柔性支撐控制力矩陀螺動(dòng)力學(xué)建模與控制

魯 明,梁柱林,徐張凡

1.北京控制工程研究所，北京 100190 2.南京航空航天大學(xué)機(jī)械機(jī)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016

0 引 言

控制力矩陀螺(control moment gyroscope，CMG)是航天器姿態(tài)控制的核心慣性執(zhí)行機(jī)構(gòu).CMG通過(guò)高速轉(zhuǎn)子高速恒速旋轉(zhuǎn)獲得角動(dòng)量，通過(guò)框架電機(jī)調(diào)整轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的角動(dòng)量矢量方向輸出控制力矩，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)航天器的姿態(tài)控制.可見(jiàn)，框架電機(jī)的伺服控制性能直接影響到控制力矩陀螺的力矩輸出性能.

CMG是星上主要的微振動(dòng)源之一[1]，為避免微振動(dòng)對(duì)星體敏感載荷的影響，CMG需要安裝在柔性隔振平臺(tái)上，抑制CMG的微振動(dòng)干擾傳遞，保持星體的低擾振水平.而隔振平臺(tái)在抑制CMG微振動(dòng)傳遞的同時(shí)，其自身在外部力矩激勵(lì)的作用下會(huì)發(fā)生形變，從而改變CMG系統(tǒng)角動(dòng)量矢量方向，影響CMG輸出力矩的控制精度，進(jìn)而影響航天器平臺(tái)的姿態(tài)控制精度和穩(wěn)定度.

文獻(xiàn)[2-4]較全面地分析了CMG的動(dòng)力學(xué)不確定因素，文獻(xiàn)[5-9]從機(jī)械模型和電磁模型兩方面入手，建立了CMG的動(dòng)力學(xué)模型，可以用來(lái)分析CMG的動(dòng)力學(xué)行為并指導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì).但文獻(xiàn)[2-9]針對(duì)CMG框架控制系統(tǒng)的研究均為在剛性支撐基礎(chǔ)上的控制研究，并未考慮柔性支撐條件.文獻(xiàn)[10]研究了CMG集群隔振平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)及其對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)控制的影響，給出在隔振條件下衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的參數(shù)選擇方案.文獻(xiàn)[11]則研究了CMG加入單機(jī)隔振平臺(tái)后的動(dòng)力學(xué)模型及其對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響.但文獻(xiàn)[10-11]的研究主要集中在CMG引入柔性支撐后對(duì)整星姿態(tài)控制的性能影響分析.文獻(xiàn)[12]分析了柔性支撐所引發(fā)的CMG角動(dòng)量矢量的改變及其對(duì)CMG輸出力矩的影響，但其主要分析了柔性支撐條件下CMG整機(jī)的開(kāi)環(huán)特性，未涉及柔性支撐對(duì)框架伺服系統(tǒng)閉環(huán)控制性能的影響分析和控制器設(shè)計(jì).針對(duì)CMG自身動(dòng)力學(xué)影響，尤其是柔性支撐對(duì)CMG自身控制性能影響的動(dòng)力學(xué)分析及其控制策略，目前相關(guān)研究成果較少，亟需針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行深入研究.

圖1 安裝在柔性隔振器的SGCMGFig.1 SGCMG installed on flexible vibration isolator

為抑制柔性隔振機(jī)構(gòu)引起的擾動(dòng)對(duì)CMG框架控制性能的影響，本文以單框架控制力矩陀螺(single gimbal control moment gyroscope，SGCMG)為基礎(chǔ)，定義了4類(lèi)坐標(biāo)系，推導(dǎo)柔性支撐下SGCMG動(dòng)力學(xué)模型及新增擾動(dòng)力矩的模型，并設(shè)計(jì)了一種積分滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)框架系統(tǒng)的高精度閉環(huán)穩(wěn)定控制.

