基于正交分析的地鐵目標(biāo)頻段隔振排樁參數(shù)研究

姜博龍

(中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司城市軌道交通數(shù)字化建設(shè)與測(cè)評(píng)技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室,天津 300308)

排樁屏障被認(rèn)為是軌道交通環(huán)境振動(dòng)路徑隔振中的一種有效方式，因而被廣泛研究[1-3]，其隔振效果影響因素包括樁徑、樁間凈距、土層與樁的材料參數(shù)、樁長(zhǎng)、樁的布置范圍、樁的埋深與地鐵埋深的相對(duì)關(guān)系等。近年來，周期結(jié)構(gòu)帶隙理論被引入到排樁隔振的研究中，為目標(biāo)頻段的隔振排樁設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)[4]。

大量學(xué)者圍繞目標(biāo)頻段隔振的周期排樁展開研究。黃建坤[5]將該問題簡(jiǎn)化為二維平面應(yīng)變問題來研究體波的傳播衰減規(guī)律，進(jìn)行了無限周期假設(shè)和周期邊界處理，求解得到樁-土周期系統(tǒng)的頻散關(guān)系，揭示了首階完全帶隙隨樁徑、樁間距、樁與地層材料參數(shù)等因素的變化規(guī)律；劉心男[6]將三維有限元計(jì)算結(jié)果與二維平面應(yīng)變模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)隨著樁長(zhǎng)的增加，二者計(jì)算結(jié)果逐步接近；蒲興波[7]提出了全新的面波頻散曲線識(shí)別方法；另外，還有部分學(xué)者圍繞復(fù)阻尼周期排樁[8]以及飽和土條件下周期排樁[9]展開研究。目前，已有原理性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了周期排樁帶隙分析理論的正確性[10]，證明在采用無線周期排樁求解的帶隙頻率范圍內(nèi)與之對(duì)應(yīng)的有限周期排樁會(huì)對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生大幅衰減；另外，地鐵-地層-周期排樁三維有限元模型被建立來預(yù)測(cè)設(shè)計(jì)排樁在相應(yīng)帶隙頻段內(nèi)阻隔地鐵振動(dòng)的效果[11]；此外還有研究涉及優(yōu)化選型方法[12]等。

目前隔振排樁隔振效果研究中針對(duì)地下隧道振源的、可以設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)隔振頻段的研究并不多?；趲短匦缘闹芷谂艠对O(shè)計(jì)頻段內(nèi)的隔振性能研究主要分為無限周期排樁帶隙特性和有限周期排樁傳輸衰減特性。由上述分析以及表1可以看出，在帶隙特性研究中廣泛采用的無限周期、無限樁長(zhǎng)假設(shè)，明確了帶隙隨樁徑、樁間凈距、樁與地層材料的變化規(guī)律，但是對(duì)樁長(zhǎng)、樁的布置數(shù)量以及振源與樁相對(duì)位置關(guān)系等問題研究得不夠充分，而這些因素將直接決定計(jì)算帶隙范圍內(nèi)振動(dòng)的實(shí)際衰減情況，包括排樁屏障后有效衰減區(qū)域以及不同區(qū)域的振動(dòng)衰減水平。此外，上述因素對(duì)隔振效果影響的強(qiáng)弱順序、設(shè)計(jì)取值亟需參數(shù)化分析，提供相應(yīng)的理論依據(jù)。本文基于正交理論[13]、帶隙理論和數(shù)值模型，針對(duì)地下振源，對(duì)影響有限周期排樁帶隙范圍內(nèi)振動(dòng)衰減效果的因素進(jìn)行參數(shù)研究，包括樁排數(shù)、樁列數(shù)、樁長(zhǎng)、樁到地鐵水平距離、樁與地鐵埋深相對(duì)位置關(guān)系等，獲得各因素作用主次順序以及在某種典型地層條件下的建議取值。

表1 排樁影響因素及對(duì)應(yīng)研究方法

1 周期排樁頻散計(jì)算的平面波展開法

1.1 平面波展開法

平面波展開法[14]可用于求解周期排樁帶隙特性，其基本假設(shè)包括無限周期假設(shè)和無線樁長(zhǎng)假設(shè)，此時(shí)振動(dòng)在排樁-土層中的傳播可視為平面應(yīng)變問題，并解耦為平面內(nèi)問題和出平面問題。不失一般性，波動(dòng)方程可表示為式(1)的形式

(1)

