基于PCA-RVM 模型的機(jī)器人銑削加工末端變形誤差預(yù)測(cè)

胡華洲，金永喬，唐小衛(wèi)

（1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.上海航天精密機(jī)械研究所，上海 201600）

0 引言

工業(yè)機(jī)器人以其靈活性、操作空間大等優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于大型復(fù)雜零件的銑削加工領(lǐng)域[1]。然而由于機(jī)器人串聯(lián)結(jié)構(gòu)導(dǎo)致的相對(duì)弱剛性，機(jī)器人在銑削加工時(shí)，其末端在銑削力的作用下易發(fā)生顯著的變形，導(dǎo)致加工精度難以達(dá)到要求[2]。2014年，SLAVKOVIC等[3]將連桿視為剛性，根據(jù)虛功原理將關(guān)節(jié)柔度矩陣映射至笛卡爾空間柔度矩陣，并用柔度矩陣優(yōu)化機(jī)器人末端受力模型，實(shí)現(xiàn)了切削刀頭的變形誤差預(yù)測(cè)。2015年，BEREND DENKENA 等[4]基于機(jī)器人各關(guān)節(jié)的剛度建立了末端的剛度模型，然后根據(jù)傳感器在線測(cè)量的力信號(hào)實(shí)現(xiàn)了末端變形誤差的在線預(yù)測(cè)。2017年，黃中秋[5]綜合考慮連桿和關(guān)節(jié)的柔性，根據(jù)MOTOMAN UP50 機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立了末端剛度模型，并結(jié)合末端的銑削力模型實(shí)現(xiàn)了末端變形誤差的預(yù)測(cè)。2019年，魏得權(quán)[6]采用激光跟蹤儀對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度進(jìn)行辨識(shí)，并建立了關(guān)節(jié)剛度變化的機(jī)器人末端剛度模型，然后根據(jù)實(shí)時(shí)采集的銑削力對(duì)末端實(shí)時(shí)的變形誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)。然而由于機(jī)器人受關(guān)節(jié)齒輪箱、銑削加工進(jìn)給速度、關(guān)節(jié)位置等復(fù)雜因素的影響，傳統(tǒng)的剛度模型難以考慮這些不確定因素。本研究考慮銑削力、機(jī)器人關(guān)節(jié)位置等因素，利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法進(jìn)行考慮不確定性因素的變形誤差的預(yù)測(cè)。在機(jī)器人工作區(qū)域采集若干個(gè)以這些因素為特征的數(shù)據(jù)集，利用主成分分析方法[7]對(duì)數(shù)據(jù)集降維，以提高計(jì)算效率并降低計(jì)算成本，再采用相關(guān)向量機(jī)方法[8]建立了變形誤差預(yù)測(cè)模型，利用測(cè)試集對(duì)模型準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)均方根誤差和平均絕對(duì)誤差指標(biāo)驗(yàn)證了變形誤差預(yù)測(cè)模型具有較好預(yù)測(cè)精度和可信度。

1 基于PCA-RVM 的變形誤差預(yù)測(cè)模型建立

PCA-RVM 模型是一種將主成分分析（PCA）和相關(guān)向量機(jī)（RVM）相結(jié)合的處理多維特征數(shù)據(jù)集回歸問(wèn)題的模型。利用PCA 法對(duì)高維數(shù)據(jù)集進(jìn)行降維，剔除貢獻(xiàn)率較低的因素，再采用RVM 模型對(duì)降維數(shù)據(jù)集進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練。在發(fā)揮RVM 模型高精度及高可靠性特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，降低模型計(jì)算成本，并提高學(xué)習(xí)效率。

由于對(duì)于三軸銑削加工，刀具軸向（定義為Z向）的變形是影響工件最終加工誤差的決定因素，因此本文將根據(jù)機(jī)器人銑削加工至每個(gè)刀位點(diǎn)時(shí)末端所受Z向銑削力FZ及各關(guān)節(jié)角θm，（m=1，2，…，M，M為關(guān)節(jié)數(shù)量）和Z向的變形誤差構(gòu)建樣本數(shù)據(jù)集，通過(guò)PCA 法對(duì)影響變形誤差的主要因素進(jìn)行分析并降維得到新變量。

根據(jù)主成分分析的原理[9]，假設(shè)樣本數(shù)據(jù)集有N個(gè)樣本，每個(gè)樣本的特征有M+1 個(gè)，構(gòu)成N×（M+1）階矩陣：

