一種基于不確定Petri 網(wǎng)的推理算法

申 鑫，李孝忠

(天津科技大學(xué)人工智能學(xué)院，天津300457)

Petri 網(wǎng)是一種適合知識(shí)表示與推理的異步并發(fā)建模工具，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義和直觀的圖形表示[1].傳統(tǒng)Petri 網(wǎng)利用其異步并發(fā)的特性，可以在確定知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行更加有效的精確推理.在實(shí)際生活中，通常是在信息不完善、不確定的情況下進(jìn)行思維、求解問(wèn)題，因而在不確定環(huán)境下討論知識(shí)的表示與推理具有重大的意義.Looney[2]提出了模糊Petri網(wǎng)(FPN)模型，用于基于模糊規(guī)則系統(tǒng)的模糊推理.此后，F(xiàn)PN 模型逐漸用于模糊的知識(shí)表示與模糊推理中，并得到了廣泛和深入的研究與應(yīng)用.Chen等[3]提出了一個(gè)更通用的模糊Petri 網(wǎng)模型模擬知識(shí)并描述了一個(gè)模糊算法自動(dòng)執(zhí)行知識(shí)推理.Yeung等[4]通過(guò)引入閾值和權(quán)重的知識(shí)參數(shù)對(duì)上述模糊Petri 網(wǎng)模型進(jìn)行了改進(jìn).Chen[5]對(duì)文獻(xiàn)[3]的工作進(jìn)行了擴(kuò)展，主要描述基于知識(shí)的系統(tǒng)的模糊后向推理算法，其中模糊Petri 網(wǎng)被用于在專家系統(tǒng)的知識(shí)庫(kù)中表示模糊產(chǎn)生式規(guī)則.之后，也有學(xué)者對(duì)FPN 模型做出了改進(jìn)，提出了模糊推理Petri 網(wǎng)(FRPN)模型[6]以及一致性模糊Petri 網(wǎng)(CFPN)模型[7]，用于含有否定命題的模糊產(chǎn)生式規(guī)則的表示與推理.

因?yàn)镕PN 模型的圖形表示與動(dòng)態(tài)處理能力，使其被廣泛應(yīng)用于解決各種工程問(wèn)題.為了給拆卸設(shè)備結(jié)構(gòu)的計(jì)算機(jī)輔助進(jìn)行快速設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)，蘇開(kāi)遠(yuǎn)等[8]提出了一種基于Petri 網(wǎng)構(gòu)建功–構(gòu)映射模型的方法，為得到最優(yōu)的廢舊產(chǎn)品拆卸裝備的設(shè)計(jì)方案，引入了模糊數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行評(píng)價(jià).為了提高電機(jī)的維護(hù)效率，實(shí)現(xiàn)電機(jī)實(shí)時(shí)故障診斷功能，程學(xué)珍等[9]提出了一種具有自適應(yīng)性的神經(jīng)模糊Petri 網(wǎng)故障診斷方法，該方法能夠準(zhǔn)確地診斷出三相異步電動(dòng)機(jī)的故障.

FPN 模型在解決具有不確定性的知識(shí)表示與推理的問(wèn)題上取得了極大的進(jìn)步.但根據(jù)Chen 等[3]提出的模糊推理執(zhí)行規(guī)則，F(xiàn)PN 模型在使用此執(zhí)行規(guī)則解決以下類似問(wèn)題時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果.假設(shè)一輛車通過(guò)橋梁的可能性為0.9，該車要連續(xù)穿過(guò)30座橋梁，當(dāng)采用FPN 模型進(jìn)行推理時(shí)，得出該車連續(xù)通過(guò)30 座橋梁的可能性為300.9=0.042，即該車幾乎不能連續(xù)穿過(guò)30 座橋梁，這與主觀經(jīng)驗(yàn)判斷該車能夠連續(xù)通過(guò)30 座橋梁相矛盾.因此，當(dāng)使用FPN 模型進(jìn)行推理時(shí)，會(huì)使一個(gè)能夠發(fā)生的命題被判斷成不會(huì)發(fā)生，導(dǎo)致出現(xiàn)與主觀判斷相反的結(jié)果.