式中,ρ為密度；λ和μ為拉梅常數(shù)；u為位移矢量；uj表示位移分量。

其中,u=[ux，uy，uz]

j=x，y，z

由于排樁的周期性排列，密度ρ和拉梅常數(shù)λ和μ可按照傅里葉級(jí)數(shù)展開為

(2)

式中，G1為倒格矢；r為位置矢量。

其中，f=ρ(r)，λ(r)或μ(r)，r=(x，y，z)

根據(jù)Bloch-Floquet理論，位移解可展開為：

(3)

式中，K為波矢；G2為倒格矢；ω為角頻率；u(r，t)為位移矢量。

把方程(2)和方程(3)代入方程(1)，可得到本征方程

(4)

G3=G2+G1;

i，j，l=x，y，z。

對(duì)于散射型排樁，傅里葉系數(shù)可表示為

(5)

其中，

η=(πR2)/S

(6)

式中，η為單個(gè)基本單元中樁的占比；P(G1)為結(jié)構(gòu)函數(shù)；S為典型單元面積；J1為第一類第1階貝塞爾函數(shù)。

使波矢K掃掠第一不可約Brillouin區(qū)，即得到排樁-土體體系的頻散曲線和帶隙。

1.2 計(jì)算算例

排樁布置形式及基本單元見圖1，其中，a=4 m、R=1.2 m、r=0.8 m。粉質(zhì)黏土(圖1(b)中A)密度為2 010 kg/m3，動(dòng)彈性模量為308 MPa，動(dòng)泊松比0.327，阻尼比0.03，壓縮波速472.6 m/s，剪切波速235.0 m/s。樁體的材料參數(shù)見表2。計(jì)算帶隙如圖2所示。

圖1 排樁布置形式及基本單元

表2 排樁材料參數(shù)

圖2 帶隙分布

2 采用正交分析的參數(shù)研究

由上文可知，對(duì)于樁-土周期系統(tǒng)的帶隙分布直接相關(guān)的參數(shù)包括樁徑、樁間距、樁與土的材料參數(shù)，文獻(xiàn)[5]已對(duì)其進(jìn)行了參數(shù)化分析。由于帶隙分析采用了無限周期、無限樁長(zhǎng)的基本假設(shè)，因此，忽略了樁長(zhǎng)、列數(shù)、排數(shù)、排樁到隧道水平距離、隧道埋深等5個(gè)因素影響，本文采用正交分析方法對(duì)這5個(gè)因素展開參數(shù)分析。本文正交分析所采用的土體信息、樁的排布形式與參數(shù)取自上文計(jì)算算例，帶隙分布見圖2。

2.1 相關(guān)因素選定

設(shè)計(jì)帶隙頻段內(nèi)振動(dòng)衰減水平以及屏障后衰減的有效空間受樁長(zhǎng)、列數(shù)、排數(shù)、排樁到隧道水平距離、隧道埋深等5個(gè)因素影響。因此，本節(jié)開展5因素、4水平的標(biāo)準(zhǔn)正交分析。

2.2 確定水平

根據(jù)周期帶隙理論，每一排隔離樁對(duì)振動(dòng)都有一定的衰減作用，隨著周期復(fù)現(xiàn)，最后達(dá)到對(duì)某些頻段完全濾波的目的，從而形成帶隙，即樁排數(shù)越多，隔振效果越好。然而，考慮工程實(shí)際的施作空間及成本限制，很少見到5排及以上排樁，故本次正交分析中樁的排數(shù)選取的4個(gè)水平為1、2、3、4排。

列數(shù)并無嚴(yán)格的限制，本文采用的4個(gè)水平為10、8、6、4列。

根據(jù)《鐵路隧道設(shè)計(jì)規(guī)范》[15]和《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》[16]，振源深度的4個(gè)水平選取為0 m(地表情況)、6 m、12 m、18 m，其中0 m為地表振源、6 m為常規(guī)淺埋隧道，二者具典型性，其余水平按照增量原則設(shè)計(jì)。

樁長(zhǎng)取1～6倍隧道埋深，并按照等差遞增，樁長(zhǎng)設(shè)計(jì)為12，24，30，36 m。

依照《環(huán)境影響評(píng)價(jià)技術(shù)導(dǎo)則—城市軌道交通》[17]，7.5 m是環(huán)境振動(dòng)的一個(gè)轉(zhuǎn)折距離，將其設(shè)為排樁到隧道距離的一個(gè)水平。壓縮波VP、剪切波VS、瑞利波VR波速關(guān)系[18]如式(7)所示