將矩陣X0的均值和方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到預(yù)處理后的矩陣的每個(gè)元素為

其中，i=1，2…N，j=1，2…M+1

將特征向量按照對(duì)應(yīng)特征值從大到小按列排列成矩陣，取該矩陣的前K列組成矩陣UK，則矩陣X0降至K維后的矩陣X為：

X為N×K維，X中的每列為X0降至K維后產(chǎn)生的新變量，也稱(chēng)為主成分（PC），并可根據(jù)式（3）計(jì)算X0中每個(gè)主成分的貢獻(xiàn)量。

根據(jù)相關(guān)向量機(jī)方法[7]，首先假設(shè)獲取變形誤差e時(shí)產(chǎn)生的偏差服從于零均值的高斯分布，結(jié)合稀疏貝葉斯原理和數(shù)據(jù)集X，可建立機(jī)器人末端變形誤差的表達(dá)式為：

其 中，K（x，xn）表 示 核 函 數(shù)，采 用 徑 向 基 函 數(shù)，為偏差項(xiàng)，且εn是服從于零均值的高斯分布。

假設(shè)變形誤差的分布服從于獨(dú)立分布，則其似然函數(shù)可表示為

其中，e是各樣本變形誤差構(gòu)成的向量，e= （e1，e2，…，eN）T，Φ是由核函數(shù)組成的N×（N+ 1）矩陣，Φ= [φ（x1），φ（x2）…φ（xN）]T，φ（xn）= [1，K（x1，xn），K（x2，xn）…K（xn，xN）]。

由于采用最大似然函數(shù)的方法很容易產(chǎn)生過(guò)度擬合的現(xiàn)象，需要對(duì)權(quán)值參數(shù)加以先決條件。根據(jù)高斯條件概率分布知識(shí)，可得到以下條件概率：

假設(shè)模型參數(shù)的先驗(yàn)概率分布為p（ω，α，σ2），可計(jì)算出數(shù)據(jù)集X 的后驗(yàn)概率為

根據(jù)概率預(yù)測(cè)公式，可得到變形誤差預(yù)測(cè)值的條件概率為

再對(duì)似然函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行邊緣積分，可以得到權(quán)值參數(shù)的后驗(yàn)概率分布為

其中，μ為均值，μ=σ-2ΣφTe，Σ 為方差，Σ=（σ-2φTφ+A）-1，A為參數(shù)的對(duì)角矩陣A=diag（α0，α1…αN）

根據(jù)最大化邊緣似然函數(shù)的估計(jì)值，可以求得變形誤差預(yù)測(cè)值的條件概率分布

依據(jù)PCA-RVM 回歸模型的原理，建立基于x個(gè)主成分的PCA-RVM 變形誤差預(yù)測(cè)模型，其基本流程如圖1 所示。

圖1 建立基于PCA-RVM 的變形誤差預(yù)測(cè)模型基本流程

2 機(jī)器人銑削加工末端Z 向變形誤差預(yù)測(cè)模型的樣本采集與訓(xùn)練

為了訓(xùn)練機(jī)器人加工系統(tǒng)末端Z向變形誤差預(yù)測(cè)模型，首先需要進(jìn)行樣本采集實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)方案為：在機(jī)器人銑削平臺(tái)開(kāi)展航空鋁7075 的銑削實(shí)驗(yàn)（圖2），規(guī)劃?rùn)C(jī)器人加工系統(tǒng)刀具的刀路并執(zhí)行該刀路，利用基恩士激光位移傳感器采集銑削加工過(guò)程的機(jī)器人末端刀具在Z向的位移偏移量，使用ATI 六維力傳感器采集刀具Z向銑削力的數(shù)據(jù)，并從機(jī)器人控制系統(tǒng)讀取并記錄機(jī)器人各關(guān)節(jié)角的變化。

圖2 機(jī)器人銑削加工平臺(tái)

本次銑削實(shí)驗(yàn)使用的刀具為4 齒平底銑刀，直徑16 mm。具體切削參數(shù)為：主軸轉(zhuǎn)速3000 r/min，進(jìn)給速度8 mm/s，切削深度2 mm，切削寬度8 mm。

采集的Z向銑削力、Z向變形誤差、6 個(gè)關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)如圖3 至圖5 所示。

