基于擾動補償的連續(xù)攪拌釜式反應器自適應積分滑模控制

王素珍， 劉建鋒， 孫國法， 代明星， 靳奉祥

(1. 青島理工大學 信息與控制工程學院， 山東 青島 266520； 2. 山東建筑大學 測繪地理信息學院， 山東 濟南 250101)

連續(xù)攪拌釜式反應器(CSTR)是石油化工、制藥、廢水處理等諸多工業(yè)生產的反應設備[1]，其控制效果對最終產品的質量起著至關重要的作用。該系統(tǒng)是一個非常復雜的被控對象，在實際過程中經常受到各種因素的影響，如反應物濃度變化、副反應、溫度和氣液相位不均、外擾等，導致系統(tǒng)存在許多未知的不確定項以及不可測狀態(tài)，整個系統(tǒng)呈現高度的非線性，因此其控制器的設計難度非常大。

比例積分微分(PID)[2-3]控制器具有配置簡單、易于實現等優(yōu)點，在工業(yè)控制領域應用非常廣泛，但是，隨著控制要求的不斷提高，PID控制器已經越來越難以滿足系統(tǒng)控制精度的要求。近年來，隨著控制理論的不斷發(fā)展，國內外學者陸續(xù)將諸如模糊控制[4]、自抗擾控制[5]、魯棒自適應控制[6]等先進的控制方法引入到CSTR系統(tǒng)控制中。文獻[7]中通過將CSTR系統(tǒng)模型辨識成一個Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型來逼近系統(tǒng)中的非線性函數，利用線性控制理論方法進行分析，但是非線性系統(tǒng)模型近似線性化后存在擬合問題，在實際應用中難以對系統(tǒng)的未知非線性函數進行有效的逼近。針對這個問題，許多學者又將預測控制[8-9]的方法引入到CSTR系統(tǒng)的控制中，在一定程度上提高了系統(tǒng)的魯棒性，彌補了建模所帶來的不足；但是，預測控制多為線性模型，沒有對系統(tǒng)的未知狀態(tài)和未知非線性函數項進行有效的處理，因此在實際應用時具有很大的局限性。隨著神經網絡或模糊邏輯系統(tǒng)的大量應用[10-12]，研究人員基于神經網絡或模糊邏輯系統(tǒng)的逼近特性，針對CSTR系統(tǒng)提出了許多控制方法。Salehi等[13-14]設計了2種自適應模糊溫度控制器，基于模糊邏輯系統(tǒng)逼近被控系統(tǒng)中濃度的依賴項以及一些未知參數，實現了較好的控制效果，但這些方法并沒有很好的抗干擾能力，系統(tǒng)魯棒性不強。

滑模變結構控制具有特殊的結構，使得滑模控制具有非常強的魯棒性。近年來，針對CSTR系統(tǒng)采用滑?？刂频姆桨冈絹碓蕉郲15-16]，取得了非常好的控制效果，但是這些控制方案依舊是在假設系統(tǒng)狀態(tài)已知的情況下，并且所采用的滑模控制方案產生明顯的抖振現象，嚴重影響了控制效果。

針對以上問題，本文中基于一類非線性CSTR系統(tǒng)，結合滑模變結構控制，提出一種自適應積分滑?？刂扑惴?簡稱本文控制算法)，對CSTR進行分析并建立數學系統(tǒng)模型，根據系統(tǒng)中的未知狀態(tài)量以及各種未知擾動分別設計有限時間狀態(tài)觀測器以及擾動觀測器，實現對被控對象未知狀態(tài)量的觀測以及系統(tǒng)擾動信號的估計，有效提高系統(tǒng)的抗干擾性能。另外，通過引入積分滑模面，設計自適應變比例增益趨近律來抑制系統(tǒng)中的抖振，同時利用Lyapunov函數證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過數值仿真對該控制方法的有效性進行驗證。

1 模型描述及準備工作

1.1 系統(tǒng)模型結構描述

CSTR是化工過程中重要的反應器，其控制是化工工藝流程最重要、最難掌握的環(huán)節(jié)。CSTR系統(tǒng)結構如圖1所示。按照一定比例混合的原料經過預熱后進入反應器，在一定的溫度下進行聚合放熱反應。通常情況下，CSTR系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下操作，內容物充分混合，因此建模不涉及整個容器中濃度、溫度或反應速率的顯著變化。本文中將系統(tǒng)視為一個放熱、不可逆的一階反應A→B，其中A為反應物，B為反應產物。為了便于建模，針對該系統(tǒng)提出以下假設。

qr—進(出)料口物料體積流量； Tr,in—進料口物料溫度； cpG—進料口物料濃度； qc—冷(熱)劑進出口流量； Tc—冷(熱)劑出口溫度； Tc, in—冷(熱)劑進口溫度； Tr—出料口溫度。圖1 連續(xù)攪拌釜式反應器結構示意圖

假設1：假設CSTR進料充分混合，反應器內的溫度和濃度都是相同的，物料比熱容和傳熱系數始終不變，進、出口流量在穩(wěn)態(tài)和動態(tài)時處處相等，即反應器內液位保持不變，熱損失忽略不計。