(7)

可得本算例中土層瑞利波速VR=204.9 m/s，關(guān)心頻段(帶隙)介于20～80 Hz，土體波長(zhǎng)LR介于2.25～10.245 m。泊松比μ=0.327<0.35，隸屬較硬土質(zhì)，排樁到振源距離r=1.0LR，特征因數(shù)ar=2π[19]。

因此，選取排樁到隧道的水平距離為2，7.5，15，22.5 m，遠(yuǎn)近場(chǎng)均有涉及。

2.3 選用正交表

正交分析采用標(biāo)準(zhǔn)正交表L16_4_5，即5因素4水平共16次試驗(yàn)。根據(jù)因素與水平，給出有限元計(jì)算的具體方案，見表3。

表3 正交分析計(jì)算工況

2.4 實(shí)施方案

按照設(shè)計(jì)的正交工況，每組工況計(jì)算有樁和無樁兩個(gè)模型，參數(shù)設(shè)置相同。

首先，建立隧道-土體-有限周期排樁動(dòng)力有限元空間模型。由前文可知，首階帶隙主要分布在19～54 Hz頻段，土體剪切波速為Vs=235 m/s，故λs，max=12.37 m，λs，min=4.35 m。當(dāng)荷載位置到邊界距離D=1.5λs，max=18.56 m時(shí)位移收斂結(jié)果較好，當(dāng)網(wǎng)格尺寸R=λs，min/6=0.725 m時(shí)，除靠近荷載0.5λs，min=2.175 m距離外，其余位置計(jì)算結(jié)果較為理想。本文計(jì)算模型范圍取為85 m(長(zhǎng))×40 m(寬)×36 m(高)，振源距左邊界18 m，隧道內(nèi)外徑分別為5.4，6 m，基底厚0.36 m。左邊界網(wǎng)格尺寸為1 m，隧道與排樁區(qū)附近網(wǎng)格尺寸取0.5 m，其他部分采取過渡尺寸網(wǎng)格。按照16種工況的設(shè)計(jì)參數(shù)建立16個(gè)模型，并建立16個(gè)對(duì)應(yīng)的無樁模型對(duì)比，共計(jì)32個(gè)模型。圖3給出了工況16有樁條件下計(jì)算模型。

圖3 正交分析中工況16的三維有限元計(jì)算模型

土體阻尼比取0.03，分析頻率1～100 Hz。瑞利阻尼常數(shù)α和β分別為：α=0.37，β=9.46×10-5。采用彈簧阻尼邊界來解決動(dòng)力分析中截?cái)噙吔绲牟▌?dòng)反射，按照法向和切向兩個(gè)方向添加。因僅考慮排樁隔振效果與帶隙范圍內(nèi)的隔振表現(xiàn)，模型采用脈沖荷載作為激振輸入，可節(jié)約計(jì)算時(shí)間且不影響減振效果隨參數(shù)變化的作用規(guī)律，具體時(shí)程和頻譜參見圖4，力的作用點(diǎn)為隧道內(nèi)道床板上表面的中心點(diǎn)，如圖5所示。

圖4 激勵(lì)力的時(shí)程和頻譜

圖5 激勵(lì)力作用點(diǎn)

2.5 分析指標(biāo)

本研究的評(píng)價(jià)量應(yīng)能夠同時(shí)反映帶隙頻段振動(dòng)衰減水平以及有效衰減區(qū)域兩項(xiàng)結(jié)果，故定義有限周期排樁首階帶隙中心頻率處的分析指標(biāo)ER作為評(píng)價(jià)量

(8)

其中

Arn=a有樁/a無樁

式中，δn為樁后區(qū)域某點(diǎn)無樁條件下的加速度響應(yīng)；δp為樁后區(qū)域某節(jié)點(diǎn)有樁條件下的加速度響應(yīng)；SR為積分域，即樁后有衰減的區(qū)域；Sn、S為節(jié)點(diǎn)所占面積；Arn為節(jié)點(diǎn)振幅衰減系數(shù)；a有樁為減振工況下排樁后節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)加速度響應(yīng)；a無樁為未設(shè)置隔振排樁的對(duì)比工況下相同位置節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)加速度響應(yīng)；n為節(jié)點(diǎn)數(shù)。

