電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)中對(duì)帶電粒子自旋極化度的分析理解

溫 猛，陳紫晗

（湖北大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，武漢 430062）

0 引言

電動(dòng)力學(xué)是研究電磁現(xiàn)象的經(jīng)典動(dòng)力學(xué)理論，它主要研究電磁場(chǎng)的基本屬性、運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及電磁場(chǎng)和帶電物質(zhì)的相互作用。電動(dòng)力學(xué)課程是物理學(xué)專業(yè)和應(yīng)用物理學(xué)專業(yè)的本科核心理論課程。然而在教學(xué)過程中，存在理論性強(qiáng)、抽象內(nèi)容多、公式推導(dǎo)煩瑣等特點(diǎn)，如只注重理論知識(shí)講授很難激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生保持長(zhǎng)期的專注度。

近年來，強(qiáng)激光技術(shù)發(fā)展迅速，帶電粒子束的自旋特性引起廣泛的研究興趣。自旋是量子力學(xué)引入的由粒子內(nèi)稟角動(dòng)量引起的內(nèi)稟運(yùn)動(dòng)。在量子力學(xué)中，自旋是用自旋算符進(jìn)行描述的。對(duì)剛接觸量子力學(xué)的學(xué)生來說，算符和自旋都是非常抽象的概念，難以理解，難以和物理模型對(duì)應(yīng)起來。實(shí)際上，帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是電動(dòng)力學(xué)課堂教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵循洛倫茲公式。在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，粒子的自旋角動(dòng)量用單位矢量表示。經(jīng)典的自旋矢量及其相對(duì)應(yīng)的自旋極化度的描述方法，對(duì)學(xué)生來說，更容易理解和接受。利用電動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典模型，我們可以方便地研究帶電粒子的自旋極化度在平面電磁波中的演化過程，通過這個(gè)實(shí)例，使得學(xué)生對(duì)自旋有一定的認(rèn)識(shí)，為量子力學(xué)的學(xué)習(xí)做一個(gè)過渡；依托基礎(chǔ)理論教學(xué)與前沿研究、科研實(shí)踐相融合的模式，使得學(xué)生對(duì)物理學(xué)前沿研究有一定的了解，可以加深學(xué)生對(duì)電動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和研究熱情。

中學(xué)和大學(xué)的物理課程中已經(jīng)介紹了電荷和電磁場(chǎng)的耦合使得電荷受到洛倫茲力而運(yùn)動(dòng)。類似的，磁矩和電磁場(chǎng)耦合的結(jié)果是磁矩在電磁場(chǎng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)。這種現(xiàn)象用粒子的自旋演化描述，稱為自旋量的進(jìn)動(dòng)。實(shí)際應(yīng)用中，很多粒子除了攜帶動(dòng)量信息，還會(huì)攜帶自旋角動(dòng)量信息。比如質(zhì)子、中子、電子、中微子和夸克都是自旋1／2 粒子。在普通高校物理專業(yè)的課程設(shè)置中，自旋更多是在量子力學(xué)中引入。大部分學(xué)生第一次接觸到的粒子自旋態(tài)是量子力學(xué)中的概念，是粒子的一個(gè)內(nèi)稟的自由度，然而并沒有一個(gè)形象化的物理過程與之對(duì)應(yīng)。量子力學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，波函數(shù)、算符、矩陣等抽象的描述方法等，都加大了學(xué)生理解物理概念上的難度。學(xué)生需要一個(gè)從經(jīng)典到量子、從具象到抽象的過渡。實(shí)際上，在電動(dòng)力學(xué)中，也可以用自旋矢量及其相對(duì)應(yīng)的自旋極化度的方法進(jìn)行描述。帶電粒子的自旋作為一個(gè)交叉領(lǐng)域的概念在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)中都有介紹，它們相通的地方是電動(dòng)力學(xué)的自旋矢量對(duì)應(yīng)于量子力學(xué)中自旋算符在某自旋態(tài)下的期望值。量子力學(xué)中，自旋1／2 粒子在態(tài)ψ=（a，b）T下的自旋由算符σh/2 表示，其中σ 為泡利矩陣。在經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中，歸一化的粒子的自旋角動(dòng)量用單位矢量s 表示，它對(duì)應(yīng)于泡利算符在某自旋態(tài)下的平均值s=〈ψ|σ|ψ〉。本文基于這個(gè)自旋矢量討論帶電粒子自旋極化度的概念，其物理意義為粒子自旋在方向n 上自旋向上和自旋向下的概率差，用于描述單粒子或粒子束的自旋極化度。它可以用量子力學(xué)中自旋算符此方向的期望值計(jì)算，根據(jù)本文介紹，也可以用P=s·n 計(jì)算。例如，在直角坐標(biāo)的z 方向計(jì)算的自旋極化度為s·ez=〈ψ|σz|ψ〉=a2-b2。