Liu[10]提出了具有規(guī)范性、單調(diào)性、自對(duì)偶性、可列次可加性和乘積測(cè)度公理的不確定理論，用于刻畫主觀不確定性.不確定理論可以代替模糊數(shù)學(xué)處理問(wèn)題，而且在刻畫主觀不確定現(xiàn)象時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生上述的矛盾和悖論，因此得到了廣泛的認(rèn)可和應(yīng)用.本文結(jié)合Petri 網(wǎng)與不確定理論，提出了不確定Petri 網(wǎng)模型(Uncerainty Petri Net，UPN)，用于不確定產(chǎn)生式系統(tǒng)的表示與推理，能夠有效避免把可以發(fā)生的命題判斷成不會(huì)發(fā)生，產(chǎn)生與主觀判斷相矛盾的結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)Г 是一個(gè)非空集合，L 為Г 上的σ–代數(shù).每個(gè)元素Λ∈L 都稱為事件，對(duì)每個(gè)事件Λ 都分配一個(gè)數(shù)值 M { }Λ ，用于表示人們相信事件Λ 發(fā)生的信度.并且，信度不是隨機(jī)分配的，其必須具有某些數(shù)學(xué)屬性，為了合理處理信度，不確定測(cè)度M 應(yīng)滿足Liu[10]提出的如下3 條公理.

公理1(規(guī)范性)對(duì)于全集Γ，有 M ( Γ) =1.

公理2(自對(duì)偶性)對(duì)于任何事件Λ，都有

公理3(次可加性)對(duì)于任意可數(shù)的事件列Λ1,Λ2,…,Λi都有

定理1[11](Chen-Ralescu)假設(shè)X1, X2,…,Xn是獨(dú)立的不確定命題，并且分別具有真值 α1,α2,… ,αn，則對(duì)于Boolean 函數(shù)f，不確定命題Z =f ( X1, X2,…, Xn)具有真值

其中ix 取值為0 或1，iv 的定義為

不確定假言推理[12]：設(shè)A 和B 是獨(dú)立不確定命題.假設(shè)A 和A→B 分別具有真值a 和b.A 和B 的真值分別用符號(hào)1α 和2α 表示.

由不確定蘊(yùn)含模型[12]式(3)可知，不確定假言推理的蘊(yùn)含模型可以表示為式(4).

2 不確定產(chǎn)生式規(guī)則及其Petri網(wǎng)表示

知識(shí)是客觀世界中事物之間關(guān)系的反映，具有相對(duì)正確性、不確定性、可表示性和可利用性[13].產(chǎn)生式表示法用于描述事物之間存在因果關(guān)系的知識(shí)，描述一個(gè)事件的存在而導(dǎo)致另一個(gè)事件的產(chǎn)生.用符號(hào)方法表示為IF A THEN B（ 或A→B） .其中，A 表示前提命題，B 表示結(jié)論命題.

2.1 不確定產(chǎn)生式規(guī)則

不確定產(chǎn)生式規(guī)則用于表述真實(shí)世界中不確定事件之間的因果關(guān)系.

不確定事件可以看成一個(gè)不確定命題，不確定命題是一個(gè)句子，其真值是用不確定測(cè)度量化的[10].真值是不確定命題為真的不確定測(cè)度.不確定命題的真值可以用定理1 進(jìn)行計(jì)算.

設(shè)R ={R1, R2,…,Rn}是一個(gè)不確定產(chǎn)生式規(guī)則的集合，推理規(guī)則的表示符號(hào)為Ri:Xj→Xk(CF = ci).其中，Xj和 Xk表示含有不確定變量的不確定命題，并且具有范圍為從0 到1 的真值，其真值越大表示該命題越可能為真.ic 表示規(guī)則iR 的信度，其范圍為從0到1，其信度越大表示該規(guī)則越被人們相信.

