基于模型樹(shù)的滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)

林天華，祁旭陽(yáng)，張倩倩，趙 霞

（1河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院，石家莊 050061；2河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 經(jīng)管實(shí)驗(yàn)中心，石家莊 050061）

0 引 言

股票是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的重要體現(xiàn)，在一定程度上反映著我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，在經(jīng)濟(jì)發(fā)展走勢(shì)分析中發(fā)揮著重要作用。滬深300指數(shù)是股票市場(chǎng)的重要指數(shù)之一，它能夠反映滬深兩市市場(chǎng)整體表現(xiàn)和價(jià)格變動(dòng)。預(yù)測(cè)滬深300指數(shù)在指導(dǎo)滬深兩市個(gè)股投資和分析滬深市場(chǎng)變化等方面具有重要意義。預(yù)測(cè)滬深300指數(shù)的研究方法主要分為三種，分別是基本面分析法、技術(shù)分析法和量化分析法。其中量化分析法是利用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、數(shù)值模擬，進(jìn)而研究證券數(shù)據(jù)的一種方法［1］。該方法分析的數(shù)據(jù)量大、形成的模型嚴(yán)格，因此能夠取得較好的分析效果。

將機(jī)器學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代預(yù)測(cè)方法應(yīng)用于股指的分析和預(yù)測(cè)是當(dāng)前的一個(gè)研究熱點(diǎn)。熊濤［2］等提出基于自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Self Organizing Neural Network，SOM）和支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）的多步預(yù)測(cè)方法，即先用SOM對(duì)滬深300指數(shù)序列進(jìn)行聚類(lèi)，隨后基于劃分后的數(shù)據(jù)集分別構(gòu)建SVM，得到多步預(yù)測(cè)模型，結(jié)果表明該模型的預(yù)測(cè)效果要好于單一的SVM。唐艷琴［3］等為解決基于SVM的預(yù)測(cè)模型復(fù)雜、耗時(shí)長(zhǎng)的問(wèn)題，提出了一種基于多輸出的學(xué)習(xí)方法，該模型在預(yù)測(cè)滬深300指數(shù)時(shí)比SVM預(yù)測(cè)的均值方差提高了約10倍，運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)也減少了近3／4。文獻(xiàn)［4］提出了使用多支持向量機(jī)對(duì)股指進(jìn)行混合頻率抽樣預(yù)測(cè)方法。文獻(xiàn)［5］提出將夏普比率引入到SVM股指預(yù)測(cè)中，提升投資回報(bào)。周榮謙［6］提出的基于Morlet小波核函數(shù)SVM的滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)方法，得到了較低的RMSE，預(yù)測(cè)效果較好。文獻(xiàn)［7］結(jié)合小波變異的混合函數(shù)連接人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和粒子群優(yōu)化算法，對(duì)滬深300指數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)［8］和文獻(xiàn)［9］分別使用ModAugNet框架和多隱層人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型對(duì)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)誤差均較低。戴德寶等［10］使用文本挖掘和情感分析方法，生成投資者情緒時(shí)間序列，并使用SVM和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)上證投資者情緒綜合指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。馮宇旭［11］等提出的基于長(zhǎng)短期記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)方法，比同一測(cè)試集上的Adaboost算法得到的RMSE要低。文獻(xiàn)［12］提出特征值歸一化加權(quán)多線性主成分分析對(duì)恒生指數(shù)進(jìn)行特征提取，并使用SVM預(yù)測(cè)。文獻(xiàn)［13］將logistic回歸（LR）模型級(jí)聯(lián)到梯度增強(qiáng)決策樹(shù)（Gradient Boosting Decision Tree，GBDT）模型上，由此構(gòu)成股指預(yù)測(cè)模型，并對(duì)上證指數(shù)、納斯達(dá)克指數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率較高。

綜上所述，現(xiàn)有文獻(xiàn)中使用機(jī)器學(xué)習(xí)算法對(duì)滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)較少，且僅有的研究得到的預(yù)測(cè)效果也欠佳。模型樹(shù)是機(jī)器學(xué)習(xí)中的一種算法，從理論上看，相較于其它機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它具有葉子節(jié)點(diǎn)是分段線性函數(shù)的特性，能夠更好得擬合連續(xù)型數(shù)據(jù)，得到較好的預(yù)測(cè)效果，從而更適用于預(yù)測(cè)領(lǐng)域。在應(yīng)用方面，模型樹(shù)算法在眾多數(shù)值型變量的預(yù)測(cè)問(wèn)題中，證實(shí)了其有理想的預(yù)測(cè)性能。張建明［14］等將模型樹(shù)算法用于汽輪機(jī)汽耗性預(yù)測(cè)、GOYAL M K［15］等將模型樹(shù)算法應(yīng)用于閘下沖刷預(yù)測(cè)、李建更［16］提出用模型樹(shù)預(yù)測(cè)PM2.5濃度，均取得了較好的預(yù)測(cè)效果，證實(shí)了它在連續(xù)值預(yù)測(cè)方面的可行性。因此，本文將基于模型樹(shù)算法構(gòu)建預(yù)測(cè)模型，改進(jìn)模型樹(shù)的分裂算法，使其適用于滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度，這在理論分析和實(shí)際應(yīng)用中都具有重要意義。

