水下推進系統(tǒng)動力學(xué)建模及控制

鄧 旭

（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）

0 引言

水下機器人在海洋資源探索、海底地形測繪以及軍事戰(zhàn)備等領(lǐng)域均具有很高的應(yīng)用價值。而推進器是驅(qū)動水下機器人運動的關(guān)鍵設(shè)備[1]，對水下作業(yè)的精度有很大的影響，推進設(shè)備包括電機推進、液壓推進、噴射推進、仿生推進、滑翔推進、磁流體推進和混合推進7 種[2]。作為最常用的推進系統(tǒng)，電機推進以電機作為驅(qū)動源，帶動螺旋槳轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生推力。大型或者對操縱要求高的水下機器人，往往會配備多個電機推進器構(gòu)成一個矢量推進系統(tǒng)，以保證提供足夠的驅(qū)動力或者靈活的操縱。同時，現(xiàn)在多數(shù)水下機器人引入閉環(huán)控制算法實現(xiàn)自主運動控制，多數(shù)針對水下機器人的控制器輸出均為廣義力/力矩。而在實際工程應(yīng)用中，直接輸出到推進器系統(tǒng)的是控制信號（PWM 信號或者模擬電壓信號）[3]，并不能直接對推進系統(tǒng)輸入廣義力和力矩?，F(xiàn)在常用的方式為映射求解方法，即對推進器推力和控制電壓的關(guān)系進行擬合，通過所需的推力值求解計算得到推進器需要的控制電壓，且認(rèn)為推進器的推力響應(yīng)是瞬時完成的而忽略了推進器的動態(tài)特性[4]。

一些學(xué)者針對水下推進系統(tǒng)的響應(yīng)特性展開了研究工作。1990年，YOERGER 等[5]最先研究了推進器特性對水下機器人運動的影響，針對轉(zhuǎn)矩控制的推進器，在考慮進速的情況下，建立了推進器的動力學(xué)模型，并且設(shè)計了三種控制器進行轉(zhuǎn)速跟蹤控制。LOUIS 等[6]針對推進器的非穩(wěn)態(tài)控制問題，通過試驗，在遙控?zé)o人潛水器（Remote Operated Vehicle，ROV）定位控制中比較了三種控制策略的優(yōu)缺點，三種控制策略分別是前饋控制（開環(huán)控制）、轉(zhuǎn)速反饋控制和基于模型的轉(zhuǎn)速控制，最終得出結(jié)論：基于模型的轉(zhuǎn)速控制在ROV 較大的作業(yè)范圍內(nèi)均表現(xiàn)出了更好的控制性能。FOSSEN[7]等在無人水下航行器（Unmanned Underwater Vehicle，UUV）縱蕩運動中考慮螺旋槳的特性以及螺旋槳進速對推力的影響，將UUV的縱向速度和螺旋槳軸向進水流速作為狀態(tài)量，設(shè)計了以推進器轉(zhuǎn)速為控制輸入的二階非線性系統(tǒng)，并設(shè)計擾動觀測器對螺旋槳軸向進水流速值進行觀測。最終通過設(shè)計雙環(huán)控制器實現(xiàn)縱向控制。Chu 考慮了推進器地動力學(xué)特性，建立了三階水下機器人動力學(xué)模型，推進器模型被簡化成一階非線性系統(tǒng)，ROV 和推進器地模型通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得到，基于反步法設(shè)計了控制器，并且通過比較發(fā)現(xiàn)，控制目標(biāo)轉(zhuǎn)速經(jīng)濾波處理后，可以有效地抑制線電流的突變峰值。最終在軌跡跟蹤控制中證明了算法的有效性。

上述對推進器的研究在實際應(yīng)用中主要存在以下兩點阻礙：（1）在水下機器人自主運動控制的實際應(yīng)用中，推進器的輸出推力是很難被測量，因此推力很難直接作為推進器閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)反饋量。（2）隨著數(shù)字化技術(shù)的普及，水下機器人的控制系統(tǒng)多為數(shù)字計算機控制，在一個采樣周期內(nèi)，輸出到推進器的信號值保持不變，而上述研究均是基于連續(xù)系統(tǒng)開展的。

本文針對三相無刷直電機驅(qū)動的水下推進系統(tǒng)，對其動力學(xué)特性建立離散模型，并設(shè)計一種新型離散滑模推進器轉(zhuǎn)速控制器，引入一種新型自適應(yīng)趨近律，一方面可以加快滑模函數(shù)的收斂速度，另一方面可以有效地消除控制器輸出的抖振現(xiàn)象。

1 推進器動力學(xué)建模

三相無刷電機驅(qū)動的推進系統(tǒng)模型主要包括三項無刷電機的電壓模型和電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動模型兩個部分。

1.1 電壓方程

推進器使用的三相無刷電機電子定子繞組為Y型接法，驅(qū)動電路為三相全橋電路，工作時保證只有兩路處于導(dǎo)通狀態(tài)。為了簡化無刷直流電機的電壓數(shù)學(xué)模型，假設(shè)：

