見文獻[17].

例1假設(shè)股價模型(1)中的模型參數(shù)γ=0，這意味著Post Crash模型簡化為GBM模型.在該股價模型下，向上敲出看漲障礙期權(quán)有如下解析定價公式(參見文獻[1])：

(14)

式中，τ=T-t，Φ是標準正態(tài)分布函數(shù)，并且δ+(τ,S)和δ-(τ,S)分別為：

設(shè)置模型參數(shù)為r=0.05，T=1，K=30，B=200，σ=0.2或0.4，在利用Crank-Nicoloson差分方法計算期權(quán)值時還需設(shè)置參數(shù)N=400，J=3000.下面分別利用Crank-Nicoloson差分算法(13)和解析定價公式(14)計算向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格得到表1，其中表1中的近似價格和精確價格分別為Crank-Nicoloson差分算法(13)和解析定價公式(14)的計算值，絕對誤差為近似價格與精確價格之差的絕對值.由表1中的絕對誤差可知，利用Crank-Nicoloson差分方法計算Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格非常精確，從而說明該數(shù)值方法是有效的.

表1 Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格計算結(jié)果比較

例2為了分析金融危機爆發(fā)對向上敲出看漲障礙期權(quán)定價的影響，設(shè)置參數(shù)為r=0.05，T=1，S0=50，N=400，J=3000.利用Crank-Nicoloson差分方法計算Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格，其數(shù)值結(jié)果呈現(xiàn)為圖1和圖2.圖1表明當波動率σ很小且障礙B比較大時，金融危機的爆發(fā)使得向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格系統(tǒng)性的偏?。粓D2表明當波動率σ很大且障礙B比較小時，金融危機的爆發(fā)使得向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格系統(tǒng)性的偏大.這是因為耦合了崩潰后的市場指數(shù)的股價模型使得波動率系統(tǒng)性的偏小以及股價一旦達到障礙則向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格立即變?yōu)?.另外，圖1和圖2還表明隨著模型參數(shù)γ的增加崩潰后的市場指數(shù)對向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格影響越大.特別地，當γ越接近0時，向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格越接近GBM模型下該期權(quán)的價格，這與預(yù)期的理論結(jié)果一致.

圖1 Post Crash 模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格和交割價格之間的關(guān)系(高波動率、低障礙情形)

圖2 Post Crash 模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格和交割價格之間的關(guān)系(低波動率、高障礙情形)

4 結(jié)束語

本文從偏微方程的角度利用Crank-Nicoloson差分方法討論了Post Crash模型下障礙期權(quán)的定價問題.數(shù)值結(jié)果表明：利用Crank-Nicoloson差分方法計算Post Crash模型下向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格是可行和有效的；耦合了Post Crash市場指數(shù)的股價模型使得波動率系統(tǒng)性的偏低，從而使得金融危機期間向上敲出看漲障礙期權(quán)的價格系統(tǒng)性的偏高或偏低，這主要取決于波動率和障礙的大小.