基于多重分數(shù)階傅里葉變換 ISAR快速成像算法

張 俊 王 偉 向 聰 相 飛 宋文青

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

逆合成孔徑雷達能夠?qū)Ψ呛献髂繕诉M行高分辨成像觀測，近年來在低空管控、戰(zhàn)場偵察及遙測監(jiān)視等方面受到了廣泛的關注[1-3]。在大部分ISAR應用場景下，其觀測目標由于自身特性或者客觀氣象因素等條件，往往具有很強的機動性，高機動性會導致目標散射點上的多普勒頻率具有時變性，進而導致傳統(tǒng)處理得到的ISAR圖像存在嚴重的散焦現(xiàn)象。為解決這一問題，許多參數(shù)估計算法，如距離-瞬時多普勒算法(RIDA)[2-5]等相繼被提出。

作為一種參數(shù)化算法，RIDA通常會將一個距離單元內(nèi)的回波信號用特定模型進行描述，然后利用參數(shù)估計的方法獲取瞬時運動參數(shù)，進而實現(xiàn)ISAR圖像的聚焦，其中，二次調(diào)頻信號是最常見的用來描述機動目標ISAR回波的信號模型。許多ISAR算法在此信號模型的基礎上被提出，如積分高階模糊函數(shù)(IHAF)算法[4]、離散調(diào)頻傅里葉變換[3]、相干積累廣義立方相位函數(shù)(CIGCPF)算法[5]等。盡管這些算法能夠通過參數(shù)估計獲得聚焦效果良好的圖像，但往往存在運算量繁重的問題，此外，低信噪比(SNR)與傳遞誤差的影響，也會降低算法的最終精度。

為解決上述問題，本文提出了一種基于多重分數(shù)階傅里葉變換的快速ISAR成像算法。首先我們將收到的回波信號重新用QFM信號進行建模，隨后采用CIGCPF的思想，通過相干積累對信號中的三次項與線性項進行估計補償，針對剩下的調(diào)頻項，我們提出了一種最小二乘分數(shù)階傅里葉變換(LS-FRFT)對其進行獨立估計，LS-FRFT估計能夠在保持較高估計精度的同時，降低算法復雜度，考慮到低信噪比與傳遞誤差仍然會對參數(shù)估計精度帶來影響，我們考慮通過利用加權的方式突出高信噪比樣本在參數(shù)估計過程中的貢獻，提出了加權最小二乘分數(shù)階傅里葉變換(WLS-FRFT)算法來進一步提升參數(shù)估計精度，進而改善圖像質(zhì)量。

1 機動目標ISAR回波信號模型

在本節(jié)中，我們首先將接收到的目標回波建立為QFM信號模型，圖1給出了機動目標的成像幾何模型。

圖1 機動目標ISAR成像幾何觀測構型

(1)

(2)

雷達工作時發(fā)射信號為線性調(diào)頻信號，經(jīng)過基帶調(diào)制與距離壓縮后，信號回波可以表示為

(3)

其中，A為信號幅度，c表示光速，tr為距離時間，散射點積累時間為Ta，信號帶寬表示為Br，N(tr,ta)為加性高斯白噪聲。

在本文中，我們主要討論多普勒參數(shù)估計和補償問題，因此認為信號已經(jīng)過距離徙動校正處理，目標上所有散射點均已被校正至正確的距離單元內(nèi)。假定在一個距離單元內(nèi)包含有N個散射點，將式(3)與式(1)聯(lián)立合并同類項后，第k個距離單元的回波信號即可表示為

(4)

2 基于多重FRFT估計的ISAR快速成像算法

2.1 QFM信號線性項與三次相位項補償方法

我們利用CIGCPF的思路對QFM信號中的線性項及三次相位進行估計補償[6]。為簡便起見，這里忽略信號包絡的變化，僅對相位上的處理進行討論。首先構造對稱自相關函數(shù)如式(5)所示。

(5)

(6)

(7)

(8)

然后對式(7)關于方位時間ta做FFT，即可得到接收信號的CIGCPF表達式為

(9)

(10)

根據(jù)式(10)可知，線性項與三次項均已被補償，隨后需要再對調(diào)頻項進行估計補償即可獲得聚焦良好的ISAR圖像。

2.2 基于最小二乘分數(shù)階傅里葉變換的調(diào)頻項估計方法

此前我們曾提到，近年來相繼有多種算法被提出用來估計調(diào)頻率，如CPF算法[7]、CIGCPF[5]算法等。但這些算法往往具有較高的運算量且受傳遞誤差影響較大。為解決這一問題，我們考慮利用FRFT的時頻關系[10]，通過將時頻變換與運動參數(shù)相結(jié)合的方式對調(diào)頻率進行單獨估計，在降低運算量的同時，改善最終的參數(shù)估計精度。

簡便起見，在隨后的推導過程中，忽略距離包絡與噪聲項，則式(10)經(jīng)過WVD變換后的表達式為

(11)