1 基礎(chǔ)理論知識(shí)

本文以電子為例討論粒子的自旋極化問題。帶電粒子的電量、質(zhì)量和動(dòng)量分別用q、m 和p=γmcβ 表示，這里β=v/c 為歸一化的粒子速度，為洛倫茲因子，c 為真空中的光速。首先，帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程由洛倫茲公式給出：

同時(shí)，其自旋矢量s 在電磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)方程可以寫為：

這里ae=0.00 116，為電子的異常磁矩。

本文討論粒子在運(yùn)動(dòng)方向n=β/|β|的縱向自旋極化度P=s·n，這個(gè)物理量也被稱為粒子的螺旋度。根據(jù)公式1 經(jīng)過推導(dǎo)可以得到粒子運(yùn)動(dòng)方向的演化公式dn/dt=Ωv，其中

再進(jìn)一步推導(dǎo)可得粒子自旋極化度隨時(shí)間演化的規(guī)律

為了更直觀地理解電磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子自旋極化度的影響，下面用數(shù)值的方法討論帶電粒子在平面電磁場(chǎng)中的動(dòng)量和自旋極化度的演化情況。

2 帶電粒子螺旋度在平面電磁場(chǎng)中的演化

通用的量子力學(xué)教程介紹過定域電子在均勻磁場(chǎng)中的進(jìn)動(dòng)頻率，然而對(duì)于非定域電子的自旋進(jìn)動(dòng)的情況，用量子力學(xué)的方法計(jì)算是非常復(fù)雜的。本文用經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的方法，考慮一個(gè)初始動(dòng)量為p0的帶電粒子沿x 軸正向運(yùn)動(dòng)，一個(gè)脈沖型平面電磁波沿x 軸負(fù)向傳播，帶電粒子在電磁波中運(yùn)動(dòng)和自旋情動(dòng)的情況。帶電粒子初始是完全縱向極化的P0=s0·ex=100%，

圖1 初始動(dòng)量為p0=0.2mc 的帶電粒子在平面電磁場(chǎng)中自旋、運(yùn)動(dòng)方向、極化度隨著相位的演化

電磁波在峰值ω（t-x/c）=T/2 附近對(duì)粒子的退極化能力是依賴于粒子自身的動(dòng)量的，這一點(diǎn)可以從公式（2）～公式（4）看出。粒子的極化度變化率決定于粒子自旋和運(yùn)動(dòng)方向偏轉(zhuǎn)速度的差Ωs-Ωv≈（q/m）（1/|β|-|β|）（n×E/C），由此可以知道粒子極化度變化率會(huì)隨著粒子速度β 的增大而變小。所以，電磁波對(duì)初始動(dòng)量較高的粒子的退極化會(huì)較弱。圖2 的結(jié)果也印證了這個(gè)結(jié)論。圖2 的橫軸為粒子在電磁波中的相位，縱軸為粒子的初始動(dòng)量，圖中陰影的強(qiáng)度表示粒子的瞬時(shí)極化度。由此可以看出，在粒子的初始動(dòng)量p0較小時(shí)，其極化度可以被退極化即sx0=1。平面電磁波的形式由Ey=2πmc2/（|q|λ）sin2［（t-x/c）T］sin［ω（t-x/c）］給出，其中λ 為電磁波的波長(zhǎng)，T=3λ/c 為電磁波的脈沖寬度，ω（t-x/c）為帶電粒子所在位置x 對(duì)應(yīng)的電磁場(chǎng)的相位。由于粒子的速度一定小于真空中的光速c，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，相位值（ct-x）/λ 也會(huì)單調(diào)的增大。在電磁場(chǎng)的電場(chǎng)表達(dá)式中，2πmc2/（|q|λ）為電場(chǎng)的振幅，當(dāng)λ=1μm 時(shí)，該電場(chǎng)振幅對(duì)應(yīng)的電磁波能流強(qiáng)度為1.37×1018W/cm2。由于電磁波沿x 軸負(fù)向傳播，其磁場(chǎng)可以表示為Bz=-Ey/c。

