三次非線性憶阻器的雙端口建模與特性分析

曹 偉 ,喬金杰 ,趙麗娜 ,崔 弘

(1.齊齊哈爾大學(xué)計算機與控制工程學(xué)院,黑龍江齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,黑龍江齊齊哈爾 161006)

1971 年美國華裔科學(xué)家蔡少棠教授從物理學(xué)對稱性角度,首先提出了憶阻器的存在[1],全稱記憶電阻器(Memristor)。傳統(tǒng)電阻是線性無源二端口元件,而憶阻器體現(xiàn)的是磁通量與電荷之間的關(guān)系,其阻值隨兩端輸入的電流或電壓而變化,而且在斷電情況下能保持以往的值不變,只有輸入反向電流時才會被推回。因此,憶阻器是具有非易失性的非線性無源二端口電路元件。但由于當(dāng)時僅從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)得到的憶阻器,缺少實驗支撐,因此憶阻器提出后的30 多年,并沒有引起研究者的足夠重視。直到2008 年5 月,在《Nature》 雜志上發(fā)表了美國惠普實驗室研制出的二氧化鈦憶阻器實物模型[2-3],才引起了人們對憶阻器研究的極大興趣[4]。

正因為憶阻器是具有記憶功能的非線性新型電路元件,因此在混沌電路[5-6]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-8]、非易失性存儲[9]和模擬電路[10-11]等眾多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用前景。但由于憶阻器是納米級元件,加之受限于嚴(yán)格的實驗條件,能夠?qū)⑵湮锢韺傩酝耆w現(xiàn)出來的標(biāo)準(zhǔn)元件到目前為止還是難以獲得,精確電氣特性實驗數(shù)據(jù)的獲取也較難[12]。因此為了更好地促進(jìn)對憶阻器及其應(yīng)用研究,建立有效的仿真模型尤為重要,且成為了一個研究熱點。文獻(xiàn)[13-14]利用文獻(xiàn)[15-16]建立的憶阻器模擬電路仿真器(Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis,SPICE)取得了一些應(yīng)用研究成果。文獻(xiàn)[17]基于Simulink 建立了兩種不同窗函數(shù)的惠普憶阻器的仿真模型。2009 年文獻(xiàn)[18]給出了憶阻器和憶容器的分階段線性函數(shù)模型,分析了記憶元件的電路特性,但沒有建立仿真模型。文獻(xiàn)[19]通過對文獻(xiàn)[18]中給出的分段線性函數(shù)憶容器數(shù)學(xué)模型的分析,基于Simulink 構(gòu)建了憶容器的仿真模型,但該仿真模型只實現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型中的分段線性函數(shù)部分,并沒有體現(xiàn)出數(shù)學(xué)模型中的階躍函數(shù),從而該仿真模型沒能反映出憶容值依賴于歷史狀態(tài)的特性。為彌補文獻(xiàn)[19]中的不足,文獻(xiàn)[20]在文獻(xiàn)[19]建立的仿真模型基礎(chǔ)上,建立了能夠?qū)崿F(xiàn)階躍函數(shù)功能的憶阻器、憶容器和憶感器的Simulink 輸入輸出仿真模型,正確反映出了憶阻值、憶容值和憶感值的記憶特性和歷史狀態(tài)有關(guān)的特性,但文獻(xiàn)[20]建立的輸入輸出仿真模型不方便與其他二端口元件連接。為了便于與其他二端口元件相結(jié)合,擴(kuò)大憶阻器的應(yīng)用范圍,文獻(xiàn)[21]基于Simulink 建立了雙曲正弦函數(shù)憶阻器的雙端口模型,遺憾的是該文獻(xiàn)也沒能體現(xiàn)出憶阻器阻值對歷史狀態(tài)的依賴性。

