數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用探究

高姬娜

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)教學(xué)的難度，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決各類(lèi)問(wèn)題。文章對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹和分析，闡述了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用方式。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;初中數(shù)學(xué)教學(xué);運(yùn)用

隨著新課改的深入推廣，現(xiàn)代教學(xué)方法和觀念在不斷改進(jìn)和更新。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要根據(jù)新課改的要求創(chuàng)新教學(xué)方法，既要鞏固學(xué)生的理論基礎(chǔ)，又要培養(yǎng)學(xué)生思考、分析、運(yùn)用等能力，使學(xué)生可以靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。教師要深入剖析教材，分析知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，明確教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，并滲透數(shù)形結(jié)合思想，利用該思想強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，轉(zhuǎn)化抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，達(dá)到以形助數(shù)、以數(shù)解形的目的，使學(xué)生可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)難題，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)介

（一）概念

數(shù)和形是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)組成部分，采用數(shù)形結(jié)合思想可以轉(zhuǎn)化數(shù)和形這兩種信息，進(jìn)而靈活運(yùn)用抽象思維和形象思維，使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單直觀，進(jìn)一步找到解題的思路和方法。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)解析的方式詳細(xì)分析問(wèn)題的細(xì)節(jié)，使學(xué)生更加精準(zhǔn)、快速地解決問(wèn)題。采用數(shù)形結(jié)合思想可以增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，使學(xué)生了解問(wèn)題的變化和發(fā)展趨勢(shì)，從而找到解決問(wèn)題的方法。初中學(xué)生需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多，包括不等式、方程式等等，這些知識(shí)都可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行分析，不僅可以降低數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度，而且能強(qiáng)化學(xué)生的思維能力，有助于學(xué)生的持續(xù)進(jìn)步和發(fā)展。

（二）應(yīng)用意義

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想具有積極作用和意義，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

第一，數(shù)形結(jié)合思想與新課改要求相符。新課改要求教師不僅要打牢學(xué)生的文化基礎(chǔ)，而且要強(qiáng)化學(xué)生的能力素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想可以強(qiáng)化學(xué)生分析、思考、探索等能力，符合新課改的教學(xué)要求，是素質(zhì)教育背景下不可或缺的數(shù)學(xué)教學(xué)思想。

第二，數(shù)形結(jié)合思想有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而幫助學(xué)生更深入地了解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。初中數(shù)學(xué)本身就具有復(fù)雜、抽象的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的難度較大，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)難以掌握而逐漸喪失學(xué)習(xí)的信心[1]。采用數(shù)形結(jié)合思想，可以增強(qiáng)教學(xué)的直觀性。數(shù)和形之間的相互轉(zhuǎn)化，也能使學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，使學(xué)生恢復(fù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和積極性。

第三，數(shù)形結(jié)合思想可以強(qiáng)化學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。該思想結(jié)合數(shù)和形兩方面的知識(shí)內(nèi)容，通過(guò)不同知識(shí)內(nèi)容的搭配，可以增強(qiáng)教學(xué)的靈活性，并且引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，有利于學(xué)生綜合應(yīng)用能力的提升。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方法

（一）應(yīng)用要點(diǎn)

在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合思想。該思想可以讓抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得直觀簡(jiǎn)潔，也有助于抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，進(jìn)而使學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)和形之間的關(guān)系，通過(guò)二者之間的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在運(yùn)用該思想的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)涉及以下內(nèi)容：第一，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;第二，函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系;第三，曲線(xiàn)與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;第四，結(jié)合元素和幾何條件為背景建立起來(lái)的概念等等。從中考、高考的角度來(lái)看，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，可以達(dá)到事半功倍的解題效果。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛，在方程、不等式、函數(shù)等各類(lèi)問(wèn)題中均可應(yīng)用。

（二）應(yīng)用類(lèi)型

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方式有很多，包括以數(shù)化形、以形變數(shù)及形數(shù)互變?nèi)N。

所謂以數(shù)化形，就是將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，使抽象的數(shù)變成具象的形，從而降低問(wèn)題的難度，增強(qiáng)問(wèn)題的直觀性。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要將與數(shù)對(duì)應(yīng)的形找出來(lái)，然后利用圖形解決問(wèn)題?？梢栽趩?wèn)題情境中探索符合問(wèn)題目標(biāo)的特定模式，該模式就是數(shù)和形的特定關(guān)系[2]。將數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，并且通過(guò)圖形分析、推理解答等方式解決數(shù)量問(wèn)題的方法，就是圖形分析法。數(shù)量問(wèn)題圖形化是數(shù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題的首要條件，可以從平面幾何、立體幾何、解析幾何三個(gè)方面入手。解答數(shù)學(xué)問(wèn)題首先要分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，然后分析已知條件和解答目標(biāo)，最后將條件和目標(biāo)進(jìn)行對(duì)比，明確二者之間的關(guān)聯(lián)。針對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，要先明確條件和求解目標(biāo)，然后從條件和結(jié)論的角度出發(fā)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察分析，了解問(wèn)題是否可以運(yùn)用學(xué)過(guò)的公式、圖形進(jìn)行表達(dá)或者構(gòu)建相似的圖形，然后利用圖形的性質(zhì)、幾何意義等解答問(wèn)題。