假設2：反應物具有恒定的密度和容量，且反應前后CSTR內物料的總體積不變。根據物質和能量守恒定理，CSTR內發(fā)生的放熱、不可逆的一階反應可以被表示為

(1)

式中：R為摩爾氣體常數； ΔH為反應放出的熱量；k0、T和CA分別是反應速率常數、反應溫度和反應后反應物A的濃度；h為反應釜內液位高；S為反應釜截面積；E為活化能；V為反應釜體積容量；Tf為冷(熱)劑入口溫度；Tc為冷(熱)劑出口溫度；CAf、F、Cp及ρ分別為反應物A的入口濃度、穩(wěn)態(tài)流動速率、比熱容及CSTR內濃度。為了便于控制器的設計，CSTR系統(tǒng)模型(1)可繼續(xù)轉化[17]為

(2)

式中：x1、x2為CSTR系統(tǒng)的狀態(tài)變量；B為絕熱溫升；Da為達姆科勒數；β為熱傳遞系數；γ為活化能與平均動能之比；x2c為系統(tǒng)初始狀態(tài)；u為系統(tǒng)控制信號的輸入；d1、d2為CSTR系統(tǒng)的2個未知擾動信號；y為系統(tǒng)的輸出。

為了便于后期的對控制器的設計，針對模型(2)提出假設3。

假設3：對于系統(tǒng)(2)的任何一個可能的參考信號xr，di的n+1-i次微分都是有界的，即

式中：ζ>0為已知常數；Cn+1-i為所有的微分函數集合。

2 有限時間狀態(tài)觀測器設計

由于CSTR系統(tǒng)模型中很多參數在實際過程中難以測得，因此，被控系統(tǒng)的狀態(tài)變量是未知的。為了便于控制器的設計，本文中基于文獻[18]已有的成果，引入一類有限時間狀態(tài)觀測器，從而實現對被控系統(tǒng)未知狀態(tài)的估計。

針對系統(tǒng)(2)，設計狀態(tài)觀測器為

(3)

定義觀測器的觀測誤差為

ε=x-z,

(4)

式中：ε=[ε1,ε2]T；x=[x1,x2]T；z=[z1,z2]T。

對ε求導得

(5)

穩(wěn)定性證明：首先針對誤差ε2選取Lyapunov函數

(6)

對式(6)求導得

-|ε2|(k2-|-(1+β)ε2+BDaJ(1-x1)ε2-

(7)

(8)

針對誤差ε1選取Lyapunov函數

(9)

對式(9)求導，得

(10)

3 滑模控制器設計

3.1 擾動觀測及補償

為了進一步提高控制器的控制性能，增強系統(tǒng)魯棒性，基于Levent微分器[19]設計一類擾動觀測器，以便對系統(tǒng)模型(2)中的擾動信號進行估計補償。所設計的擾動觀測器具體形式為

(11)

式中：φi(i=1,2,…,n)為系統(tǒng)內部狀態(tài)；Ui為擾動觀測器原始微分信號第i+1階微分估計值；λi為擾動觀測器增益系數；D(t)為擾動觀測器輸入的微分信號函數，且D(t)存在n階導數存在且有界，即|D(n+1)(t)|≤Γ，Γ為正常數。為了保證擾動觀測器的觀測效果，觀測器(11)的增益系數λi需慎重選擇，基于文獻[20]提出可行的參數選取規(guī)則，如表1所示。

表1 擾動觀測器增益系數選取規(guī)則

由于未知擾動di滿足假設3中的條件，因此擾動信號可以在有限時間內通過擾動觀測器(11)估計獲得，即

(12)

3.2 自適應積分滑?？刂破髟O計

滑?？刂凭哂蟹浅姷聂敯粜?，在處理非線性系統(tǒng)中的不確定項以及未知擾動等方面有著獨特的優(yōu)勢。本文中將基于上述狀態(tài)觀測器的觀測結果以及擾動觀測器的估計結果對未知擾動信號進行補償，并設計一類自適應積分滑?？刂破?。

定義被控系統(tǒng)(2)的跟蹤誤差e為

e=z2-xr

,

(13)

式中xr為系統(tǒng)的輸出參考信號。基于狀態(tài)觀測器和擾動觀測器的觀測結果，對式(13)求導，得

(14)

定義一個積分滑模面

(15)

式中k為滑模修正系數。

對式(15)求導，得

(16)

(17)

式中Ueq為等效控制信號。

設計一種新的自適應變比例增益的趨近律，與傳統(tǒng)的等速趨近律相比，自適應變比例增益的方法不僅能使被控系統(tǒng)快速收斂，而且能有效抑制滑模控制中的抖振現象。該趨近律具體設計如下：

(18)

設計自適應更新律為

(19)

式中η為大于0的常數，則

(20)

式中Us為魯棒項控制信號。最終得到自適應積分滑?？刂破鞯目刂坡蔀?/p>

u=ueq+us。

(21)

