例談“對稱法”求解幾何光學(xué)問題

胡永琰

[摘? ?要]幾何邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化是求解高中幾何光學(xué)問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，不少學(xué)生在實際解題中對幾何邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化方法比較單一、不夠靈活，時常因邊角關(guān)系被卡住。文章通過舉例，介紹了用“對稱法”求解相關(guān)幾何光學(xué)問題的解題方法。

[關(guān)鍵詞]對稱;邊角關(guān)系;光路

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）11-0061-03

一、問題提出

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：在求解一道高考真題時，學(xué)生提出了兩種解法，但這些解法都不是高考提供的參考解法，且差異較大，由此引發(fā)了筆者的思考。

從上述的三種方法來看，學(xué)生的解法與標(biāo)準(zhǔn)答案的解法存在一定的差異。那么究竟是哪種方法更具有普遍性呢？似乎各有所長，難以定論。作為教師，從研究高考試題的角度來看，可以試著從三種解法的分析與對比中找到各種解法的精髓，進(jìn)而提升學(xué)生解決相關(guān)問題的能力。

二、問題探究

筆者在反思中發(fā)現(xiàn)了：平面鏡成像時，像與物關(guān)于平面鏡對稱，這種對稱關(guān)系會極大地豐富幾何光學(xué)中邊角轉(zhuǎn)化方法。但在高中，由于幾何光學(xué)的核心內(nèi)容是光的折射，“平面鏡反射”這部分內(nèi)容處于邊緣化的位置，因此，在實際解答相關(guān)問題時，往往會聚焦在光的折射上而忽視平面鏡反射中的對稱性，正是因為忽視了潛在的對稱關(guān)系，導(dǎo)致不少幾何光學(xué)問題淪為赤裸裸的數(shù)學(xué)幾何題，缺乏必要的物理思維。

下面重點剖析例1各種解法的特點。

解法1.巧妙應(yīng)用[EF=EO+OF=EP+PF]幾何關(guān)系，根據(jù)該關(guān)系式，結(jié)合已知的邊角，定量表達(dá)出[EO]、[OF]、[EP]、[PF]，并代入上式，由此推導(dǎo)出相關(guān)的入射角或折射角。此法要求學(xué)生能夠在解題時敏銳地覺察到上面的幾何關(guān)系。

解法2.對兩個有公共邊的三角形各自使用正弦定理，由此建立起等量關(guān)系，進(jìn)而求出入射角或折射角。解題思路非常清晰，但這種解法要求學(xué)生對幾何關(guān)系非常敏感。

學(xué)生提供的解法具有濃厚的數(shù)學(xué)味，而事實確實也是班級中那些數(shù)學(xué)好的學(xué)生才能求解。

解法3.把半圓的下半部分補充完整，由此衍生了很多的輔助線，而根據(jù)輔助線能夠非常靈活地轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系，由此可以簡化問題，但問題在于學(xué)生不容易想到如此作輔助線。

通過以上三種方法的比較可以看出，此題的解法呈開放性，給了學(xué)生獨立思考和個性表達(dá)的空間。但作為教師，應(yīng)該思考究竟是哪種解法更具有普遍性。不過，經(jīng)過師生和生生的交流、思考發(fā)現(xiàn)：解法3更具有普遍性。解法3的輔助線之所以不易想到，是因為忽視了平面鏡反射中的對稱性，導(dǎo)致其中豐富的幾何邊角關(guān)系被掩蓋。若能在平面鏡反射中借助虛像來完成相關(guān)光路圖，那么其對應(yīng)的輔助線也就水到渠成，就可以降低此類問題的難度。

[例2]一高為[2a]的長方體容器，其底面是邊長為[a]的正方形，容器中充滿了透明液體，如圖5，D和D′分別是上下面的中心，過DD′且垂直于左右兩側(cè)面截出其剖面，容器右側(cè)內(nèi)壁均勻噴涂有某種反光材料，剩余內(nèi)壁均勻噴涂有某種吸光材料，剖面的左下方[S]處有一點光源，已知在D處觀測到兩束相互垂直的光線，求容器中透明液體的折射率為多少？

評析：例3中同樣涉及平面鏡反射，利用虛像來完成光路后，其臨界光路非常清晰，除了可以精準(zhǔn)地完成光路圖之外，在定量計算的時候，邊角轉(zhuǎn)化也比較靈活。

綜上分析可以得出，在涉及平面鏡反射的折射問題中要充分運用像與物的對稱關(guān)系完成光路圖，由其中的對稱關(guān)系作出相關(guān)的輔助線，綜合光路圖和輔助線挖掘潛在的邊角關(guān)系，可以較輕松地破解高中幾何光學(xué)問題的難點。教師在幾何光學(xué)的教學(xué)中要強化學(xué)生的對稱意識，引導(dǎo)學(xué)生在處理這類問題時用對稱法切入，較之其他偏向數(shù)學(xué)的解法，“對稱法”具有明顯的物理特點和優(yōu)勢，可以提升學(xué)生解決此類問題的能力。

三、思考與啟示

高中物理幾何光學(xué)內(nèi)容，雖是物理題，難點在于幾何知識的運用，現(xiàn)實中，不少師生把它當(dāng)作幾何問題的簡單翻版，導(dǎo)致在處理較復(fù)雜的幾何光學(xué)問題時方法單一，數(shù)學(xué)味偏重，解題效率低下。而通過平面鏡反射成像的對稱性可以靈活轉(zhuǎn)換邊角關(guān)系，思維廣闊，富含學(xué)科特色，該方法對求解相關(guān)幾何光學(xué)問題具有一定的啟發(fā)性。當(dāng)然，“對稱思維”本身也是物理學(xué)的重要思維方法，在“靜電場”“簡諧運動”“恒定電流”等問題中都有著極為重用的應(yīng)用。此外，教師在教學(xué)中應(yīng)提倡研究參考答案，每一種解法的切入點、思想方法都有一定的差異，認(rèn)真分析、對比各種解法，在不同解法的分析對比中，還能查缺補漏、拓寬思路，提高解決問題的能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 羅聲苗，肖炯.一道幾何光學(xué)高考題的兩種新解法[J].物理通報，2012（12）：45-46.

[2]? 趙亞娜.“玻璃磚”背景下的光學(xué)應(yīng)用：光的折射、全反射定律在高考中的命題規(guī)律及復(fù)習(xí)策略[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2020，49（1）：47-51.

[3]? 劉明忠.數(shù)學(xué)知識在2011年高考物理中的應(yīng)用[J].中學(xué)物理，2012，（5）：67-68.

（責(zé)任編輯 易志毅）