1 模型樹(shù)算法

本文使用目前常見(jiàn)的基于最小損失函數(shù)的模型樹(shù)算法進(jìn)行證券數(shù)據(jù)分裂，并針對(duì)證券數(shù)據(jù)的特征進(jìn)行改進(jìn)，提出了基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)。

1.1 基于最小損失函數(shù)的模型樹(shù)算法

基于最小損失函數(shù)的模型樹(shù)是分類(lèi)回歸樹(shù)（Classification And Regression Trees，CART）的變體，既可以用于分類(lèi)也可以用于回歸。其對(duì)樣本數(shù)據(jù)集進(jìn)行二分遞歸分裂，最終形成一棵以葉節(jié)點(diǎn)為分段線性函數(shù)的二叉樹(shù)，并對(duì)生成的模型樹(shù)進(jìn)行后剪枝，得到最優(yōu)模型樹(shù)。模型樹(shù)作為回歸模型時(shí)，給定數(shù)據(jù)集D=｛（x1，y1），...，（xi，yi），...，（xn，yn）｝，則生成初始模型樹(shù)M T0的步驟如下：

Step 1求解式（1），得到最優(yōu)的特征A和特征分裂點(diǎn)s，

其中，c1為數(shù)據(jù)集D1的均值，c2為數(shù)據(jù)集D2的均值。

Step 2用選定的（A，s）將當(dāng)前數(shù)據(jù)集劃分成D1和D2兩個(gè)數(shù)據(jù)集。

Step 3分別對(duì)D1和D2兩個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行線性回歸，得到分段線性函數(shù)f1和f2，作為當(dāng)前父節(jié)點(diǎn)的兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。

Step 4對(duì)每個(gè)子節(jié)點(diǎn)執(zhí)行上述步驟，直至滿足停止條件。

Step 5輸出生成的模型樹(shù)M T0。

直接采用生成的M T0做預(yù)測(cè)，往往會(huì)產(chǎn)生過(guò)擬合現(xiàn)象，需要對(duì)其進(jìn)行剪枝操作，但又要防止剪掉一些節(jié)點(diǎn)后導(dǎo)致預(yù)測(cè)的誤差增加。因此，采用代價(jià)復(fù)雜度剪枝算法進(jìn)行后剪枝。具體算法如下：

輸入生成的模型樹(shù)M T0

輸出最優(yōu)模型樹(shù)M T

Step 1設(shè)k=0，M T=M T0，γ=+∞。

Step 2自下而上遍歷每個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)t，并計(jì)算和整體損失函數(shù)的減少程度g（t）。計(jì)算公式見(jiàn)式（2）和（3）。

Step 3自上而下訪問(wèn)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)。若g（t）=γ，則剪去該分支，得到樹(shù)M Tt。

Step 4設(shè)k=k+1，γk=γ，M Tk=M Tt。

Step 5如果M Tt不是由根節(jié)點(diǎn)單獨(dú)構(gòu)成的樹(shù)，則回到Step 3。

Step 6使用交叉驗(yàn)證法在子樹(shù)序列M T1，M T2，…，M Tn中選取最優(yōu)子樹(shù)M T。

1.2 基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)

由于基于最小損失函數(shù)的模型樹(shù)計(jì)算得出的分裂點(diǎn)不理想（如圖2），導(dǎo)致預(yù)測(cè)效果不好，故對(duì)其分裂算法進(jìn)行改進(jìn)，提出最大離差分裂算法，使得其能夠適用于證券數(shù)據(jù)的分裂，提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。

基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)的主要算法流程如下：

輸入滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)集Y

Step 1對(duì)全體滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)Y進(jìn)行線性回歸，得到初始的線性回歸直線Lparent及對(duì)應(yīng)的線性回歸函數(shù)yline。Lparent與實(shí)際值的首次和最后一次交點(diǎn)，分別為s t ar t和end。

Step 2搜索分裂屬性。對(duì)已構(gòu)建的線性回歸函數(shù)搜索分裂屬性，并將分裂屬性取并集，即回歸屬性集合。

Step 3生成分裂點(diǎn)和線性回歸函數(shù)。若第i個(gè)交易日在start和end之間，即i∈［st ar t，end］，則從滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)中選擇與Lparent上的點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，作為分裂點(diǎn)spli tPos，其計(jì)算方法如式（4）、（5）。

