基于隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法的雙基弧形陣列SAR二維頻譜及成像算法

黃平平 李 凱 徐 偉 譚維賢 高志奇

(1. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院, 內(nèi)蒙古呼和浩特 010051;2. 內(nèi)蒙古自治區(qū)雷達(dá)技術(shù)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 內(nèi)蒙古呼和浩特 010051)

1 引言

合成孔徑雷達(dá)(Synthetic aperture radar, SAR)由于其全天時(shí)、全天候工作的能力,在軍事和民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。但是,傳統(tǒng)的線(xiàn)性陣列雷達(dá)只能對(duì)陣列單元前方區(qū)域進(jìn)行單一視角觀(guān)測(cè),不能對(duì)大視角大場(chǎng)景區(qū)域進(jìn)行感知。針對(duì)其在廣域觀(guān)測(cè)中的不足,一種基于弧形陣列天線(xiàn)的SAR成像系統(tǒng)被提出,與線(xiàn)性陣列成像方式相比,其具有大視角的觀(guān)測(cè)能力[2-9]?；⌒侮嚵蠸AR(Arc array SAR)通過(guò)在方位向上沿圓弧向布置的天線(xiàn)陣元實(shí)現(xiàn)了弧形孔徑合成,其指向沿圓弧逐漸移動(dòng),既能實(shí)現(xiàn)孔徑合成,又能擴(kuò)大陣列向成像觀(guān)測(cè)范圍。但是,傳統(tǒng)的單基弧形陣列SAR的發(fā)射機(jī)與接收機(jī)被放置在同一平臺(tái),這不僅使雷達(dá)很容易于被探測(cè)到,也影響了其目標(biāo)探測(cè)與識(shí)別的能力。

雙基SAR(Bistatic SAR)克服了傳統(tǒng)單基SAR的不足,在這種模式下,雷達(dá)的發(fā)射機(jī)和接收機(jī)被安置在兩個(gè)不同的平臺(tái),減少了接受機(jī)和發(fā)射機(jī)系統(tǒng)復(fù)雜度,設(shè)備安裝也更為簡(jiǎn)單,還能提供更多目標(biāo)雙基地反射率中包含的附加信息[10-18]。雙基弧形陣列SAR(Arc array bistatic SAR)是一種新的機(jī)載高分辨率陣列雷達(dá)成像模式,其繼承了弧形陣列SAR與雙基SAR的優(yōu)點(diǎn),在實(shí)現(xiàn)平臺(tái)周?chē)轿豢焖儆^(guān)測(cè),大視場(chǎng)高分辨率成像的同時(shí),減小了接收機(jī)被發(fā)現(xiàn)的概率,大大提高了被動(dòng)接收雷達(dá)的戰(zhàn)場(chǎng)生存能力。而且,多角度多方位的觀(guān)測(cè)提供了觀(guān)測(cè)目標(biāo)的更多的信息,使雙基弧形陣列SAR具備了三維成像的能力[19-21]。

但是,由于雙基弧形陣列SAR天線(xiàn)特殊的圓弧型構(gòu)造的影響,常規(guī)的用于線(xiàn)性陣列的成像方法無(wú)法滿(mǎn)足成像要求,而在成像算法的設(shè)計(jì)過(guò)程中,其駐定相位點(diǎn)也無(wú)法用傳統(tǒng)的駐定相位原理來(lái)解析出,因此其回波信號(hào)的二維頻譜也無(wú)法得到。文獻(xiàn)[22]將斜距模型進(jìn)行二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),所引入的誤差較大,會(huì)對(duì)成像結(jié)果產(chǎn)生影響,因此需要尋找一種新的適用于雙基弧形陣列SAR的頻譜推導(dǎo)方法。本文引入了隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)(Derivatives of an Implicit Function, DIF)的思想,將駐定相位點(diǎn)當(dāng)作多普勒頻率(方位頻率)的隱函數(shù),通過(guò)對(duì)該隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到駐定相位點(diǎn)關(guān)于多普勒頻率的各階導(dǎo)數(shù)表達(dá)式,然后在方位頻率為零處將駐定相位點(diǎn)展開(kāi)成距離頻率的泰勒級(jí)數(shù),進(jìn)而求解出該駐相點(diǎn),這樣一來(lái),就可以直接運(yùn)用駐定相位原理來(lái)推導(dǎo)出其二維頻譜表達(dá)式。