由Looney 等[14]所述，結(jié)合不確定理論可以得出不確定產(chǎn)生式規(guī)則在推理中可以分為如下4 種類型.

其中：αi表示規(guī)則 Ri中命題Xi的真值，ci表示規(guī)則Ri的信度.

類型四的規(guī)則由于沒(méi)有具體含義，所以并不適合推理演繹.因此，本文不考慮類型四的規(guī)則.

2.2 不確定產(chǎn)生式規(guī)則的Petri網(wǎng)表示

Petri 網(wǎng)是知識(shí)表示中常用的一種方式，因此可以利用Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)表示不確定產(chǎn)生式規(guī)則的3 種類型.其中，命題相當(dāng)于Petri 網(wǎng)中的庫(kù)所，在圖中用圓圈表示，每個(gè)庫(kù)所可以包含托肯或不包含托肯，在圖中用點(diǎn)表示此庫(kù)所有托肯，托肯值的范圍為從0 到1，表示命題的真值，其取值越大則該命題越真.規(guī)則相當(dāng)于Petri 網(wǎng)中的變遷，在圖中用豎線表示，規(guī)則信度的取值范圍為從0 到1，表示對(duì)此規(guī)則相信的程度，其取值越大則該規(guī)則越被相信.規(guī)則的推理過(guò)程可以用Petri 網(wǎng)的變遷觸發(fā)表示.變遷觸發(fā)后輸入命題的托肯不會(huì)被移除，這是因?yàn)橐?guī)則的執(zhí)行僅僅是命題真值的傳播，命題真值不會(huì)因?yàn)樽冞w被觸發(fā)而消失，命題真值大小僅代表該命題被相信的程度.命題之間的因果關(guān)系可以用Petri 網(wǎng)中的庫(kù)所和變遷之間的弧類比表示.

根據(jù)以上規(guī)則，不確定產(chǎn)生式規(guī)則的3 種類型用Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)表示如圖1—圖3 所示.

圖1 類型一的Petri網(wǎng)表示Fig. 1 Petri net representation of type one

圖2 類型二的Petri網(wǎng)表示Fig. 2 Petri net representation of type two

圖3 類型三的Petri網(wǎng)表示Fig. 3 Petri net representation of type three

類型三規(guī)則在用Petri 網(wǎng)表示前需要先轉(zhuǎn)化成規(guī)范式，為

3 不確定Petri網(wǎng)

3.1 不確定Petri網(wǎng)的定義

不確定Petri 網(wǎng)是在定義1 的基礎(chǔ)上，結(jié)合不確定理論，對(duì)傳統(tǒng)Petri 網(wǎng)進(jìn)行了擴(kuò)展，用于不確定知識(shí)的表示與推理，其定義如下.

c 是一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)，表示從變遷到實(shí)數(shù)的映射，得到規(guī)則 Ri的信度，其范圍是從0 到1；其信度大小是由專家根據(jù)不確定測(cè)度給出的數(shù)值.

α 是一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)，表示從庫(kù)所到實(shí)數(shù)的映射，得到命題Xi的真值，其范圍是從0 到1.其真值大小是命題為真時(shí)的不確定測(cè)度.

β 是一個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)，表示庫(kù)所與命題之間雙向映射.

3.2 UPN的執(zhí)行規(guī)則

與傳統(tǒng)的Petri 網(wǎng)類似，UPN 的執(zhí)行規(guī)則包括變遷是否具有發(fā)生權(quán)以及是否能被觸發(fā).

如果規(guī)則 ri∈ R是能夠發(fā)生的，當(dāng)且僅當(dāng)Xi(Xi是ri的輸入命題)是被標(biāo)記的，即其具有托肯.