當(dāng)一個(gè)初始動(dòng)量為p0=0.2mc 的帶電粒子穿過該電磁場(chǎng)時(shí)，該粒子的自旋矢量和運(yùn)動(dòng)方向均會(huì)在電磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)的角速率由公式（2）和公式（3）決定。它們?cè)趚 軸上的分量sx和nx=n·ex如圖1 的點(diǎn)線和虛線所示，由此可以看出，粒子的相位越接近平面電磁場(chǎng)脈沖的峰值ω（t－x／c）＝T/2，它們的變化值越大。然而，點(diǎn)線和虛線的區(qū)別表示粒子的自旋矢量和運(yùn)動(dòng)方向偏轉(zhuǎn)的角度不同，所以兩矢量的內(nèi)積，也就是該粒子的縱向自旋極化度P=s·n=sxnx+syny+sznz會(huì)在粒子穿過平面電磁場(chǎng)時(shí)發(fā)生變化。通過數(shù)值運(yùn)算，可以看出粒子自旋極化度P 也在電磁波峰值附近發(fā)生較強(qiáng)的退極化，會(huì)從初始的100%極化降低到60%左右，如圖1 中的實(shí)線所示。此外，還可以看出，由于脈沖型電磁波的震蕩對(duì)稱性，粒子穿過電磁波峰值之后，自旋s和運(yùn)動(dòng)方向n 都會(huì)逐漸回到初始的方向。也就是說，粒子穿過平面電磁波之后，電磁波不會(huì)對(duì)粒子的自旋、動(dòng)量以及極化度產(chǎn)生凈效果。到較小值，也就是陰影部分較暗；在初始動(dòng)量p0較大時(shí)，粒子的極化度會(huì)保持在一個(gè)較高的范圍，也就是陰影部分較亮。我們上面也用本文提供的理論知識(shí)解釋了這個(gè)現(xiàn)象。

圖2 初始動(dòng)量為0.02mc～2mc 的帶電粒子在平面電磁場(chǎng)中自旋、運(yùn)動(dòng)方向、極化度隨著相位的演化

3 結(jié)語

本文用經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的概念，分析理解了帶電粒子在電磁場(chǎng)中極化度變化的情況。這可以幫助本科物理專業(yè)高年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)理解電動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)課程中相近和相通的粒子自旋這個(gè)物理概念。雖然粒子極化度在電動(dòng)力學(xué)和量子力學(xué)中都是一個(gè)比較基礎(chǔ)的概念，但是它在粒子物理，高能物理領(lǐng)域都占據(jù)非常重要的地位，也存在很多難以解釋和難以解決的自旋相關(guān)的現(xiàn)象和問題。本文介紹的這個(gè)簡(jiǎn)單的物理過程也是自旋動(dòng)力學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。通過對(duì)本物理過程的理解和認(rèn)識(shí)，為開闊學(xué)生視野，提高學(xué)生興趣，加強(qiáng)本科學(xué)生對(duì)科學(xué)前沿研究的認(rèn)識(shí)提供素材，并能有效增進(jìn)課堂教學(xué)效果，提升整體教學(xué)質(zhì)量。