圖3 Z 向銑削力數(shù)據(jù)

圖4 Z 向變形誤差

圖5 關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)

從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中提取了99 個(gè)數(shù)據(jù)樣本，每個(gè)數(shù)據(jù)的輸入?yún)?shù)為同一時(shí)刻的刀具Z向銑削力峰值、機(jī)器人六個(gè)關(guān)節(jié)的角度值θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、θ6，故每個(gè)數(shù)據(jù)樣本是7 維的。并從99 個(gè)數(shù)據(jù)樣本中隨機(jī)選擇了70 個(gè)數(shù)據(jù)樣本構(gòu)成訓(xùn)練數(shù)據(jù)集T0，剩余29 個(gè)數(shù)據(jù)樣本構(gòu)成測(cè)試集。

其中，T1為70×7 維矩陣，T2為29×7 維矩陣，e1、e2分別為T(mén)1、T2對(duì)應(yīng)的變形誤差組成的列向量。

采用PCA 法對(duì)數(shù)據(jù)集矩陣T1進(jìn)行分析，將協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解，并按照第1 節(jié)中式（3）計(jì)算各成分的貢獻(xiàn)量以及累計(jì)貢獻(xiàn)量，結(jié)果如圖6 所示。將累計(jì)貢獻(xiàn)量閾值設(shè)置為97%，計(jì)算得到2 個(gè)主成分，每個(gè)主成分均由銑削力、六個(gè)關(guān)節(jié)角線性組合而成，是一個(gè)綜合指標(biāo)。將這2 個(gè)主成分對(duì)應(yīng)特征值的特征向量構(gòu)成降維轉(zhuǎn)換矩陣U2，其結(jié)果如下。

圖6 各成分貢獻(xiàn)量及累計(jì)貢獻(xiàn)量

再令U2分別右乘T1、T2，得到降維矩陣X和Xt，構(gòu)成出降維訓(xùn)練數(shù)據(jù)集T和降維測(cè)試數(shù)據(jù)集Tt，如下所示。

降維后，數(shù)據(jù)集T的特征輸入矩陣為70×4 維，數(shù)據(jù)集Tt為29×4 維。

采用PCA-RVM 模型對(duì)降維數(shù)據(jù)集T進(jìn)行擬合學(xué)習(xí)訓(xùn)練，并通過(guò)調(diào)整迭代次數(shù)、核函數(shù)寬度、超參數(shù)等參數(shù)以尋求最優(yōu)的PCA-RVM 模型參數(shù)。使用訓(xùn)練出的變形誤差預(yù)測(cè)模型對(duì)測(cè)試集進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖7 所示。通過(guò)均方根誤差（RMSE）和平均絕對(duì)誤差（MAE）指標(biāo)對(duì)PCA-RVM 變形誤差預(yù)測(cè)模型的精確度及可靠性進(jìn)行評(píng)估和驗(yàn)證。

圖7 測(cè)試集的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

由圖可見(jiàn)，本文提出的PCA-RVM 變形誤差預(yù)測(cè)模型，在預(yù)測(cè)測(cè)試集時(shí)，均方根誤差為0.016 mm、平均絕對(duì)誤差為0.013 mm。表明該模型的預(yù)測(cè)精度較好，預(yù)測(cè)結(jié)果具有較高的可信度。

3 結(jié)束語(yǔ)

本研究針對(duì)機(jī)器人銑削加工變形預(yù)測(cè)存在不精確的問(wèn)題，建立了一種利用主成分分析和相關(guān)向量機(jī)預(yù)測(cè)變形誤差的方法。在機(jī)器人銑削加工平臺(tái)開(kāi)展銑削實(shí)驗(yàn)，采集銑削過(guò)程中的末端所受銑削力、機(jī)器人關(guān)節(jié)角、末端刀具軸向變形誤差構(gòu)成數(shù)據(jù)集。利用主成分分析方法根據(jù)各成分的累計(jì)貢獻(xiàn)量對(duì)數(shù)據(jù)集降維，再采用相關(guān)向量機(jī)方法建立了變形誤差預(yù)測(cè)模型，利用測(cè)試集對(duì)模型準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明均方根誤差為0.016 mm，平均絕對(duì)誤差為0.013 mm，驗(yàn)證了PCA-RVM 變形誤差預(yù)測(cè)模型具有較好預(yù)測(cè)精度和可信度。