其中fd為多普勒頻率。在時頻域內(nèi)，定義調(diào)頻率的時頻變換角度為θ，根據(jù)文獻[8]可知，調(diào)頻率與其時頻變換角間有關系式為

en,2=(λ·PRF)/(4π·Ta·tanθ)

(12)

PRF為系統(tǒng)的脈沖重復周期。由式(12)可知，調(diào)頻率估計問題實質(zhì)上等同于時頻變換角估計。圖2(b)中給出了FRFT的投影示意圖，根據(jù)圖中的變換幾何關系，可以得到

圖2 最小二乘FRFT算法原理示意圖

Lθ|cos(π-θ-(α-π/2))|=Lα

(13)

其中Lθ表示散射點在距離多普勒域內(nèi)的歸一化投影長度，而Lα表示變換角為θ時，散射點在FRFT變換域內(nèi)的歸一化投影長度。利用余弦公式和絕對值轉(zhuǎn)換后，式(13)改寫為

-Lθsin(θ+α)=Lα

(14)

式(14)需滿足條件π-θ<α<2π-θ。Lα通常通過固定閾值進行測量，根據(jù)文獻[9]，閾值通常取0.5。由于在一維的FRFT變換域內(nèi)，Lα很容易測得，因此，通過兩次FRFT變換的結(jié)果進行對消，就能將未知長度Lθ消除，即有

Lθsin(θ+α1)/Lθsin(θ+α2)=L1/L2

(15)

結(jié)合文獻[10]中的推導式，可以得到調(diào)頻率變換角的表達式為

tanθ=-(L1sinα2+L2sinα1)/(L1cosα2+L2cosα1)

(16)

根據(jù)式(16)即可獨立地估計出信號調(diào)頻率。但是歸一化長度L1與L2對噪聲非常敏感，僅利用兩組歸一化長度估計出的調(diào)頻率往往會存在較大的誤差。為改善在低信噪比條件下的FRFT估計效果，考慮結(jié)合最小二乘估計，利用多組FRFT變換來估計調(diào)頻率。

將由噪聲引起的歸一化長度計算偏差定義為μ，變換關系式改寫為式(17)。

-Lθsin(θ+α)+μ=Lα

(17)

將單次FRFT估計的結(jié)果拓展至多次，式(17)可以改寫為

Lθ(-cosα-sinα)(sinθcosθ)T+μ=Lα

(18)

假設總共使用了M組FRFT變化進行估計，則相關的估計矩陣可以表示為

(19)

為簡便起見，將式(19)表示為Ax+μ=L。假設測量誤差μ服從高斯分布，利用最小二乘估計可以最小化誤差μ的影響，因此關于調(diào)頻率的矩陣x可以通過式(20)得到

(20)

結(jié)合式(20)，即可得到調(diào)頻率變換角的正切值為

(21)

2.3 基于加權最小二乘分數(shù)階傅里葉變換的穩(wěn)健參數(shù)估計方法

由上述分析可知，通過式(20)即可對消散射點歸一化長度，進而估計得到調(diào)頻率變換角正切值，結(jié)合式(12)即可獲得最終的調(diào)頻率估計值。但在實際中，強噪聲與傳遞誤差均會對歸一化投影長度的測量帶來影響。如圖3(b)所示，使用同一的門限閾值會不可避免地在測量歸一化投影長度時引入誤差，這將對最終的估計精度造成不可忽視的影響。

根據(jù)圖2(a)與圖3可以看出，在FRFT域中的能量會隨著變換角與調(diào)頻角之間差值的增加而減小，這也表明，不同的FRFT變換角得到的變換結(jié)果對應不同的熵值與測量誤差。這里將其規(guī)律總結(jié)為：歸一化投影長度越短，其引入的測量誤差越小，最終的估計精度越高?；谏鲜龇治觯覀円肽芰快貙Σ煌M的FRFT歸一化投影長度進行加權，提出一種加權最小二乘FRFT方法來改善估計精度。

圖3 FRFT多變換角時歸一化投影長度測量結(jié)果

這里給出FRFT結(jié)果F(n,β)的熵值計算公式為

(22)

根據(jù)加權最小二乘算法的思想，考慮通過給較為精確的樣本加大權值突出其在樣本集中的貢獻，而對存在較大誤差的樣本加小權值抑制其對樣本集的影響。因此，將FRFT結(jié)果熵值的倒數(shù)作為WLS-FRFT算法的中權值：即樣本熵值越低，其測量誤差越小，在整個樣本集的估計中其所占權重越大?；谏鲜龇治?，可以得到基于FRFT能量熵的權值矩陣表示為

W=diag(I)

(23)

可以得到基于WLS-FRFT方法的調(diào)頻角估計矩陣表達式為

(24)

將式(24)與式(12)與式(21)結(jié)合后，便可估計出調(diào)頻率。將其從信號回波中補償之后，即可獲得聚焦良好的ISAR圖像。WLS-FRFT算法不僅能夠改善低信噪比條件下的參數(shù)估計精度，同時還具有較低的運算復雜度，利用工程實現(xiàn)。