根據(jù)式(5)可知，對(duì)于能夠發(fā)生的規(guī)則ri，當(dāng)輸入命題的真值與規(guī)則的真值之和小于1 時(shí)，其沒(méi)有可行解，真值無(wú)法被分配，即該規(guī)則ri無(wú)法被觸發(fā)，所以要得到觸發(fā)，則必須滿足 T ( Xi)+T ( ri) ≥ 1.

采用FPN 模型進(jìn)行推理時(shí)，其執(zhí)行規(guī)則借助模糊理論中的模糊推理，根據(jù)前文提出一輛車連續(xù)穿過(guò)30 座橋梁的例子可知，使用該規(guī)則進(jìn)行推理可能會(huì)使一個(gè)能夠發(fā)生的命題被判斷成不會(huì)發(fā)生.

本文借助不確定理論中的不確定假言推理執(zhí)行推理規(guī)則，對(duì)不確定產(chǎn)生式規(guī)則的3 種類型進(jìn)行推理，從而得到所需命題的真值.

4 不確定推理

不確定推理是通過(guò)不確定集理論從人類知識(shí)中得出結(jié)果的過(guò)程，需要做到從已知的不確定命題的真值中，通過(guò)變遷的觸發(fā)，得到其他命題的真值，從而建立不確定Petri 網(wǎng)的動(dòng)態(tài)推理模型.基于UPN 的推理算法如下：

(1)判斷變遷 ti是否具有發(fā)生權(quán)，若有則轉(zhuǎn)到第二步，否則繼續(xù)尋找下一變遷進(jìn)行判斷，直到無(wú)變遷能夠發(fā)生，則推理結(jié)束.

(2)根據(jù)Chen-Ralescu 定理，得到具有發(fā)生權(quán)的變遷 ti的輸入命題Xi的真值θ.

(3)判斷變遷 ti的信度 ci與輸入命題Xi的真值θ的和是否大于等于1，若是則該變遷能被觸發(fā)，進(jìn)行第四步，否則轉(zhuǎn)到第一步，尋找下一個(gè)具有發(fā)生權(quán)的變遷.

(4)根據(jù)不確定假言推理的蘊(yùn)含模型進(jìn)行計(jì)算，由式(5)得到該變遷的輸出命題的真值，如果該命題由多個(gè)變遷觸發(fā)，則根據(jù)最大不確定原則，選擇最接近0.5 的值為該命題的真值.

(5)回到第一步，尋找下一個(gè)具有發(fā)生權(quán)的變遷，繼續(xù)計(jì)算新的命題真值，直到?jīng)]有新的具有發(fā)生權(quán)的變遷，推理結(jié)束.

5 案例分析

以燃?xì)廨啓C(jī)故障診斷推理系統(tǒng)為例[15]闡述不確定Petri 網(wǎng)模型，進(jìn)行基于UPN 的推理，最終得到燃?xì)廨啓C(jī)各個(gè)部位發(fā)生故障的信度，以便相關(guān)人員制定檢測(cè)維修策略，保障燃?xì)廨啓C(jī)正常工作.設(shè)X1表示機(jī)組功率過(guò)低，X2表示機(jī)組耗油量過(guò)高，X3表示渦輪前燃?xì)鉁囟冗^(guò)高，X4表示渦輪效率過(guò)低，X5表示壓氣機(jī)葉片斷裂，X6表示壓氣機(jī)氣流通道零件磨損，X7表示渦輪葉片磨損，X8表示壓氣機(jī)喘振.根據(jù)燃?xì)廨啓C(jī)經(jīng)常出現(xiàn)故障的因果關(guān)系，可得以下不確定產(chǎn)生式規(guī)則為

并且已知命題X1的真值為1.0，命題X2的真值為0.20，命題X3的真值為0.30，命題X4的真值為0.80，由此根據(jù)基于UPN 的推理算法得出其他命題的真值.