以此將數(shù)據(jù)分為左右兩段，并對(duì)兩段數(shù)據(jù)分別進(jìn)行線性回歸，得到Lleft和Lright。線性回歸函數(shù)為yleft和yright，二者分別作為父節(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)。將得到的Lright作為L(zhǎng)parent，yright作為yline。

Step 4遍歷遞歸，生成模型樹(shù)。遞歸執(zhí)行Step2和Step3，至達(dá)到閾值條件，即end-s t ar t＜10，R＞0.9。其中R為最大相關(guān)系數(shù)，最后生成的右子樹(shù)為L(zhǎng)latest。

Step 5構(gòu)建好模型樹(shù)M T，使用滬深300測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。以Llatest作線性回歸預(yù)測(cè)，計(jì)算并輸出預(yù)測(cè)衡量指標(biāo)，則算法結(jié)束。

最大離差分裂算法流程如圖1所示。

圖1中，yline為原始滬深300數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸得到的回歸方程；i表示第i個(gè)交易日；yi表示第i個(gè)交易日的真實(shí)值；ylinei表示第i個(gè)交易日的線性回歸值；s pl i t Pos表示分裂點(diǎn)；R為最大相關(guān)系數(shù)。

圖1 最大離差分裂算法流程圖Fig.1 Maximum deviation splitting algorithm flow chart

2 實(shí)證分析

2.1 預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文使用均方誤差MSE，均方根誤差RMSE和平均絕對(duì)百分比誤差MAPE作為預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，用于描述預(yù)測(cè)值偏離真實(shí)值的程度。三者的計(jì)算方法如公式（6）～公式（8）。

其中，y（i）為第i個(gè)交易日滬深300指數(shù)收盤(pán)價(jià)的真實(shí)值；y＾（i）為第i個(gè)交易日滬深300指數(shù)收盤(pán)價(jià)的預(yù)測(cè)值；n為樣本總數(shù)。

由上述公式可知，三者的值越小則說(shuō)明模型預(yù)測(cè)的結(jié)果誤差越小，即與真實(shí)值越接近，預(yù)測(cè)效果也越好。

2.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及預(yù)處理

2.2.1 MTDM算法分組對(duì)比樣本數(shù)據(jù)的選取

本文選取兩組時(shí)間段的滬深300指數(shù)日收盤(pán)價(jià)，作為訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)和測(cè)試樣本數(shù)據(jù)。2007年8月15日至2008年11月6日的300個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)作為第一組的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)，2008年11月7日至2014年7月16日的1 381個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)作為第一組的測(cè)試樣本數(shù)據(jù)。2013年4月20日至2014年7月16日的300個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)作為第二組的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)，2014年7月17日至2019年1月4日的1 092個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)作為第二組的測(cè)試樣本數(shù)據(jù)。

在兩組數(shù)據(jù)的測(cè)試樣本數(shù)據(jù)中，均包含了完整的上漲牛市數(shù)據(jù)、下跌的熊市數(shù)據(jù)以及震蕩數(shù)據(jù)，使得實(shí)驗(yàn)?zāi)艹浞职笆鰩追N情況，更好地驗(yàn)證模型預(yù)測(cè)的有效性。

2.2.2 MTDM算法與其他算法對(duì)比樣本數(shù)據(jù)的選取

在與其他預(yù)測(cè)算法進(jìn)行對(duì)比時(shí)，保持與原實(shí)驗(yàn)一致的時(shí)間段數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)樣本，即將文獻(xiàn)［11］提出的LSTM／Adaboost、SVR／LSTM／Adaboost回歸集成算法應(yīng)用于2012年5月3日～2017年9月4日的滬深300指數(shù)的預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)［6］提出的PSO算法優(yōu)化，應(yīng)用于2015年12月11日～2016年11月12日的滬深300指數(shù)的預(yù)測(cè)。將基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)的滬深300指數(shù)模型分別用于上述兩個(gè)時(shí)間段，其中訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)在此基礎(chǔ)上分別增加300個(gè)交易日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)，即2011年2月1日～2012年5月2日、2014年9月17日～2016年11月11日分別作為二者的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)，從而保持對(duì)比實(shí)驗(yàn)的一致性。

2.2.3 數(shù)據(jù)預(yù)處理

在預(yù)測(cè)時(shí)，由于原始數(shù)據(jù)差距較大，直接輸入模型樹(shù)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)誤差較大。為保證模型測(cè)預(yù)效果，采用歸一化方法處理這些數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)線性變換，可以映射到［0，1］范圍內(nèi)，歸一化表達(dá)式如公式（9）：