將式(17)、(20)、(21)代入式(16)，得

(22)

假設4：假設擾動觀測誤差有界，且

其中0<ζ<1。

(23)

對V1求導，得

(24)

將式(22)代入式(24)，化簡得

(25)

4 仿真

以下將通過具體的仿真算例對本文所提控制方法的有效性進行驗證。仿真時，系統(tǒng)模型的參數分別設置為B=8，β=0.3，γ=20，Da=0.078，x2c=0。系統(tǒng)期望的軌跡信號xr和系統(tǒng)的外部擾動d1與d2分別設置為

(26)

具體仿真結果如圖2—4所示。由圖2中系統(tǒng)輸出信號跟蹤效果圖可以看出，系統(tǒng)輸出信號能夠在有限時間內精確地跟蹤所期望的軌跡信號，且跟蹤誤差e能在有限時間內收斂到0附近的小鄰域內，驗證了本文控制算法能對系統(tǒng)信號實現有效的跟蹤。

(a)輸出信號x2跟蹤效果

(b)輸出信號x2跟蹤誤差圖2 系統(tǒng)輸出x2的跟蹤效果及誤差

(a)系統(tǒng)狀態(tài)x1及其觀測信號

(b)觀測誤差圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x1觀測效果

(a)系統(tǒng)狀態(tài)x2及其觀測信號

(b)觀測誤差圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x2觀測效果

由有限時間狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)未知狀態(tài)的觀測效果的仿真結果(圖3、4)可以看出，所設計的有限時間狀態(tài)觀測器對被控系統(tǒng)內含有的未知狀態(tài)量可以實現較好的觀測估計，并且觀測誤差可以收斂在一個很小的范圍內。

根據表1合理選擇擾動觀測器的增益系數，并利用觀測器(11)對系統(tǒng)未知擾動進行估計，仿真結果如圖5所示。從圖中可以看出，擾動觀測器能夠實現在有限時間內對系統(tǒng)未知擾動的高精度估計。

(a)系統(tǒng)狀態(tài)d1的觀測效果

(b)系統(tǒng)狀態(tài)d1的觀測效果圖5 系統(tǒng)擾動觀測效果

此外，為了進一步驗證其算法的擾動補償控制效果，分別采用無擾動補償的本文控制算法(d1=d2=0)和本文控制算法對建立的CSTR系統(tǒng)(2)實現反饋控制來進行對比仿真驗證，結果如圖6所示。由圖可以明顯看出，當系統(tǒng)采用帶有擾動補償作用的控制方法時，系統(tǒng)的控制性能較好，超調量更小。

圖6 系統(tǒng)擾動補償控制效果

考慮到實際工業(yè)CSTR系統(tǒng)控制輸入信號存在的抖振現象，為了驗證本文控制算法對抖振信號的抑制作用，令系統(tǒng)期望輸出信號為方波信號x2r，利用MATLAB軟件對系統(tǒng)進行仿真驗證，其控制效果如圖7所示。由圖可知，系統(tǒng)輸出信號y能夠快速且有效地跟蹤上x2r，控制輸入信號抑制效果明顯。

(a)系統(tǒng)跟蹤效果

(b)控制輸入信號圖7 系統(tǒng)抖振控制效果

為了更好地驗證所提控制方法的抗干擾能力及動態(tài)性能，分別利用本文控制算法與已有的自抗擾控制算法及傳統(tǒng)PID控制算法對同一階躍信號進行跟蹤，并計算上述3種算法在階躍響應下的峰值時間、調節(jié)時間以及超調量，結果如表2所示。與此同時，在被控系統(tǒng)穩(wěn)定后25～27 s時施加額外的外部干擾，信號跟蹤效果如圖8所示。

表2 連續(xù)攪拌釜式反應器系統(tǒng)的動態(tài)性能指標

PID—比例-積分-微分。圖8 施加外部干擾后的跟蹤效果對比

由表2和圖8可以看出，本文控制算法與PID控制方法以及自抗擾控制方法相比具有更好的動態(tài)性能，主要表現在： 1)超調量更小，調節(jié)時間短且系統(tǒng)響應速度快，能夠快速地跟蹤參考信號； 2)當被控系統(tǒng)突然面臨未知的外部擾動時，本文控制算法超調量最小，且能夠更快地控制被控系統(tǒng)穩(wěn)定，抗干擾能力更強。

5 結語

針對一類非線性CSTR系統(tǒng)中的控制問題，本文中提出了一種基于擾動補償的自適應積分滑?？刂扑惴ā８鶕﨏STR建立的數學動態(tài)模型轉化為非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，利用建立的系統(tǒng)模型分別設計了有限時間狀態(tài)觀測器和擾動觀測器，實現了對系統(tǒng)未知狀態(tài)的觀測以及未知擾動的估計補償，增強了系統(tǒng)魯棒性。基于積分滑模面設計的自適應變比例增益趨近律，有效地抑制了系統(tǒng)中產生的抖振，并通過Lyapunov函數證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結果驗證了本文控制算法具有良好的抗干擾性能。