(1)命題X1—X9用庫(kù)所(圓圈)表示，規(guī)則R1—R4用變遷(豎線)表示，命題之間的因果關(guān)系用庫(kù)所和變遷之間的弧表示，用庫(kù)所(圓圈)中的點(diǎn)表示命題X1—X4具有真值.則案例的不確定產(chǎn)生式規(guī)則可以由圖4 所示的不確定Petri 網(wǎng)表示.

圖4 不確定產(chǎn)生式規(guī)則的UPN表示Fig. 4 UPN representation of uncertain production rules

(2)根據(jù)基于UPN 的推理算法，推理過(guò)程如下：

f. 再繼續(xù)尋找下一個(gè)具有發(fā)生權(quán)的規(guī)則，命題X6由變遷 t1觸發(fā)，獲得托肯值，所以規(guī)則R4具有了發(fā)生權(quán)，根據(jù)觸發(fā)規(guī)則，得出變遷 t4的信度與其輸入命題真值的和大于1，所以規(guī)則R4可以被觸發(fā)，經(jīng)計(jì)算得T ( X8) =0.90.由于命題X5不具有托肯，所以規(guī)則R3不具有發(fā)生權(quán)，推理結(jié)束.

據(jù)此得出出現(xiàn)壓氣機(jī)氣流通道零件磨損的故障信度為0.50，出現(xiàn)渦輪葉片磨損的故障信度為0.80，出現(xiàn)壓氣機(jī)喘振的故障信度為0.90.本案例用模糊Petri 網(wǎng)進(jìn)行推理，得出的結(jié)論是出現(xiàn)壓氣機(jī)氣流通道零件磨損的故障可能性為0.16，出現(xiàn)渦輪葉片磨損的故障可能性為0.64，出現(xiàn)壓氣機(jī)喘振的故障可能性為0.144.其數(shù)據(jù)對(duì)比見(jiàn)表1.

表1 不確定推理與模糊推理的結(jié)果數(shù)據(jù)對(duì)比Tab. 1 Comparison of the result data of uncertain reasoning and fuzzy reasoning

實(shí)際上，根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)，如果燃?xì)廨啓C(jī)的機(jī)組功率很低且渦輪效率也很低，那么渦輪葉片會(huì)出現(xiàn)很大程度的磨損.如果機(jī)組功率特別低，而其耗油量不太高以及渦輪前燃?xì)鉁囟任⒏撸瑒t壓氣機(jī)氣流通道零件會(huì)出現(xiàn)一定程度的磨損.如果壓氣機(jī)氣流通道零件出現(xiàn)磨損，那么壓氣機(jī)會(huì)有很大可能出現(xiàn)喘振故障.與模糊推理得出的可能性數(shù)據(jù)相比，本文的不確定推理得出的信度更符合實(shí)際情況.

6 結(jié) 語(yǔ)

(1)基于不確定理論提出不確定產(chǎn)生式規(guī)則，該產(chǎn)生式規(guī)則的前提和結(jié)論都是不確定命題，規(guī)則本身也有信度.

(2)結(jié)合不確定理論與Petri 網(wǎng)，提出不確定Petri網(wǎng)模型，對(duì)傳統(tǒng)Petri 網(wǎng)中的元組進(jìn)行擴(kuò)充、對(duì)變遷引發(fā)規(guī)則進(jìn)行重新定義，提出不確定Petri 網(wǎng)的定義，用于表示不確定產(chǎn)生式系統(tǒng).

(3)提出不確定推理算法，把不確定產(chǎn)生式規(guī)則轉(zhuǎn)換成UPN 表示，通過(guò)UPN 的執(zhí)行規(guī)則進(jìn)行不確定推理，用于解決具有不確定性的知識(shí)表示與推理.

(4)將不確定推理算法應(yīng)用到燃?xì)廨啓C(jī)故障診斷推理系統(tǒng)中，得出該算法可以并行、有效地執(zhí)行推理過(guò)程，得到所求命題的真值，并且有效地彌補(bǔ)了使用模糊Petri 網(wǎng)解決此類問(wèn)題中出現(xiàn)的不足.