評(píng)價(jià)量ER綜合反映隔振排樁后區(qū)域內(nèi)有效衰減范圍和衰減水平兩項(xiàng)內(nèi)容，ER越大表明衰減效果越佳。本文對(duì)樁后地表一定范圍進(jìn)行振動(dòng)提取，考慮邊界效應(yīng)，提取范圍與邊界保持一定距離，取40 m(y方向)×45 m(x方向)，如圖3所示。計(jì)算該范圍首階帶隙的中心頻率振幅衰減系數(shù)，將其繪制成云圖，由云圖求解評(píng)價(jià)量ER，分析評(píng)價(jià)量ER隨各因素的變化規(guī)律。

2.6 結(jié)果分析

(1)直觀分析

Ri=max[yi1，yi2，…]-min[yi1，yi2，…]

(9)

表4給出了16組正交工況中豎直方向的ER，表5給出了豎直方向ER的極差Ri，并將豎直方向ER結(jié)果繪于圖6，極差Ri繪于圖7。水平方向亦同，僅給出極差結(jié)果，繪于圖8。由圖7和圖8可知，各因素對(duì)豎向振動(dòng)衰減影響的主次順序：隧道埋深>樁長(zhǎng)、排數(shù)>列數(shù)>排樁到隧道的距離；對(duì)水平向影響的主次順序：排樁到隧道距離>隧道埋深、排數(shù)>樁長(zhǎng)>列數(shù)。

表4 各工況豎直方向ER計(jì)算結(jié)果 m2

表5 指標(biāo)ER豎直方向影響因素極差分析結(jié)果 m2

圖6 豎直方向效果曲線

圖7 豎直方向極差柱狀圖

圖8 水平方向極差柱狀圖

(2)方差分析

方差反映數(shù)據(jù)離散程度，可衡量試驗(yàn)條件穩(wěn)定性，根據(jù)Fisher偏差平方和加和性原理，在偏差平方和分解的基礎(chǔ)上依托F檢驗(yàn)法，對(duì)影響效果及其交互效果進(jìn)行分析，此方法稱為方差分析[20]。將方差分析結(jié)果列于表6和表7，并將F比值繪于圖9。

表6 豎直向方差分析

表7 水平方向方差分析

圖9 F比

根據(jù)方差分析理論，由表6、表7和圖9可知，在豎直向，隧道埋深對(duì)隔振效果的影響最顯著；水平向無顯著性影響因素，但相對(duì)來說排樁到隧道距離影響較大。

豎直方向，各因素對(duì)隔振效果影響排序?yàn)椋核淼缆裆?排數(shù)>樁長(zhǎng)>列數(shù)>排樁到隧道距離；水平方向順序?yàn)椋号艠兜剿淼谰嚯x>排數(shù)>隧道埋深>樁長(zhǎng)>列數(shù)。這與直觀分析結(jié)果一致。

(3)交互分析

交互作用指因素的聯(lián)合作用對(duì)結(jié)果的影響，它表征因素間相互促進(jìn)或相互抑制的作用[20]。正交分析中，交互作用記作A×B，原則上交互作用應(yīng)當(dāng)作一個(gè)因素看待。為研究直觀分析和方差分析中顯著因素(豎直方向包括振源埋深、排數(shù)、樁長(zhǎng)，水平方向包括振源距排樁距離、排數(shù)、振源埋深)間兩兩因素的交互作用，故拆分成多張3因素2水平標(biāo)準(zhǔn)正交表，其中第3個(gè)因素為前2個(gè)因素的交互作用。如當(dāng)排數(shù)參與交互作用分析時(shí)，可選水平組合為(1排、2排)或(2排、3排)或(3排、4排)的3種方式，便可覆蓋全部水平。

兩因素交互有3×3=9種組合，表8和表9分別給出豎直方向排數(shù)-隧道埋深交互分析的9種組合中1種的設(shè)計(jì)表和極差結(jié)果，圖10給出了結(jié)果柱狀圖。涉及其他因素組合時(shí)情況類似，在此不再贅述，僅將主導(dǎo)因素匯總表整理給出，詳見表10～表15。分析過程中，為使體波傳播規(guī)律不失一般性，有關(guān)長(zhǎng)度、距離物理量全部以帶隙中心頻率所對(duì)應(yīng)的土體的體波波長(zhǎng)λ作為參照量進(jìn)行無量綱化，給出相對(duì)樁長(zhǎng)、相對(duì)距離及相對(duì)埋深。其中，豎直方向以首階帶隙中心頻率fV=31 Hz對(duì)應(yīng)土體SV波長(zhǎng)λSV(λSV=VS/fV=7.58 m)為參照量；水平方向同理取土體的SH波長(zhǎng)λSH(λSH=VP/fH=10.74 m)為參照量。