1 坐標(biāo)系建立

SGCMG安裝在具有4個(gè)柔性隔振器的底座平臺(tái)上，其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中涉及多部件的協(xié)同運(yùn)動(dòng)，需要建立以下坐標(biāo)系對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述：

圖2 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換Fig.2 Coordinate transmission

1)基座坐標(biāo)系Obxbybzb：基座坐標(biāo)系xb軸和yb軸垂直且皆位于4個(gè)隔振器的支撐面，其中yb軸正向?yàn)镾GCMG框架軸正向方向，zb軸垂直于xbyb軸平面并滿足右手法則.

2)零位置坐標(biāo)系Osxsyszs：零系與本體系固連，原點(diǎn)位于SGCMG質(zhì)心.忽略零系和基座坐標(biāo)系的位置矢量，考慮柔性支撐的柔性，零位坐標(biāo)系由基座坐標(biāo)系沿X-Y-Z順序旋轉(zhuǎn)(α-β-γ)角度得到.

2 柔性支撐SGCMG動(dòng)力學(xué)建模

假設(shè)基座與地面固連，考慮柔性支撐的柔性形變，基于拉格朗日方程建立柔性支撐條件下的SGCMG框架動(dòng)力學(xué)模型.

在慣性系Obxbybzb上SGCMG系統(tǒng)的動(dòng)能為

W=Wr+Wg+Ws=

(1)

式中，Ir=diag{Irx,Iry,Irz}、Ig=diag{Igx,Igy,Igz}和Is=diag{Isx,Isy,Isz}分別為高速轉(zhuǎn)子、框架和柔性支撐的慣性張量，Ir、Ig、Is的取值可由有限元計(jì)算或?qū)嶒?yàn)測(cè)量得到.wr，wg，ws分別是慣性坐標(biāo)系下高速轉(zhuǎn)子、框架和柔性支撐的轉(zhuǎn)速，Wr、Wg、Ws分別為高速轉(zhuǎn)子、框架和柔性支撐的動(dòng)能.

系統(tǒng)勢(shì)能為隔振機(jī)構(gòu)柔性形變引起的彈性勢(shì)能，其表達(dá)式為

(2)

式中，q=[αβγ]T是由柔性支撐三軸形變組成的廣義矩陣變量，K=diag{kx,ky,kz}為柔性支撐的彈性剛度矩陣.

系統(tǒng)阻尼采用線性粘性阻尼模型，阻尼力與廣義速度成正比，此時(shí)瑞利耗散函數(shù)為

(3)

式中，C=diag{cx,cy,cz}為柔性支撐的阻尼矩陣.

基于能量法，采用拉格朗日方程建立動(dòng)力學(xué)方程.綜合式(1)至式(3)，計(jì)算得拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)=W-V,代入拉格朗日方程中得

(4)

式中，TQ=[TQxTQyTQz]T為作用在柔性支撐上的廣義力矩，

(5)

其中，Tm為柔性支撐SGCMG框架電機(jī)啟動(dòng)力矩，

(6)

式中，Te為框架電機(jī)電磁力矩，Tf為框架摩擦力矩，摩擦力矩采用LuGre模型表征[15].kD為框架阻尼系數(shù).

Td為動(dòng)不平衡力矩

(7)

式中，Ud為高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡量，φr為高速轉(zhuǎn)子初始相位.

Tg為陀螺力矩，可由動(dòng)量矩守恒定理計(jì)算得出.在高速轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系Orxryrzr上，高速轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=diag{Ix,Iy,Iz}，由于高速轉(zhuǎn)子的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子的赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ix=Iy，Iz為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.令高速轉(zhuǎn)子的動(dòng)量矩為H，則有

(8)

綜合式(1)-(8)，計(jì)算可得

(9)

其中

(10)

根據(jù)式(9)可解出柔性支撐三軸角位移α、β、γ，進(jìn)而獲得柔性支撐在框架軸引起的擾動(dòng)力矩Tgy的解析模型如下：

(11)

3 柔性支撐影響分析

柔性支撐的三軸形變改變了SGCMG角動(dòng)量矢量的方向，在低速框架軸方向產(chǎn)生干擾力矩分量Tgy，同時(shí)其自身柔性運(yùn)動(dòng)與框架系統(tǒng)產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)耦合，導(dǎo)致框架系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)，改變框架軸的動(dòng)力學(xué)特性.