3 仿真實驗

在本節(jié)中，我們將通過實測數(shù)據(jù)來驗證所提算法的有效性與正確性，實驗系統(tǒng)參數(shù)在表1中給出。

表1 試驗系統(tǒng)參數(shù)

3.1 算法性能分析及對比

這里我們主要利用調(diào)頻率估計精度來對算法性能進行分析，仿真實驗中，調(diào)頻率真值設置為0.5。數(shù)據(jù)已經(jīng)過距離徙動補償，在補償?shù)艟€性項與三次項后，即可對調(diào)頻項進行估計補償。

我們選擇CIGCPF，LS-FRFT以及WLS-FRFT算法進行估計對比。根據(jù)先驗知識，調(diào)頻率變換角范圍設置為[70°，80°]，選用的總變換數(shù)量為20。圖4(a)給出了估計偏差方差值隨信噪比變化曲線圖?？梢钥闯觯cCIGCPF相比，在高信噪比時，兩種所提方法均能保持較高的估計精度，但隨著信噪比的降低，LS-FRFT的估計誤差會迅速增大，而WLS-FRFT對低信噪比具有較好的穩(wěn)健性，但估計精度相較CIGCPF仍會有所下降。性能下降的主要原因是在估計精度與運算速度之間進行了折中，如需要進一步提升估計精度，則可以通過增加估計樣本數(shù)量來滿足實際系統(tǒng)的要求，同樣地，系統(tǒng)的運算量就會進一步增加。

在實際中，由于噪聲、交叉相以及剩余相位的影響，整個估計過程中會存在明顯的傳遞誤差，這也會對最終的估計精度造成影響。為分析對比傳遞誤差對算法的影響，這里我們假定傳遞誤差主要是在估計線性項時產(chǎn)生，且設定對比環(huán)境信噪比為SNR=-4dB，最終的估計精度曲線如圖4(b)所示。

圖4 不同算法估計精度對比曲線

由圖4(b)可以看出，當傳遞誤差較小時，CIGCPF的估計誤差較小，但隨著傳遞誤差的逐漸增大，其估計精度迅速下降；而所提算法的估計精度幾乎不受傳遞誤差變化的影響。這是由于所提算法利用的是參數(shù)在FRFT平面投影的斜率來反推參數(shù)，傳遞誤差對其投影的影響主要是影響投影在FRFT平面內(nèi)的位置，而其斜率則幾乎不會受到影響。此外，最小二乘估計也能在一定程度消除傳遞誤差影響，因此所提方法對傳遞誤差具有較好的穩(wěn)健性。

3.2 實測數(shù)據(jù)實驗

本小節(jié)中，我們通過實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果對所提算法的有效性進行驗證。實驗中觀測目標為一非合作客機，其運動參數(shù)未知，實驗系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，圖5給出了實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果。

圖5 實測數(shù)據(jù)處理結(jié)果

數(shù)據(jù)經(jīng)過距離脈壓和距離徙動校正后的結(jié)果如圖5(a)所示，可以看出目標的所有散射點均已處于正確的距離單元內(nèi)，需要對其高階相位進行估計補償以獲得最終的聚焦圖像。我們選擇第224個距離單元的回波信號進行估計，在估計補償?shù)艟€性相位與三次相位后，對其做WVD，變換后的結(jié)果如圖5(b)所示。可以看出，圖中存在明顯的交叉項與傳遞誤差，交叉項產(chǎn)生的原因主要是由多分量以及噪聲影響，而傳遞誤差則是由于線性項估計不夠精確所導致的，這些因素會對CIGCPF的估計精度產(chǎn)生影響。利用CIGCPF方法獲得的成像結(jié)果如圖5(c)所示，盡管在補償?shù)舾唠A相位后，目標已經(jīng)能夠?qū)崿F(xiàn)整體聚焦，但剩余相位誤差的影響仍然導致圖像存在部分散射點散焦的現(xiàn)象。圖5(d)給出了所提WLS-FRFT處理算法的成像結(jié)果，可以看出目標的散射點均得到了良好的聚焦。

為進一步精確評估兩種算法的成像結(jié)果性能，我們對圖像的熵值以及算法處理時間進行統(tǒng)計對比，圖5(c)與圖5(d)的熵值分別為11.8237與11.5316。此外，利用Matlab對兩種算法處理進行計時，可知CIGCPF與WLS-FRFT算法所需處理時間分別為178.32s與84.67s。這一結(jié)果也證明了所提方法能夠更為高效地獲得高分辨ISAR圖像，進一步驗證了所提方法的有效性與正確性。

4 結(jié)束語

本文提出了一種基于多重FRFT的快速算法來估計調(diào)頻率并獲得聚焦良好的ISAR圖像。與傳統(tǒng)算法相比，所提算法利用參數(shù)的時頻變換投影關系反推相應參數(shù)，消除傳遞誤差影響的同時，降低了算法復雜度。為進一步改善算法穩(wěn)健性，基于利用歸一化投影長度的熵值對估計樣本進行加權的思想，提出了WLS-FRFT的快速估計方法。最后通過算法性能分析與實測數(shù)據(jù)處理驗證了所提算法的正確性與有效性。