因此,為了使基于Simulink 建立的憶阻器仿真模型便于與雙端口電路元件直接連接,并能體現(xiàn)出憶阻器阻值對歷史狀態(tài)的依賴性,本文結(jié)合文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[22]的思路,通過分析壓控型憶阻器的數(shù)學(xué)模型,利用憶阻器的輸入電壓和上下限飽和度,設(shè)計了一種帶有單位階躍函數(shù)的三次非線性函數(shù),以此來表示憶阻器的阻值變化率,并通過引入受控電流源和交流電壓源的方法構(gòu)建了基于Simulink 的雙端口模型。該模型不僅能體現(xiàn)出憶阻器的記憶特性和歷史狀態(tài)有關(guān)的特性,而且建立的三次非線性函數(shù)憶阻器的雙端口模型更便于搭建憶阻相關(guān)電路,擴(kuò)大憶阻器的應(yīng)用范圍。最后,通過對建立的雙端口模型輸入不同信號的仿真實驗,驗證了所建立的雙端口模型的有效性。

1 憶阻器的數(shù)學(xué)模型與基本特性

1.1 憶阻器的數(shù)學(xué)模型

蔡少棠教授在1971 年提出憶阻器概念時,指出憶阻器描述了磁通量φ與累積電荷q之間的某種關(guān)系,其數(shù)學(xué)定義可表示為[1]:

憶阻器可分為荷控型和磁控型。當(dāng)式(1)是磁通的單值函數(shù)時即為磁控型憶阻器,也稱為壓控型憶阻器,可由式(2)表示:

式中:qM為流經(jīng)憶阻器的電荷量;vM(t)為加在憶阻器兩端的電壓;iM(t)為通過憶阻器的電流;φM(t)為憶阻器的磁通量;WM為憶導(dǎo)值。變量的下標(biāo)M 表示該變量與憶阻有關(guān)。

當(dāng)式(1)是電荷的單值函數(shù)時即為荷控型憶阻器,也稱為流控型憶阻器,可由式(3)表示:

式中:RM為憶阻值。

憶阻器是一個基本的非線性無源二端口元件,可作為第四種電路元件,與普通電阻器、電感器和電容器一起構(gòu)成了電路理論的完備性。

文獻(xiàn)[18]中在將憶阻器的概念推廣至憶容器和憶感器時,給出了記憶元件的一個通用數(shù)學(xué)表達(dá)式,如式(4)所示。

式中:u(t)和y(t)分別為記憶元件的輸入和輸出;x為記憶元件的狀態(tài)變量;g為廣義響應(yīng)函數(shù);f為連續(xù)向量函數(shù)。當(dāng)u(t)取流經(jīng)憶阻器的電流,y(t)取加在憶阻器的兩端電壓時,流控型憶阻器的通用數(shù)學(xué)模型可表示為:

式中:xM為憶阻器系統(tǒng)的無量綱狀態(tài)變量。同樣,當(dāng)u(t)取加在憶阻器的兩端電壓,y(t)取流經(jīng)憶阻器的電流時,則壓控型憶阻器的通用數(shù)學(xué)模型可表示為:

2008 年美國惠普實驗室研制出一種納米級憶阻器的物理模型[2],自此人們針對惠普實驗室的二氧化鈦憶阻器展開眾多研究,建立了線性雜質(zhì)漂移模型、窗函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、三次非線性模型、積分模型等數(shù)學(xué)模型。

1.2 憶阻器的基本特性

憶阻器具有如下特性[23]:加在憶阻器兩端輸入電壓與流經(jīng)憶阻器的電流呈滯回環(huán)關(guān)系,且滯回環(huán)的寬度隨輸入正弦電壓幅值的增加逐漸變寬,隨輸入正弦電壓頻率的增加而逐漸變窄,直至一條直線。

同時,從式(6)可以看出,當(dāng)憶阻器的輸入電壓vM(t)=0 時,其輸出必定為零,即iM(t)=0,也就是說憶阻器具有過零屬性。因此,當(dāng)用一定頻率的過零周期電壓作為憶阻器的輸入信號時,其電壓和電流的特性曲線一定是過坐標(biāo)零點的滯回環(huán)曲線。2008 年美國惠普實驗室利用研制出的憶阻器物理模型,通過實驗進(jìn)一步驗證了憶阻器的上述特性[2]。