柔性支撐SGCMG框架系統(tǒng)PID控制仿真系統(tǒng)如圖3所示.其中，SGCMG框架采用永磁同步電機(jī)(PMSM)直接驅(qū)動(dòng)，干擾力矩包括摩擦干擾、高速轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡干擾和柔性支撐引起的干擾力矩，控制對(duì)象模型中考慮柔性支撐引入的耦合動(dòng)力學(xué)，控制策略采用PID控制.分析PID控制策略下柔性支撐對(duì)控制系能的影響.系統(tǒng)模型參數(shù)如表1所示.

圖3 柔性支撐SGCMG框架系統(tǒng)PID控制框圖Fig.3 PID controller for SGCMG gimbal system with flexible support

表1 系統(tǒng)模型參數(shù)表Table 1 System model parameters

在PID控制策略下，柔性支撐在三軸方向上的形變?nèi)鐖D4.當(dāng)在框架速度為1°/s時(shí)，X、Z軸形變最大幅值分別為0.001°和0.000 16°，Y軸的形變量最小.三軸形變的幅值不同是由于柔性支撐三軸的剛度不同引起.柔性支撐的三軸形變量隨著框架位置的變化而變化，周期與框架位置變化周期一致.

圖4 柔性支撐三軸形變角位移Fig.4 Threeaxis angular displacement of flexible support

引入柔性支撐后SGCMG框架軸新增干擾力矩曲線如圖5.框架轉(zhuǎn)速為1°/s時(shí)，柔性支撐引起的擾動(dòng)力矩最大幅值為0.037 9 N·m，周期為180.0 s；框架轉(zhuǎn)速為2°/s時(shí)，擾動(dòng)力矩最大幅值為0.152 N·m，周期為90.0s.可見(jiàn)，在柔性支撐下，框架轉(zhuǎn)動(dòng)速度越大，擾動(dòng)幅值越大.當(dāng)SGCMG支撐為絕對(duì)剛性時(shí)，該擾動(dòng)分量為零.

圖5 不同框架轉(zhuǎn)速時(shí)柔性支撐在框架軸的引起擾動(dòng)力矩Fig.5 Disturbance torque of flexible support on gimbal axis under different gimbal speed

引入柔性支撐前后框架速度階躍響應(yīng)對(duì)比曲線如圖6.引入柔性支撐前，框架速度階躍響應(yīng)無(wú)超調(diào)，穩(wěn)定時(shí)間為0.41 s；引入柔性支撐后，若PID參數(shù)不變，階躍響應(yīng)性能變差，優(yōu)化參數(shù)后，超調(diào)量變?yōu)?.96%；穩(wěn)定時(shí)間為1.31 s，是引入柔性支撐前的穩(wěn)定時(shí)間的3倍.

圖6 引入柔性支撐前后PID控制框架速度階躍響應(yīng)Fig.6 Gimbal speed step response of PID control before and after introducing flexible support

可見(jiàn)，SGCMG框架系統(tǒng)引入柔性支撐后，框架系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生變化，同時(shí)新增了干擾力矩，傳統(tǒng)的PID控制難以同時(shí)兼顧框架轉(zhuǎn)速的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，導(dǎo)致框架速度控制性能下降.

4 滑模控制器設(shè)計(jì)與仿真分析

具有滑動(dòng)模態(tài)的滑?？刂撇呗詫?duì)系統(tǒng)的參數(shù)攝動(dòng)和力矩干擾具有較強(qiáng)的魯棒性，可以通過(guò)滑動(dòng)模態(tài)的設(shè)計(jì)使系統(tǒng)軌跡快速進(jìn)入滑模面，提升系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，進(jìn)入滑模面后通過(guò)變結(jié)構(gòu)切換控制保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能.因此，滑?？刂撇呗栽诩骖櫛ＷC動(dòng)態(tài)性能魯棒性和穩(wěn)態(tài)性能魯棒性方面具有優(yōu)勢(shì)[14].