其中，x'為歸一化后的數(shù)據(jù)，xmin、xmax分別為樣本數(shù)據(jù)的最小值和最大值。

2.3 分裂和預(yù)測(cè)效果

為保證展示效果，在此與LSTM算法預(yù)測(cè)方法對(duì)比的數(shù)據(jù)，以2011年2月1日至2017年9月4日，共1603個(gè)交易日的滬深300收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)為例，說(shuō)明分裂過(guò)程；以該對(duì)比實(shí)驗(yàn)第一年的測(cè)試數(shù)據(jù)，即2012年5月3日至2013年11月5日共365個(gè)樣本數(shù)據(jù)說(shuō)明預(yù)測(cè)效果。

（1）基于最小損失函數(shù)的模型樹(shù)分裂效果

基于最小損失函數(shù)的模型樹(shù)分裂效果如圖2所示。

圖2 基于MTLLF算法的分裂效果圖Fig.2 Splitting effect based on MTLLF algorithm

其中，折線表示真實(shí)值；圓點(diǎn)表示回歸分裂點(diǎn)；虛線表示相鄰分裂點(diǎn)的連接線。由圖2可見(jiàn)，分裂點(diǎn)連接線的走勢(shì)沒(méi)有反映滬深300指數(shù)的走勢(shì)特征，導(dǎo)致分裂效果不好，不能夠很好地應(yīng)用于證券數(shù)據(jù)分析當(dāng)中。

（2）基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)分裂效果

基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)分裂效果如圖3所示。

圖3 基于MTDM算法的分裂效果圖Fig.3 Split effect diagram based on MTDM algorithm

由圖3可以看出，每個(gè)圓點(diǎn)都落在代表真實(shí)值折線的拐點(diǎn)處，分裂點(diǎn)連接線的走勢(shì)與滬深300指數(shù)的走勢(shì)基本契合，分裂效果理想，適應(yīng)證券數(shù)據(jù)的特征，為后續(xù)的預(yù)測(cè)奠定了基礎(chǔ)。

（3）基于最大離差分裂算法模型樹(shù)的預(yù)測(cè)效果

使用基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)，對(duì)滬深300數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示。

圖4 基于MTDM算法的預(yù)測(cè)效果圖Fig.4 Forecast effect diagram based on MTDM algorithm

由圖4可見(jiàn)，基于MTDM算法的預(yù)測(cè)結(jié)果接近真實(shí)值，與真實(shí)值的擬合程度較高，預(yù)測(cè)效果較好。

2.4 預(yù)測(cè)性能對(duì)比分析

（1）MTDM算法分組實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)性能對(duì)比

使用MTDM算法模型對(duì)前述兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的MSE、RMSE和MAPE見(jiàn)表1。

表1 分組實(shí)驗(yàn)性能對(duì)比表Tab.1 Performance comparison table of grouping experiment

由表1可知，MTDM預(yù)測(cè)方法在不同長(zhǎng)度的時(shí)間段內(nèi)的預(yù)測(cè)誤差變化較小。對(duì)于牛市、熊市以及震蕩市場(chǎng)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)均具有較好的適用性，預(yù)測(cè)穩(wěn)定性和預(yù)測(cè)精度都有較好的表現(xiàn)。

（2）MTDM與其他算法預(yù)測(cè)性能對(duì)比

MTDM算法與基于LSTM的預(yù)測(cè)方法以及PSO優(yōu)化預(yù)測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比，得到的MSE、RMSE和MAPE分別見(jiàn)表2、表3。由表2、3可知，MTDM預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差顯著低于其他算法，具有更好的預(yù)測(cè)效果。

表2 與基于LSTM預(yù)測(cè)方法的性能對(duì)比表Tab.2 Performance comparison table with the prediction method based on LSTM

表3 與PSO算法優(yōu)化預(yù)測(cè)方法的性能對(duì)比表Tab.3 Performance comparison table with PSO algorithm optimization prediction method

3 結(jié)束語(yǔ)

本文使用最大離差分裂算法改進(jìn)了模型樹(shù)，使得模型能夠適應(yīng)證券數(shù)據(jù)的特征，經(jīng)不同時(shí)間段的滬深300指數(shù)預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，以及與其他預(yù)測(cè)方法的對(duì)比，表明本模型具有良好的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性。

基于最大離差分裂算法的模型樹(shù)預(yù)測(cè)模型在找到分裂點(diǎn)并分裂數(shù)據(jù)后，僅用模型樹(shù)的最右子樹(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，丟失了兄弟節(jié)點(diǎn)、父節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。下一步擬使用多叉模型樹(shù)，利用節(jié)點(diǎn)間的關(guān)系、最右子樹(shù)等所有分裂信息構(gòu)建預(yù)測(cè)模型，進(jìn)一步減小預(yù)測(cè)誤差，提高預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率。