所謂以形變數(shù)，就是通過(guò)代數(shù)計(jì)算來(lái)解決比較復(fù)雜的圖形問(wèn)題，將圖形數(shù)字化的同時(shí)，要觀察圖形特點(diǎn)，掌握問(wèn)題中潛藏的條件，利用圖形的性質(zhì)和幾何意義，將形準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為數(shù)，然后進(jìn)行計(jì)算分析。

所謂形數(shù)互變，就是將上述兩種方式結(jié)合在一起，不僅僅是圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)量或數(shù)量轉(zhuǎn)化為圖形，還可以進(jìn)行二者的相互轉(zhuǎn)化。在解題的過(guò)程中，可以從已知的結(jié)論出發(fā)，掌握形數(shù)互變的條件，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題。在初中數(shù)學(xué)中，知識(shí)通常分為三類(lèi)，分別是：純粹的數(shù)知識(shí)，包括代數(shù)、不等式、函數(shù)等等;純粹的圖形知識(shí)，包括平面幾何、立體幾何等等;數(shù)形混合的知識(shí)，包括解析幾何。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

（一）數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)揮該思想的作用和價(jià)值，配合現(xiàn)代化的教學(xué)方式和手段，使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要明確知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)感，然后在此基礎(chǔ)上滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)中不斷拓展和延伸，促進(jìn)教學(xué)效率的提升。初中數(shù)學(xué)以數(shù)和形為主，是教學(xué)的核心和重點(diǎn)，也是學(xué)生必學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容。教師只有強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，才能使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)思維分析和思考問(wèn)題。

例如，在“一次函數(shù)”相關(guān)知識(shí)教學(xué)的過(guò)程中，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合圖像講解函數(shù)性質(zhì)，將函數(shù)圖像的幾何特征和數(shù)量特征聯(lián)系在一起。在解題過(guò)程中，學(xué)生可以根據(jù)函數(shù)圖像的幾何特征分析解題方法，進(jìn)而獲得更多解題思路。教師在教學(xué)過(guò)程中，可以選擇典型的數(shù)形結(jié)合練習(xí)題，通過(guò)具體的問(wèn)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

例：一次函數(shù)的自變量的取值范圍是，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是，求這個(gè)函數(shù)的解析式。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)一次函數(shù)的圖像和問(wèn)題條件進(jìn)行分析，一次函數(shù)的圖像為一條直線(xiàn)，當(dāng)自變量的取值范圍是時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是，則存在以下兩種可能：

（1）當(dāng)時(shí)，，在函數(shù)圖像上，將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即，，可解得，，則一次函數(shù)的表達(dá)式為;

（2）當(dāng)時(shí)，，在函數(shù)圖像上，將這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即，，可解得，，則一次函數(shù)的表達(dá)式為。

所以，一次函數(shù)的表達(dá)式為或。

（二）適當(dāng)引導(dǎo)，強(qiáng)化學(xué)生的解題能力

初中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要打牢學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且要強(qiáng)化學(xué)生的解題能力。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生解析、探索的數(shù)學(xué)精神，鼓勵(lì)學(xué)生轉(zhuǎn)化未知問(wèn)題，靈活運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解答問(wèn)題。教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)圖形和文字相結(jié)合的方式描述數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的直觀性和生動(dòng)性。運(yùn)用圖形可以幫助學(xué)生掌握問(wèn)題的核心和特點(diǎn)，從而明確問(wèn)題中可用的條件，然后通過(guò)聯(lián)想、拓展等方式獲得解題路徑。

例如，在“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”這一課的教學(xué)過(guò)程中，教師可以運(yùn)用以數(shù)化形的方式進(jìn)行教學(xué)。首先明確問(wèn)題中的條件和提問(wèn)目標(biāo)，然后根據(jù)具體的條件、結(jié)論進(jìn)行分析，了解圖像和函數(shù)解析式之間的關(guān)系，運(yùn)用學(xué)過(guò)的公式、概念來(lái)解決問(wèn)題，充分掌握二次函數(shù)的圖像性質(zhì)和幾何意義。

（三）習(xí)題練習(xí)，豐富學(xué)生的解題思路

初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅為了應(yīng)對(duì)考試，主要是為了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題。所以，教師要將數(shù)學(xué)教學(xué)與生活實(shí)際聯(lián)系在一起，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，使學(xué)生可以做到舉一反三。

例如，在房屋裝修的過(guò)程中，運(yùn)用黑白兩種顏色的正六邊形地磚鋪地，根據(jù)特定的鋪設(shè)規(guī)律設(shè)計(jì)不同的圖案，學(xué)生要分析鋪設(shè)規(guī)律，然后推測(cè)第4組圖案中有幾個(gè)黑色的地磚，以及第n組圖案中有幾個(gè)黑色的地磚。學(xué)生可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)的知識(shí)來(lái)分析圖形的規(guī)律特點(diǎn)。首先要分析問(wèn)題中的條件，第一個(gè)圖案中黑色地磚有6塊，后續(xù)圖形使用的黑色地磚分別是10塊、14塊、18塊……以此類(lèi)推，根據(jù)圖案的特點(diǎn)和規(guī)律，對(duì)地磚的使用數(shù)量進(jìn)行分析，可知每個(gè)圖案中的黑色地磚都比前一個(gè)圖案中使用的黑色地磚多4個(gè)，所以第n個(gè)圖案使用的黑色地磚為4n+2。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，不僅可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，降低數(shù)學(xué)難度，而且能強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生獲得更多的解題思路，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

【參考文獻(xiàn)】

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