本文內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排如下,第2節(jié)首先詳細(xì)介紹了雙基弧形陣列SAR的天線(xiàn)結(jié)構(gòu)、基本工作原理、成像幾何與回波信號(hào)模型,然后引入隱函數(shù)思想推導(dǎo)出了的雙基弧形陣列SAR回波信號(hào)的二維頻譜,第3節(jié)基于求出的二維頻譜提出了一種適用于雙基弧形陣列SAR的成像處理方法;第4節(jié)通過(guò)點(diǎn)目標(biāo)的仿真驗(yàn)證了提出的成像處理方法的有效性;第5節(jié)對(duì)本文進(jìn)行了總結(jié)。

2 雙基弧形陣列SAR

2.1 成像幾何

雙基弧形陣列SAR作為一種新型的機(jī)載SAR觀(guān)測(cè)系統(tǒng),它采用了一種廣域圓環(huán)的波束掃描方式,具有更大的觀(guān)測(cè)區(qū)域,加快了雷達(dá)獲取場(chǎng)景信息的速度。其中,無(wú)源的弧形陣列接收天線(xiàn)是該系統(tǒng)中最重要的組成部分,它關(guān)系到整個(gè)成像系統(tǒng)能否實(shí)現(xiàn)全方位的快速成像。無(wú)源弧形陣列天線(xiàn)的結(jié)構(gòu)如圖1所示,“AB”代表無(wú)源接收天線(xiàn)單元,多個(gè)天線(xiàn)單元沿著圓弧均勻排列,每個(gè)天線(xiàn)單元之間的角度間隔被設(shè)置為ΔθInterval,弧形陣列天線(xiàn)的半徑為Rr,θs是弧形陣列天線(xiàn)的合成孔徑角度,θa代表沿著天線(xiàn)陣列方向的方位向波束寬度,Nr是天線(xiàn)陣列中被用來(lái)合成孔徑的天線(xiàn)單元的數(shù)量。在雙基弧形陣列SAR系統(tǒng)中,無(wú)源弧形陣列天線(xiàn)利用微波開(kāi)關(guān)控制天線(xiàn)單元,使其指向沿圓弧逐漸移動(dòng),既能實(shí)現(xiàn)孔徑合成,又?jǐn)U大了陣列向成像觀(guān)測(cè)范圍,另外,與現(xiàn)有線(xiàn)性陣列SAR相比,雙基弧形陣列SAR天線(xiàn)采用剛性基線(xiàn)結(jié)構(gòu),很大程度上降低了飛機(jī)機(jī)身震顫對(duì)天線(xiàn)的影響,有利于系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)[5]。

圖1 無(wú)源弧形陣列接收天線(xiàn)的結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of arc array antenna

雙基弧形陣列SAR簡(jiǎn)化后的工作模式如圖2所示。直升機(jī)接收平臺(tái)向固定在靜止平臺(tái)上的發(fā)射機(jī)發(fā)送請(qǐng)求信號(hào),然后,發(fā)射機(jī)向目標(biāo)區(qū)域發(fā)射高功率線(xiàn)性調(diào)頻(LFM)信號(hào),接著,無(wú)源弧形陣列接收天線(xiàn)用高速微波開(kāi)關(guān)控制天線(xiàn)上各個(gè)天線(xiàn)單元的開(kāi)/關(guān),沿圓弧逐漸移動(dòng),實(shí)現(xiàn)孔徑合成,從而控制回波信號(hào)的接收。雙基弧形陣列SAR的發(fā)射機(jī)可以被放置在遠(yuǎn)離目標(biāo)區(qū)域的地方,這樣就降低了其在戰(zhàn)場(chǎng)上被打擊的概率,而無(wú)源接收機(jī)被安裝在直升機(jī)的腹部,這樣可以做到接收平臺(tái)的完全無(wú)源,也就不會(huì)因?yàn)榘l(fā)射無(wú)線(xiàn)電信號(hào)而被探測(cè)到。同時(shí),利用時(shí)間和頻率標(biāo)準(zhǔn)在兩個(gè)平臺(tái)之間的連續(xù)傳輸,實(shí)現(xiàn)了雙基地平臺(tái)的同步。此外,因?yàn)榘l(fā)射斜距地變化幾乎不會(huì)對(duì)雙基弧形陣列SAR的方位向分辨率產(chǎn)生影響,所以雙基弧形陣列SAR可以被應(yīng)用到自主緊急著陸、物資空投、末端制導(dǎo)與動(dòng)目標(biāo)探測(cè)等領(lǐng)域[15-18]。