在柔性支撐SGCMG系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一種積分滑?？刂破?sliding mode control，SMC)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定控制.

綜合前文推導(dǎo)，可知伺服系統(tǒng)模型為

(12)

式中，J=Iy+Igy為框架電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ΔJ、ΔkD為柔性支撐在框架軸引起的參數(shù)攝動(dòng).

取式(12)的標(biāo)稱模型，可得

(13)

其中，Tn=Tf+Tdy+Tgy為框架軸集總干擾力矩.框架電機(jī)電磁力矩Te=kTi，kT為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)，i為電機(jī)力矩電流，其表達(dá)式由下式微分方程計(jì)算

(14)

式中，r、L分別為電機(jī)電阻和電感，ke為電機(jī)反電勢(shì)系數(shù).

綜合式(13)和(14)，可求

(15)

(ke+rkD/kT)ω+rTn/kT

(16)

kT(ke+rkD/kT)ω/LJ+rTn/LJ

(17)

(18)

進(jìn)而可求

kT(ke+rkD/kT)ω/LJ+rTn/LJ

(19)

則可求得等效控制ueq為

(ke+rkD/kT)ω+rTn/kT

(20)

滑?？刂破鞑捎弥笖?shù)趨近律，則可求電機(jī)控制電壓為

u=ueq+ks+δsat(s)=

(ke+rkD/kT)ω+rTn/kT+ks+δsat(s)

(21)

式中，k>0,δ>0,Φ>0.sat(s)函數(shù)用于降低系統(tǒng)軌跡進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后趨近律中的符號(hào)函數(shù)切換引起的高頻抖振.

滑模系統(tǒng)控制框圖如圖7所示，將PID控制器替換為滑?？刂破鳎渌抡鏃l件與第3節(jié)一致.在動(dòng)力學(xué)特性變化和新增干擾力矩的影響下，對(duì)比滑?？刂撇呗栽谝肴嵝灾吻昂蟮目刂菩阅埽徊⒃谌嵝灾螚l件下，與PID控制策略的控制性能進(jìn)行對(duì)比.

如圖8所示，在柔性支撐干擾力矩、摩擦干擾力矩、動(dòng)不平衡干擾力矩的影響下，PID控制的階躍響應(yīng)上升時(shí)間為0.14 s，SMC的上升時(shí)間為0.07 s，相比PID提升了50.0%，可見(jiàn)，SMC具有較優(yōu)的動(dòng)態(tài)性能.進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段后，PID控制器對(duì)擾動(dòng)力矩具有一定的抑制效果，框架轉(zhuǎn)速在0.995°/s到1.005°/s間波動(dòng)，波動(dòng)量為0.5%；SMC控制策略的穩(wěn)態(tài)波動(dòng)在0.999 9°/s到1.001 1°/s間波動(dòng)，最大波動(dòng)量為0.1%，穩(wěn)態(tài)性能比PID控制提高了5倍.

圖7柔性支撐SGCMG框架伺服系統(tǒng)控制框圖Fig.7 SMC controller for SGCMG gimbal system with flexible support

圖8 柔性支撐SGCMG框架速度控制階躍響應(yīng)Fig.8 Step response of SGCMG gimbal system with flexible support

綜上，相對(duì)傳統(tǒng)的PID控制，本文設(shè)計(jì)的SMC控制策略具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能和穩(wěn)態(tài)性能，能夠有效抑制柔性支撐擾動(dòng)等干擾力矩的影響，提高SGCMG框架系統(tǒng)的控制精度.

5 結(jié) 論

本文首先通過(guò)拉格朗日方程建立柔性支撐條件下SGCMG的動(dòng)力學(xué)模型，并給出柔性支撐引入干擾力矩的解析模型.然后，在PID控制策略下分析了動(dòng)力學(xué)變化和新增干擾力矩對(duì)控制性能的影響.據(jù)此，設(shè)計(jì)了一種積分滑?？刂破?，相比傳統(tǒng)的PID控制具有更好的動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)性能，提升了柔性支撐下控制力矩陀螺框架速度的閉環(huán)控制性能.