表8 豎直方向隧道埋深(0、6 m)與排數(shù)(1、2排)交互作用極差分析結(jié)果 m2

表9 豎直方向隧道埋深(0、6 m)與排數(shù)(1、2排)交互作用極差分析結(jié)果 m2

圖10 豎直向振源埋深和排數(shù)的交互作用極差

表10 豎直方向隧道埋深-排數(shù)交互主導(dǎo)因素

表11 豎直方向樁長(zhǎng)-隧道埋深交互主導(dǎo)因素

表12 豎直方向樁長(zhǎng)-排數(shù)交互主導(dǎo)因素

表13 水平向隧道埋深-排樁到隧道距離交互主導(dǎo)因素

表14 水平向排數(shù)-排樁到隧道距離交互主導(dǎo)因素

表15 水平向排數(shù)-隧道埋深交互主導(dǎo)因素

分析表8～表15，考察樁排數(shù)，為取得較好的豎向衰減效果，排數(shù)可以考慮增加到3排，繼續(xù)增加排數(shù)改善效果不顯著；在距離隧道0.7λSH～2.1λSH區(qū)間內(nèi)布設(shè)排樁時(shí)，增加排數(shù)衰減效果改善明顯；1.4λSH～2.1λSH范圍內(nèi)增加樁排數(shù)到3排就可以獲得較好的水平向衰減，在0.7λSH～1.4λSH范圍內(nèi)增加到4排效果更佳；當(dāng)隧道埋深為0.56λSH～1.12λSH時(shí)，增加排數(shù)，水平向衰減效果改善明顯，4排效果最佳。

考察樁長(zhǎng)：隧道埋深不足0.8λSH時(shí)，樁長(zhǎng)達(dá)到3.2λSH即可取得較好的豎向隔振效果；隧道埋深處于1.6λSH～2.4λSH時(shí)，在1.6λSH～3.2λSH和4λSH～4.8λSH范圍內(nèi)增加樁長(zhǎng)可有效改善豎直方向隔振效果。

考察排樁到隧道距離：為取得較好的水平向衰減，隧道埋深為0～1.12λSH時(shí)，宜采用近場(chǎng)隔振，在距隧道0.7λSH以內(nèi)設(shè)置排樁，效果更顯著；隧道埋深1.12λSH～1.68λSH時(shí)，不宜采用近場(chǎng)隔振，在距振源1.4λSH以外布置排樁可取得更好的水平向隔振效果；在近場(chǎng)(0.186λSH～0.7λSH)隔振時(shí)增加排樁到隧道距離可改善水平向隔振效果。

3 結(jié)論

在粉質(zhì)黏土地層條件下，針對(duì)地下振源、頻段可調(diào)的排樁隔振屏障，基于帶隙理論和正交分析理論，研究樁長(zhǎng)、排數(shù)、列數(shù)、隧道埋深以及排樁到隧道距離等因素對(duì)振動(dòng)衰減效果的影響規(guī)律，研究結(jié)論如下。

(1)各因素對(duì)豎向振動(dòng)衰減影響主次排序：隧道埋深>樁長(zhǎng)、排數(shù)>列數(shù)>排樁到隧道距離。

(2)各因素對(duì)水平振動(dòng)衰減影響主次排序：排樁到隧道距離>隧道埋深、排數(shù)>樁長(zhǎng)>列數(shù)。

(3)為在豎直方向帶隙范圍內(nèi)取得良好振動(dòng)衰減效果，建議如下：隧道埋深<0.8λSV時(shí)，樁長(zhǎng)取3.2λSV；隧道埋深介于1.6λSV～2.4λSV時(shí)，在1.6λSV～3.2λSV和4λSV～4.8λSV范圍內(nèi)增加樁長(zhǎng)；排數(shù)達(dá)到3排就能取得較為穩(wěn)定的隔振效果。

(4)為在水平方向帶隙范圍內(nèi)取得良好振動(dòng)衰減效果，建議如下：距離隧道1.4λSH～2.1λSH范圍內(nèi)設(shè)置排樁，采用3排樁可以取得較為穩(wěn)定的隔振效果，其他距離建議增至4排；隧道埋深為0～1.12λSH時(shí)，距振源0.7λSH以內(nèi)范圍布置排樁；隧道埋深處于1.12λSH～1.68λSH時(shí)，在距隧道1.4λSH以外布置排樁。