圖2 雙基弧形陣列SAR工作模式示意圖Fig.2 The work mode of arc array BiSAR

雙基弧形陣列SAR的成像幾何如圖3所示。圖中數(shù)學(xué)符號(hào)定義如表1所示。

圖3 雙基弧形陣列SAR成像幾何Fig.3 The imaging geometry of arc array BiSAR

表1 數(shù)學(xué)符號(hào)定義

2.2 信號(hào)模型

設(shè)發(fā)射機(jī)與接收機(jī)之間的雙基瞬時(shí)斜距為Rb(ξ),利用余弦定理可以得到以下關(guān)系:

(1)

則Rb(ξ)的精確表達(dá)式為:

(2)

Rb(ξ)可被展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)得:

Rb(ξ)=B0+B1ξ+B2ξ2+B3ξ3+B4ξ4+…

(3)

其中,BN,N=0,1,2,...是泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)。

設(shè)發(fā)射機(jī)發(fā)射線(xiàn)性調(diào)頻(LFM)信號(hào),脈沖寬度為T(mén)s,調(diào)頻率為K,解調(diào)至基帶后,點(diǎn)目標(biāo)的回波信號(hào)可表示為:

ss(tτ,ξ)=σmar(tτ-Rb(ξ)/c)aa(ξ)·
exp{jπK[tτ-Rb(ξ)/c]2}·exp(-j 2π/λ·Rb(ξ))

(4)

其中,σm是散射系數(shù),ar(·)和aa(·)分別為雷達(dá)(LFM)信號(hào)的距離向包絡(luò)和方位向包絡(luò),c為光速,λ為中心頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。

2.3 基于隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法的二維頻譜

將式(4)所示的回波信號(hào)變換到距離頻域-方位時(shí)域,得:

(5)

其中,fc為載頻,fτ為距離向頻率,Ar(fτ)代表距離頻率包絡(luò)?？梢?jiàn)在式(2)斜距公式中存在根號(hào)下三角函數(shù)形式的表達(dá)式,給雙基弧形陣列SAR回波信號(hào)的二維頻譜推導(dǎo)帶來(lái)了較大的困難,很難用駐定相位原理來(lái)精確求解其二維頻譜。下面將結(jié)合隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法來(lái)解決這一問(wèn)題。對(duì)式(5)作FFT,得

(6)

其中,

(7)

其中,fa是方位頻率。對(duì)θ(fτ,ξ)關(guān)于ξ求導(dǎo)得:

(8)

駐定相位點(diǎn)ξ0滿(mǎn)足dθ(fτ,ξ)/dξ|ξ=ξ0=0,經(jīng)過(guò)移項(xiàng)整理可得:

(9)

令fχ為:

(10)

利用駐定相位點(diǎn)ξ0,二維頻譜的相位項(xiàng)可以表示為:

(11)

可以看出,此駐相點(diǎn)ξ0的解析表達(dá)式不能通過(guò)代數(shù)的方法精確得到。但是顯然,ξ0是fχ的一個(gè)隱函數(shù),可以代數(shù)方法來(lái)得到。將ξ0在fχ=0處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),可以得到:

(12)

(13)

(14)

則其導(dǎo)數(shù)可被表示為:

(15)

(16)

由cosx=1-x2/2+x2/24+…和rm?rr,式(16)可被進(jìn)一步近似為以下多項(xiàng)式:

(17)

(18)

其中,μ=ωrrrm(ω3/6q1/2+ω3rrrm/2q3/2),ε=ω2rrrm/6q1/2,則可以解出[24]:

(19)

3 基于隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法的成像算法

3.1 成像算法

(20)

(21)

由式(12)可解出:

(22)

(23)

將式(22)和式(23)帶入到式(11)可得:

θ(fr,fa)≈φaz+φrcm+φsrc+φres

(24)

(25)

其中,φac與方位向調(diào)頻有關(guān),φrcm與距離徙動(dòng)有關(guān),φsrc代表距離和方位向的耦合相位,而φrcm則是雙基弧形陣列SAR中殘余的高階指數(shù)項(xiàng)。根據(jù)之前的分析,首先雷達(dá)回波信號(hào)需要在二維頻域中去除耦合相位項(xiàng)和殘余相位項(xiàng),然后在距離多普勒域完成距離徙動(dòng)項(xiàng)校正,校正距離徙動(dòng)之后,同一距離單元的所有點(diǎn)目標(biāo)會(huì)有相同的方位向調(diào)頻率。接著完成方位脈沖壓縮,對(duì)信號(hào)做方位IFFT得到最終的聚焦信號(hào)。

具體的算法流程如下:

2)對(duì)距離徙動(dòng)項(xiàng)φrcm、耦合相位項(xiàng)φsrc和殘余相位項(xiàng)φres進(jìn)行補(bǔ)償,補(bǔ)償函數(shù)為:

(26)

3)然后將柱坐標(biāo)系下的二維頻譜插值變換到直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)映射關(guān)系如下:

(27)

其中,(xt,yt,zt),(xr,yr,zr),(xm,ym,zm)分別為靜止發(fā)射機(jī)位置坐標(biāo)Pt,弧形陣列天線(xiàn)等效采樣點(diǎn)位置坐標(biāo)Pr,地面上任意點(diǎn)目標(biāo)位置坐標(biāo)Pm在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

4)沿距離向?qū)π盘?hào)進(jìn)行逆傅里葉變換,將數(shù)據(jù)變換到距離多普勒域,然后構(gòu)造濾波器H2(fa)通過(guò)方位向壓縮去除φaz,濾波器表達(dá)式為:

H2(fa)=exp{-jφaz}

(28)

5)沿方位向進(jìn)行逆傅里葉變換,完成最終的信號(hào)聚焦。至此完成了整個(gè)雙基弧形陣列SAR成像算法,流程圖如圖4所示。

圖4 成像算法流程圖Fig.4 The flowchart of imaging algorithm

3.2 成像分辨率分析

對(duì)于線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)的雙基弧形陣列SAR,其瞬時(shí)方位頻率為:

fa=?{arg[ss(tτ,ξ)]}/?ξ=2πrrcosαsin(ωξ)/λ=
2πrrcosαsin(θr-θm)/λ

(29)

則雙基弧形陣列SAR的方位向角分辨率可表示為[2,9]:

(30)

其中,rr為天線(xiàn)半徑,λ是信號(hào)的波長(zhǎng),θs是方位合成孔徑的角度,hr為天線(xiàn)平臺(tái)高度。

與單基弧形陣列SAR不同的是,在雙基模式中,由于接收平臺(tái)和發(fā)射平臺(tái)被安裝在不同的兩個(gè)地方,所以,瞬時(shí)雙基斜距和包括兩個(gè)不同的方向上的距離[2,12]。因此,本文將直接考慮雙基弧形陣列SAR的地距分辨率,其表達(dá)式為:

(31)

其中,Br是信號(hào)的帶寬,

(32)

(33)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 相位誤差分析

不同于傳統(tǒng)的線(xiàn)性陣列SAR模式,由于特殊的圓弧形天線(xiàn)結(jié)構(gòu)和工作方式,雙基弧形陣列SAR的方位向分辨率與方位合成孔徑角度的大小有關(guān)[2,9],由式(2)知方位合成孔徑角度的越大,斜距中的余弦項(xiàng)展開(kāi)要求的階次越高,而當(dāng)忽略級(jí)數(shù)中的高階項(xiàng)所引入的相位誤差小于π/4時(shí),那么其對(duì)成像結(jié)果的影響也就可以忽略不計(jì)。文獻(xiàn)[22]方法引入的相位誤差三維圖如圖5(a)所示,以方位向角度為橫坐標(biāo)的二維圖如圖5(b)所示,其中虛線(xiàn)為π/4。選取特定目標(biāo)點(diǎn)(600,0°),具體系統(tǒng)參數(shù)選擇見(jiàn)表2所示,可見(jiàn)點(diǎn)目標(biāo)斜距在進(jìn)行二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí),為了獲得聚焦質(zhì)量較好的目標(biāo)點(diǎn),方位合成孔徑角度的取值范圍需在-19°到+19°內(nèi);而本文方法在進(jìn)行雙基斜距展開(kāi)時(shí)將泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)到四階,相位誤差如圖6所示,可見(jiàn)其相位誤差遠(yuǎn)小于π/4,同時(shí)這也說(shuō)明在對(duì)雙基弧形陣列SAR斜距進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí),四階近似已經(jīng)能夠滿(mǎn)足成像的要求,同時(shí)在圖6(a)與圖6(b)中運(yùn)用級(jí)數(shù)反演法(Method of Series Reversion, MSR)[23]與本文隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法(DIF)所引入的相位誤差進(jìn)行了對(duì)比,可以看出因二者均將斜距展開(kāi)到了四階,故所引入的相位誤差相差很小,說(shuō)明二者方法所求的頻譜精度相當(dāng),但需要說(shuō)明的是,本文隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法比級(jí)數(shù)反演法適用于更多的特殊方程的近似求解,級(jí)數(shù)反演法將駐相點(diǎn)在多普勒中心處展開(kāi),就推導(dǎo)思路來(lái)說(shuō),二者是完全不一樣的,若方程中存在耦合,那么級(jí)數(shù)反演法就失去了作用,而隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法仍然適用,在以后的對(duì)更多構(gòu)型的雙基弧形陣列SAR的研究中,隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法將具有很大優(yōu)勢(shì)[24-27]。