（a）鐵芯飽和，渦流無損耗，齒槽效應(yīng)和磁滯無損耗。

（b）電機的三相繞組完全對稱。

（c）二極管和功率管為理想元器件。

基于上述假設(shè)，建立三相無刷電機的電壓方程：

其中，R為相電阻（Ω），L為繞組自感（H），M為繞組互感（H），us為相電壓（V），is為相電流（安培），ω0為電機轉(zhuǎn)速（rad/s），es為反電動勢，es=keωs，ke為反電動勢常數(shù)。

根據(jù)式（1），得到如圖1 所示的等效電路圖。

圖1 三相無刷電機等效電路圖

1.2 轉(zhuǎn)動方程

在忽略磁損耗及轉(zhuǎn)子摩擦損耗的情況下，電機轉(zhuǎn)子輸出功率可以表示為

其中，Te0為電機轉(zhuǎn)子驅(qū)動轉(zhuǎn)矩（N·m）。

由于每一時刻三相電機中僅兩相導(dǎo)電，所以電機轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)矩可表示為[8]：

設(shè)連接電機轉(zhuǎn)軸與螺旋槳轉(zhuǎn)軸的減速器的減速比為nb，即ω0=nbω，則在忽略傳動損耗情況下可得螺旋槳轉(zhuǎn)軸的輸入轉(zhuǎn)矩

據(jù)牛頓第二定律可得推進器轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動方程

其中，TL為螺旋槳在水中轉(zhuǎn)動受到的負(fù)載轉(zhuǎn)矩，B為阻尼系數(shù)，J為所有轉(zhuǎn)動部件的綜合轉(zhuǎn)動慣量。

式中，ρ為水的密度（kg/m3），D為螺旋槳直徑（m），a1，a2為表征螺旋槳轉(zhuǎn)矩特性的兩個系數(shù)。

1.3 推進器動態(tài)模型

以控制電壓us以及螺旋槳進口水流速度va為輸入，以螺旋槳轉(zhuǎn)速為輸出，建立推進器的動態(tài)模型。

由于電機的電氣時間常數(shù)遠(yuǎn)小于器機械時間常數(shù)，且對于水下推進器的應(yīng)用來說，往往很難獲得內(nèi)部電流的反饋數(shù)據(jù)，因此電壓方程（1）可以簡化為穩(wěn)態(tài)形式：

根據(jù)式（4）-（7）得：

在數(shù)字計算機控制系統(tǒng)中，推進器的轉(zhuǎn)速模擬電壓信號通過A/D 卡采集，控制信號模擬電壓則由D/A卡輸出，在一個采樣周期內(nèi)，采集的轉(zhuǎn)速值和輸出的電壓值均是零階保持的。因此，取采樣周期T=0.001 s，則可以將式（8）進行歐拉前向差分離散處理[9]，同時考慮存在一定的外界總擾動，得到離散化的動力學(xué)方程：

式中，dk=O（T）為外界總擾動，各參數(shù)定義如下：

以天津昊野公司的T530 型推進器為例，其推進器參數(shù)見表1。

表1 推進器參數(shù)

根據(jù)表1，可以得到式（10）中的參數(shù)取值為：k1=345.4，k2=51.25，k3=-0.057，k4=1.18。

1.4 推進器推力特性

推進器的推力由螺旋槳產(chǎn)生，學(xué)者們根據(jù)大量螺旋槳實驗，構(gòu)建了螺旋槳推力（N）與轉(zhuǎn)速（rad/s）之間的表達(dá)式：

式中，KT為螺旋槳的推力系數(shù)，b1和b2為表征螺旋槳推力特性的兩個參數(shù)，其中b1=0.4196，b2=-0.4271。在進速va已知的情況下，可以通過式（11）計算得到推進器轉(zhuǎn)速和推力之間的關(guān)系為：

2 離散滑模推進器閉環(huán)控制算法

2.1 滑模面及趨近律設(shè)計

離散滑?？刂品椒ㄖ械内吔筛拍钭钤缬筛邽楸10]提出，提出趨近律的初衷是為了更好地改善滑模變量到達(dá)滑模面的形式，并且抑制由于有限的采樣周期而帶來的抖振現(xiàn)象。該方法一經(jīng)提出，便引起了大批學(xué)者的關(guān)注，許多基于趨近律的離散控制策略被相繼提出。這些文章主要進行了兩個方面的改進研究，一是加快趨近速度，使滑模函數(shù)可以更快地到達(dá)滑模面；二是減小滑模函數(shù)最終的收斂域，以減小抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生。

設(shè)計離散滑模控制方法主要分為兩個階段：（1）設(shè)計一個狀態(tài)量收斂的滑模函數(shù)；（2）設(shè)計一個合適的趨近律，使滑模函數(shù)最終到達(dá)原點。