2 憶阻器雙端口模型的建立

2.1 基于受控源的雙端口模型設(shè)計

由于基于Simulink 建立的輸入輸出模型不方便與眾多雙端口電路元件直接連接,因此本文建立一種三次非線性函數(shù)憶阻器的雙端口模型。

本文通過分析憶阻器的通用數(shù)學(xué)模型,利用憶阻器上下限飽和度和輸入電壓,設(shè)計帶有單位階躍函數(shù)的三次非線性函數(shù),以此來表示憶阻器的阻值變化率。即給定憶導(dǎo)WM(xM,vM,t),設(shè)計阻值變化率(t) 的表達(dá)式如式(7)所示:

則式(6)可用式(8)和式(9)表示為:

式中:α和β為常數(shù);R1為憶阻器的上限飽和度;R1為憶阻器的下限飽和度;θ為單位階躍函數(shù);xM為憶阻器阻值。

為實現(xiàn)憶阻器的雙端口建模,通過引入受控電流源和交流電壓源的方法建立基于Simulink 的雙端口模型。因為式(8)和式(9)為壓控型憶阻器的數(shù)學(xué)模型,因此根據(jù)式(8)選擇受控電流源,并將式(8)的電流作為受控電流源的控制信號。式(8)通過交流電壓源兩端電壓、積分器1、倒數(shù)模塊和乘法器4 實現(xiàn)。式(9)表示的憶阻器阻值變化率通過交流電壓源兩端電壓、乘法器1-3、增益1-2、加法器、常數(shù)模塊1-4、開關(guān)1-2 實現(xiàn)。將積分器1 的輸出通過階躍函數(shù)后反饋到積分器1 的輸入端,實現(xiàn)憶阻器的記憶功能。給定積分器1 有效初始值,則式(9)通過積分器1 后便可得到憶阻器阻值xM。

按照上述方案建立的雙端口模型如圖1 所示。模型中的4 個常數(shù)模塊和2 個開關(guān)模塊實現(xiàn)了式(9)中單位階躍函數(shù)功能。其中階躍函數(shù)的0 和1 兩個狀態(tài),分別由0 和1 兩個常數(shù)模塊表示。將xM與開關(guān)1 的閾值R1比較,當(dāng)xM＞R1時,開關(guān)1 輸出為1,否則為0;將xM與開關(guān)2 的閾值R2比較,當(dāng)xM＜R2時,開關(guān)2 輸出為1,否則為0。這樣,階躍函數(shù)在式(9)中的作用得以實現(xiàn),同時還體現(xiàn)出了憶阻器阻值依賴于歷史狀態(tài)的特性,即憶阻器的記憶特性得到正確表征。

圖1 憶阻器的雙端口模型與驗證電路Fig.1 Dual port model of the memristor and its verification circuit

2.2 憶阻器雙端口模型的特性分析

為驗證雙端口模型的有效性,按照圖1 所示的驗證電路,給雙端口模型接入交流電壓源和示波器進(jìn)行測試實驗。模型中的參數(shù)設(shè)置如下:正弦交流電壓源的幅值為vm,頻率為f,即加在憶阻器兩端的電壓為vM(t)=vmsin(2πft);增益1 取α=400 Ω·V-1·s-1,增益2 取β=400 Ω·V-3·s-1,開關(guān)2 閾值R2=500 Ω,開關(guān)1 閾值R1=20 Ω,積分器1 初始值取為70 Ω,電力系統(tǒng)圖形化用戶分析界面模塊選為連續(xù)型,其余設(shè)置都取默認(rèn)值,計算步長設(shè)為0.001 s。示波器1顯示的是憶阻器的電壓vM和電流iM關(guān)系曲線,示波器2 顯示的是憶阻器的電壓vM和憶導(dǎo)WM關(guān)系曲線,示波器4 顯示的是憶阻器的阻值變化曲線,圖1 中右下角的積分器2、積分器3 和示波器3 是為了獲取電荷-磁通曲線而添加的,如果不需要獲取該曲線可以省略該部分。