表2 仿真參數(shù)

圖5 二階斜距近似相位誤差圖Fig.5 Phase error of range quadratic approximation

圖6 本文方法相位誤差Fig.6 Phase error of the proposed method

4.2 成像結(jié)果

為了驗(yàn)證本文提出方法的成像效果,下面分別采用本文推導(dǎo)的方法與文獻(xiàn)[22]中所述的子孔徑劃分成像算法進(jìn)行點(diǎn)目標(biāo)成像仿真對(duì)比,仿真參數(shù)選擇如表2所示。在仿真實(shí)驗(yàn)中,設(shè)置了一個(gè)點(diǎn)陣目標(biāo)場(chǎng)景,其位置如圖7所示。采用本文的成像處理算法對(duì)點(diǎn)目標(biāo)回波進(jìn)行仿真驗(yàn)證,其聚焦圖像如圖8所示,選取目標(biāo)區(qū)域中P1(200,25°),P2(250,0°),P3(300,-25°)三個(gè)點(diǎn)目標(biāo)做進(jìn)一步分析,其等高線(xiàn)圖如圖9所示,并給出了所對(duì)應(yīng)的方位向和距離向響應(yīng)脈沖,可以看出,不同距離和角度處的3個(gè)點(diǎn)目標(biāo)都得到了很好的聚焦效果。同樣,運(yùn)用文獻(xiàn)[22]算法對(duì)點(diǎn)P1進(jìn)行成像并對(duì)結(jié)果作對(duì)比,從圖10中可以看出,在雙基弧形陣列SAR模式下,斜距的二階次近似已經(jīng)無(wú)法表征足夠的相位變化信息,進(jìn)而造成點(diǎn)目標(biāo)的聚焦效果下降,難以滿(mǎn)足成像的要求。而本文提的算法在進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)時(shí)將雙基斜距近似到四階,推導(dǎo)得到的二維頻譜中能夠體現(xiàn)出更多的斜距變化信息,因而提高了成像質(zhì)量,獲得了更高的圖像精確度,聚焦效果較好。

圖7 點(diǎn)目標(biāo)位置分布Fig.7 The positions of point target

圖8 點(diǎn)目標(biāo)成像結(jié)果Fig.8 Point target imaging results

為了更進(jìn)一步對(duì)成像結(jié)果進(jìn)行分析,由表3給出了點(diǎn)目標(biāo)P1、P2和P3的具體的測(cè)量參數(shù),其中,PSLR和ISLR分別表示峰值旁瓣比和積分旁瓣比。P1、P2和P3距離(地距)向分辨率的理論值分別為0.556 m、0.497 m和0.432 m,沿方位(陣列)向角分辨率的理論值分別為0.928°、0.752°和0.637°,由表中的數(shù)據(jù)可以看出,各點(diǎn)成像性能測(cè)量參數(shù)值與理論分析基本吻合,可見(jiàn)本文提出的基于隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法的雙基弧形陣列SAR成像算法的有效性。

圖9 點(diǎn)目標(biāo)的等高線(xiàn)與脈沖響應(yīng)圖Fig.9 The contour and impulse response of point target

圖10 采用傳統(tǒng)子孔徑方法P1的等高線(xiàn)與脈沖響應(yīng)圖Fig.10 The contour and impulse response of P1using sub-aperture partition

表3 點(diǎn)目標(biāo)測(cè)量參數(shù)

5 結(jié)論

雙基弧形陣列SAR成像模式具有觀(guān)測(cè)范圍廣且不易被偵測(cè)的優(yōu)點(diǎn),可用于直升機(jī)的著陸、偵察、搜救和起飛等領(lǐng)域。但由于雙基弧形陣列SAR特殊的弧形陣列天線(xiàn)結(jié)構(gòu)的影響,其回波信號(hào)的二維頻譜表達(dá)式很難用傳統(tǒng)的駐定相位原理來(lái)推導(dǎo)。為了解決這一問(wèn)題,本文引入隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)法,求解出了回波信號(hào)的二維頻譜的駐定相位點(diǎn),然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算,得到了雙基弧形陣列SAR的二維頻譜。在此頻譜基礎(chǔ)上,本文研究了一種適用于雙基弧形陣列SAR的成像方法,文中給出了該算法完整的推導(dǎo)過(guò)程,最后通過(guò)不同點(diǎn)目標(biāo)的仿真驗(yàn)證了提出的算法的有效性。