本文首先采用如下形式的積分滑模函數(shù)[11]：

其中e為自然底數(shù)，0<α2<1。

同時，在系統(tǒng)存在外界擾動的情況下，趨近律中引入擾動補償，趨近律形式可以表示為：

其中：

易知，μ（sk）是隨著單調(diào)遞減的函數(shù)，通過洛必達(dá)法則，可以得到和0。因此，有以下結(jié)論：

2.2 控制律設(shè)計及穩(wěn)定性證明

根據(jù)（13）定義的滑模函數(shù)，可知下一時刻的滑模函數(shù)：

將式（18）代入式（15），可得：

將推進器轉(zhuǎn)速離散方程（9）代入上式，則可以求得控制律為：

其中，采用歷史值計算dk-i（i=1，2，3）：

定理1：在控制律（20）和趨近律（15）的作用下，從任何初始狀態(tài)s。出發(fā)的滑模函數(shù)sk最終都將進入到準(zhǔn)滑動模態(tài)域Ω 內(nèi)，其中：

證明：

定義Lyapunov 函數(shù)：

根據(jù)趨近律（15），則有：

△Vk<0 等價于：

或者

因為2 -φ（sk）T>φ（sk）T，所以當(dāng)時，都有△Vk<0 恒成立。最終，sk會進入到Ω 中。

3 推進器轉(zhuǎn)速閉環(huán)試驗

根據(jù)式（12）可知，可以將推進器的期望推力τd轉(zhuǎn)化為螺旋槳的期望轉(zhuǎn)速ωd，則可以對推進器設(shè)計轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制器以跟蹤到期望轉(zhuǎn)速，即推進器輸出的推力為期望推力。對本文所選的推進器設(shè)計轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制試驗，以系柱情況（va=0）為例，控制系統(tǒng)設(shè)計如圖2 所示，通過A/D 卡采集推進器轉(zhuǎn)速，通過D/A 卡輸出模擬量控制電壓。在對推進器建模的過程中，用到的電壓值為電機內(nèi)部驅(qū)動電壓（-48 V～48 V），而實際推進器外部接口提供的是信號模擬電壓（-5 V ～5 V），這里可以認(rèn)為電機內(nèi)部驅(qū)動電壓和信號模擬電壓之間為線性映射關(guān)系，則可以將控制器的控制電壓等比例縮小后輸出為推進器的信號模擬電壓。

圖2 推進器閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖

控制器參數(shù)取為：λ= 0.5，α1= 1/3，α2= 1/2，β1=75，β2=75，分別進行定轉(zhuǎn)速控制試驗（目標(biāo)轉(zhuǎn)速為1000 r/min）和轉(zhuǎn)速跟蹤控制試驗（目標(biāo)轉(zhuǎn)速函數(shù)為y=1000+500 sin（0.5t），試驗結(jié)果如圖3 和圖4 所示：

圖3 推進器定轉(zhuǎn)速控制試驗

圖4 推進器轉(zhuǎn)速跟蹤控制試驗

從圖3 中可以看出，對于定轉(zhuǎn)速控制問題，該控制策略可以快速地使滑模函數(shù)sk從初始值約-47 收斂至原點附近，推進器的轉(zhuǎn)速反饋值也在0.5 s 達(dá)時到達(dá)設(shè)定目標(biāo)1000 r/min，并且穩(wěn)定在設(shè)定目標(biāo)轉(zhuǎn)速附近；從圖4 中可以看出，對于變轉(zhuǎn)速的跟蹤控制問題，該控制方法仍能在1 s 左右使滑模函數(shù)收斂至坐標(biāo)原點，盡管隨著目標(biāo)轉(zhuǎn)速的變化，滑模函數(shù)在原點附近有小范圍的波動，但推進器的轉(zhuǎn)速反饋值始終能較為準(zhǔn)確地跟蹤到目標(biāo)轉(zhuǎn)速。另外，從圖3 和圖4 中的信號模擬電壓值變化曲線可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)計的控制器輸出電壓并未出現(xiàn)在鋸齒狀的高頻抖振現(xiàn)象，曲線較為光順，說明在趨近律設(shè)計中引入的對數(shù)自適應(yīng)項能消除滑模函數(shù)在sk=0 附近的抖振問題。

4 結(jié)束語

針對水下機器人的運動控制的實際應(yīng)用中存在的底層執(zhí)行機構(gòu)控制難問題，本研究對常用的三相無刷電機驅(qū)動的推進器進行了建模分析，并采用離散滑?？刂品椒?，設(shè)計了一種自適應(yīng)無抖振趨近律，基于此趨近律設(shè)計了控制器，最終在推進器閉環(huán)控制試驗中驗證了算法的快速性和有效性。該項研究的理論和試驗成果可以用于水下航行器的運動控制，作為推進器的底層驅(qū)動控制程序，可以將頂層的航行器控制力/力矩指令轉(zhuǎn)化成底層的推進器目標(biāo)轉(zhuǎn)速指令，由推進器轉(zhuǎn)速控制實現(xiàn)對目標(biāo)轉(zhuǎn)速的跟蹤，進而輸出控制力/力矩，控制水下航行器的運動，實現(xiàn)底層推進器驅(qū)動轉(zhuǎn)速的自主化。