下面分別討論雙端口模型特性受輸入電壓的頻率、幅值和波形的影響情況。

(1)正弦輸入電壓的頻率對模型特性的影響

假設(shè)輸入雙端口模型的正弦交流電壓的頻率f分別為0.5,5,30 Hz,而電壓的幅值vm=1.0 V 保持不變,此時由示波器1 測得模型的電壓與電流的關(guān)系曲線如圖2 所示。由圖2 可以看出,當(dāng)電壓頻率逐漸增加時,電壓-電流的滯回環(huán)逐漸變窄,當(dāng)f增加到一定值時滯回環(huán)則變?yōu)橐粭l直線。

圖2 輸入電壓的頻率對電壓-電流曲線的影響Fig.2 Influence of the input voltage frequency on the voltage and current curve of the memristor

(2)正弦輸入電壓的幅值對模型特性的影響

假設(shè)輸入雙端口模型的正弦交流電壓的幅值vm分別為0.2,0.6,1.0 V,而電壓頻率f=0.5 Hz 保持不變,此時由示波器1 測得模型電壓與電流關(guān)系曲線如圖3 所示。由圖3 可以看出,當(dāng)電壓幅值逐漸增加時,電壓-電流的滯回環(huán)逐漸變寬。

(3)輸入電壓波形不同時的雙端口模型特性

當(dāng)雙端口模型輸入幅值vm=1.0 V,頻率f=0.5 Hz 且過零的周期波(正弦波、鋸齒波、方波)電壓時,電壓-電流特性曲線和電壓-憶導(dǎo)特性曲線如圖4 所示。由圖4 可以看出,當(dāng)雙端口模型輸入任何過零周期波時,都能得到過坐標(biāo)零點的滯回環(huán)曲線。

圖3 輸入電壓的幅值對電壓-電流曲線的影響Fig.3 Influence of the input voltage amplitude on the voltage and current curve of the memristor

此外,在憶阻器雙端口模型輸入幅值vm=1.0 V,頻率f=0.5 Hz 的正弦波交流電壓時,由示波器3 和示波器4 分別測得電荷-磁通變化情況和憶阻器阻值隨時間的變化情況,如圖5 和圖6 所示。由圖5 可以看出,電荷與磁通之間存在著非線性關(guān)系,表明了憶阻的非線性,由圖6 也可以看出,憶阻器的阻值隨時間在上下飽和度之間做非線性變化。

根據(jù)上述實驗結(jié)果可知,建立的雙端口憶阻器模型完全符合憶阻器的定義和基本特性,證實了雙端口憶阻器模型的有效性。

3 結(jié)論

本文在分析憶阻器通用數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上,通過引入受控電流源和交流電壓源的方法建立了一種三次非線性函數(shù)憶阻器的雙端口模型。并在不同輸入信號下對建立的模型進(jìn)行了仿真實驗,得到了雙端口模型在不同輸入信號時,電壓與電流呈現(xiàn)出的滯回環(huán)的變化規(guī)律,且變化符合憶阻器的基本特性,驗證了雙端口模型的有效性。該模型不僅能體現(xiàn)出憶阻器的記憶特性和歷史狀態(tài)有關(guān)的特性,而且建立的三次非線性函數(shù)規(guī)律憶阻器雙端口模型更便于搭建憶阻相關(guān)電路,擴(kuò)大了憶阻器的應(yīng)用范圍。按照本文設(shè)計思路同樣可以設(shè)計三次非線性函數(shù)憶容器和憶感器的雙端口模型。

圖4 輸入電壓波形不同時的雙端口模型特性Fig.4 Dual port model characteristics when input voltage waveforms are different

圖5 憶阻器的電荷-磁通變化曲線Fig.5 qM-φMcurve of the memristor

圖6 憶阻器的阻值隨時間的變化曲線Fig.6 Variation curve of resistance of memristor with time